《任意角的三角函数》（1）
题型一
三角函数定义的应用
类型一：三角函数定义的直接应用
1．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.
2．已知角的终边经过点，则______.
3．已知是角终边上一点，则______．
4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，若是角终边上的一点，则
5．角的终边经过点，那么的值为
6．已知角的终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，终边与单位圆交于，则
8．已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于
9．已知点在终边上，则______．
10．设角的终边经过点，那么________.
11．设角的终边与单位圆相交于点，则的值是
12．已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），则=
13．如果角的终边过点，则的值等于
14．已知角α的终边过点P(2sin
60°,-2cos
60°),则sin
α的值为
15．若点在角的终边上，则的值是
16．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于
17．已知角的终边上一点的坐标为，则的值为
18．=
类型二：含参数的三角函数定义问题
1．角终边上一点（），则的值是
2．已知，角的终边上有一点，则_______________.
3．设，角的终边经过点，那么
4．已知点在角的终边上，则__________．
5．已知角的终边过点，则=
6．已知角的终边经过点，则的值是
类型三：已知角α终边所在直线球三角函数值
1．在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______.
2．已知角的终边在射线上，则________.
3．已知角终边落在直线上，求值：_______．
4．若角的终边落在直线上，则=
，=
.
5．若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sinα－3cosα＋tanα=
类型四：已知三角函数值求参数
1．角的终边过点，若，则的值为
2．若角的终边过点，且，则______.
3．若角的终边经过点，且，则________．
4．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则x的值为_________.
5．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝
6．已知角的终边过点，且，则=
7．已知角的终边与单位圆的交于点，则
8．已知角的终边过点,且,则m=_____,________.
9．若一个角的终边上有一点且，则的值为
10．若角的终边上有一点，则的值是
11．已知点在角的终边上，且，则=
，=
12．已知角的终边上一点，且，则=________.
13．已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；（2）求的值．
《任意角的三角函数》（2）
14．已知点，为角终边上一点，且，求和.
15．已知点为角终边上一点.
（1）若角是第二象限角，，，求x的值；
（2）若，求的值.
16．已知点是角终边上的一点，且.
（1）求的值；（2）求的值.
17．若已知角终边上一点，且，能否求出的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
题型二
三角函数值符号的判断
1．若，且，则是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．已知且，则的终边在(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．若·>0，则的终边在第（
）象限
A．一
B．四
C．二或三
D．一或四
5．如果点位于第三象限，那么角所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．点在直角坐标平面上位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则实数a的取值范围是
8．若是第三象限角，则=
9．函数的值域是
10．角的终边在第一象限，则的取值集合为
11．设角属于第二象限，且，则是第__________象限角
12．设角是第三象限角，且，则角是第__________象限角．
13．（1）判断的符号；
（2）若，且，判断的符号.
题型三
三角函数线
1．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（
）
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
2．已知，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设，，，则的大小关系为(
)．
A．
B．
C．
D．
5．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．在上满足的的取值范围是
7．函数的定义域为
8．不等式的解集为___________________.
9．不等式的解集为
.
10．在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）．
11．利用三角函数线,确定满足不等式的取值范围.
2
2《任意角的三角函数》（一）
题型一
三角函数定义的应用
类型一：三角函数定义的直接应用
1．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.
【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以
2．已知角的终边经过点，则______.
【解析】∵角的终边经过点，∴.
3．已知是角终边上一点，则______．
【解析】是角终边上一点，，
4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，若是角终边上的一点，则
【解析】由，得，又角终边经过，.
5．角的终边经过点，那么的值为
【解析】．
6．已知角的终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】角的终边经过点,所以到原点的距离为
，根据三角函数定义得到：
，；故选A.
7．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，终边与单位圆交于，则
【解析】由三角函数的定义，.
8．已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于
【解析】因为角的终边过点，
所以利用三角函数的定义，求得，
.
9．已知点在终边上，则______．
【解析】∵点P（1，2）在角α的终边上，∴，
将原式分子分母除以，则原式
10．设角的终边经过点，那么________.
【解析】由于角的终边经过点，那么，，，
，，
11．设角的终边与单位圆相交于点，则的值是
【解析】由三角函数定义得
,因此.
12．已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），则=
【解析】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），∴tanθ＝2，
则.
13．如果角的终边过点，则的值等于
【解析】由题意
，
点到原点的距离
，
由定义知
14．已知角α的终边过点P(2sin
60°,-2cos
60°),则sin
α的值为
【解析】依题意可知，所以.
15．若点在角的终边上，则的值是
【解析】据题意，得.
16．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于
【解析】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，
因为点在角的终边上，所以.
17．已知角的终边上一点的坐标为，则的值为
【解析】角α的终边上一点的坐标为，
它到原点的距离为r=1，
由任意角的三角函数定义知：
18．=
【解析】原式
；
类型二：含参数的三角函数定义问题
1．角终边上一点（），则的值是
【解析】由题意，点到原点的距离，
所以，当时，．
2．已知，角的终边上有一点，则_______________.
【解析】因为，所以，
，
，
3．设，角的终边经过点，那么
【解析】依题意有,所以,
所以.
4．已知点在角的终边上，则__________．
【解析】∵，∴，
∴，，
∴．
5．已知角的终边过点，则=
【解析】由题意可得，（O为坐标原点）.
当时，，则；
当时，，则.
故的值为或.
6．已知角的终边经过点，则的值是
【解析】由题意得点与原点间的距离．
①当时，，∴，
∴．
②当时，，∴，
∴．
综上可得的值是或．
类型三：已知角α终边所在直线球三角函数值
1．在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______.
【解析】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线，在射线上任取一点，则
2．已知角的终边在射线上，则________.
【解析】在的终边选一点，则，
根据余弦的定义可知.
3．已知角终边落在直线上，求值：_______．
【解析】当角终边落在直线上，为锐角，
均为正值，且，
，，
则．
当角终边落在直线上，，
均为负值，且，
，，
则，
故答案为：2或．
4．若角的终边落在直线上，则=
，=
.
【解析】角的终边落在直线上，设终边上任一点.
若，则；
若，则.
5．若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sinα－3cosα＋tanα=
【解析】当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sinα＝＝＝－，
cosα＝＝，tanα＝＝－.所以sinα－3cosα＋tanα＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.所以sinα－3cosα＋tanα＝－3×－＝＋－＝.
综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－或.
类型四：已知三角函数值求参数
1．角的终边过点，若，则的值为
【解析】由条件可知，
由三角函数的定义可知，，解得：.
2．若角的终边过点，且，则______.
【解析】由三角函数的定义可得，解得，
易知，所以.
3．若角的终边经过点，且，则________．
【解析】由三角函数的定义知：
，解得：或（舍），
4．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则x的值为_________.
【解析】∵，∴或，
∴或，∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.故答案为：.
5．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝
【解析】,因为是第二象限角,,
,解得,又是第二象限角,,.
6．已知角的终边过点，且，则=
【解析】由题知：，，且，
解得，即，.
7．已知角的终边与单位圆的交于点，则
【解析】∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则
8．已知角的终边过点,且,则m=_____,________.
【解析】因为角的终边过点,所以,(O为坐标原点).
因为.所以,角是第三象限角,且可得,
所以,,.
9．若一个角的终边上有一点且，则的值为
【解析】由已知得，解得或．
10．若角的终边上有一点，则的值是
【解析】根据题意得到：，故.
11．已知点在角的终边上，且，则=
，=
【解析】点在角的终边上，
，
又，解得，又，，，
12．已知角的终边上一点，且，则的值为________.
【解析】角的终边上一点，
根据正弦函数的定义得:
，解得或.
当时,;
当时,
当时,
则的值为:或
13．已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；（2）求的值．
【解析】（1）因为已知角的终边经过点，且，
所以有，求得；
（2）由（1）可得，，
原式===．
14．已知点，为角终边上一点，且，求和.
【解析】因为，则，.
所以，解得，又因为，所以.
所以，，.
15．已知点为角终边上一点.
（1）若角是第二象限角，，，求x的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）∵，
∴解得（∵是第二象限角，舍去）,.
（2）若，则，
故.
16．已知点是角终边上的一点，且.
（1）求的值；（2）求的值.
【解析】（1）根据题意知，所以.
（2）原式.
17．若已知角终边上一点，且，能否求出的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
【解析】能求出，的值．因为角的终边过点，
所以．因为，所以或．
①当时，点P的坐标为，角为第一象限角，
此时；
②当时，点P的坐标为，角为第二象限角，
此时．
题型二
三角函数值符号的判断
1．若，且，则是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】，则的终边在三、四象限；
则的终边在三、一象限，，，同时满足，则的终边在三象限．故选：C
2．已知且，则的终边在(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】当时，在第一象限或是第三象限，
当时，在第二象限，或是第三象限，或是在轴的非正半轴，
综上可知应位于第三象限.故选：C
3．若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】因为，所以角的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合；又因为，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为同时成立，所以角的终边只能位于第一象限.
于是角是第一象限角.故选：A
4．若·>0，则的终边在第（
）象限
A．一
B．四
C．二或三
D．一或四
【解析】由题意，当为第一象限角时，，此时，满足题意；
当为第二象限角时，，此时，不满足题意；
当为第三象限角时，，此时，满足题意；
当为第四象限角时，，此时，满足题意，
综上可得，为第一或四象限角.故选：D.
5．如果点位于第三象限，那么角所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】点位于第三象限，，
，是第二象限的角，故选：B.
6．点在直角坐标平面上位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】，，所以点在第三象限，故选：C
7．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则实数a的取值范围是
【解析】∵cos
α≤0，sin
α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴，∴－2
8．若是第三象限角，则=
【解析】是第三象限角，故可得，
则.
9．函数的值域是
【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，
当角终边在第一象限时，
当角终边在第二象限时，
当角终边在第三象限时，
当角终边在第四象限时，
因此函数的值域为.
10．角的终边在第一象限，则的取值集合为
【解析】因为角的终边在第一象限，所以角的终边在第一象限或第三象限，
所以＋．
11．设角属于第二象限，且，则是第__________象限角
【解析】是第二象限角，，，
，当时，在第一象限，
当时，在第三象限，在第一象限或在第三象限，，，角在第三象限．
12．设角是第三象限角，且，则角是第__________象限角．
【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋
(k∈Z)，kπ＋<(k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．
13．（1）判断的符号；
（2）若，且，判断的符号.
【解析】（1）由题意，因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，所以
，所以.
（2）由，知与同号，故是第一或第四象限角由，知，异号，故是第三或第四象限角.综上可知，是第四象限角，所以，所以.
题型三
三角函数线
1．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（
）
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
【解析】由正弦线、正切线的定义可知，MP是正弦线，AT是正切线.故选：C
2．已知，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为，所以可取
因为，
所以，故选：C
3．设，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】以为圆心作单位圆，与轴正半轴交于点，作交单位圆第一象限于点，做轴，作轴交的延长线于点，如下图所示：
由三角函数线的定义知，，，，
因为，，∴，∴
故选：C
4．设，，，则的大小关系为(
)．
A．
B．
C．
D．
【解析】因为，所以，故，选B
5．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设的终边与单位圆相交于点，根据三角函数线的定义可知，，，显然
所以
故选：D
6．在上满足的的取值范围是
【解析】如图，
.
7．函数的定义域为
【解析】由题可知：，
解得：
8．不等式的解集为___________________.
【解析】如图，作出满足的角的正弦线和，，.当角的终边位于图中阴影部分时，满足，因此，不等式的解集为.
9．不等式的解集为
.
【解析】如图所示，作单位圆及直线，圆与直线相交于、两点，作射线、，则为角的终边，为角的终边.
设，当时，满足.
所以，即，
解得，
即不等式的解集为.
10．在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）．
【解析】（1）作直线交单位圆于、两点，连接、，
则与围成的区域（阴影部分）即为角的终边的范围，故满足条件的角的
集合为．
（2）作直线交单位圆于、两点，连接、，
则与围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围．
故满足条件的角的集合为.
11．利用三角函数线,确定满足不等式的取值范围.
【解析】作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线,,直线与单位圆交于点,与x轴交于点M,直线与单位圆交于点,,与x轴交于点,连接,,,.在范围内,,,则点,,,分别在角,,,的终边上.又,结合图形可知,当时,或,故的取值范围为,或,.
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