3.3.2 抛物线的简单几何性质-学案(Word）

3.3.2
抛物线的简单几何性质
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
顶点
离心率
e＝
2.焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝
.
3．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：
、
和
．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有
交点；
②k≠0时，Δ＞0?直线与抛物线
?有
公共点．
Δ＝0?直线与抛物线
?只有
公共点．
Δ＜0?直线与抛物线
?
公共点．
【小试牛刀】
1．抛物线关于顶点对称．(　
　)
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　
　)
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　
　)
4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．(　
　)
5．抛物线y＝－x2的准线方程为x＝．(　
　)
【经典例题】
题型一
抛物线性质的应用
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
例1
(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
[跟踪训练]1
已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
题型二
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．
例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
题型三
中点弦及弦长公式
“中点弦”问题解题方法
例3　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，
[跟踪训练]3
过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
题型四
抛物线的综合应用
例4
求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
[跟踪训练]4
如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
【当堂达标】
1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　)
A．(4，±2)　
B．(±4，2)
C．(±2,4)
D．(2，±4)
2．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
3．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)
A．　　　　
B．
C．
D．
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积等于时，求k的值．
9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
【参考答案】
【自主学习】
x＝－
x＝
y＝－
y＝
x轴
y轴
(0,0)
1
x1＋x2＋p
相离
相切
相交
一个
相交
两个
相切
一个
相离
没有
【小试牛刀】
×
√
√
√
×
【经典例题】
例1
(1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.]
(2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.
[跟踪训练]1
解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)．
故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2或m＝－2，
所以A(3,2)，B(3，－2)，所以|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4.
例2
解　联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(
)当k＝0时，(
)式只有一个解x＝，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
[跟踪训练]2
[证明]　由消去y，得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴⊥，即OA⊥OB.
例3
解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k，k≠0.由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝＝·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
[跟踪训练]3
[解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即＝4，∴kAB＝4.
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝.又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
例4
解　方法一　设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝
＝＝2＋.
所以当t＝时，d有最小值.
方法二　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
[跟踪训练]4
[解]　(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
【当堂达标】
1.D　[抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有
??所以符合题意的点为(2，±4)．]
2.　C解析　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意得x＝，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3.A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]
4.B　[由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.]
5.　B解析　当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；
当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.
6.　8解析　因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
7.　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝.
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.]
8.解　过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
由方程组消去x整理得ky2＋y－k＝0，Δ＝1＋4k2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△AOB＝×1×＝×＝，
解得k＝±.
9.解　由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
10.[解]　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.
∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.