余角和补角是人教版七年级上册“图形知识初步”这一章中非常重要的基本概念。前面学生学习了角的度量和大小的比较，已经为学习余角和补角打下了一定的基础，通过探索余角和补角性质的学习，为今后证明角的相等提供了一种依据和方法。
4.3.3
《余角和补角》教学设计
一、教学目标
知识目标：了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质。
能力目标：
使学生初步接触和体会演绎推理的方法和表述，使学生能用方程思想来处理图形的数量关系。
情感目标：
通过探索互余、互补角的性质，培养学生积极的情感态度，促进良好的数学观的养成。
过程与方法：
1.
通过同角（等角）余角、补角性质的应用，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化。
2.
初步接触和体会演绎推理方法及表述，进一步提高学生的推理能力。
情感态度与价值观
1.
在具体情境中理解余角与补角的概念，培养学习几何的兴趣。
二、教学重点
理解互为余角与补角的概念。
三、教学难点
通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质
四、教学过程
一、引入新知
问题与情境
【活动1】
问题1：一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？
问题2：∠1与∠2有什么数量关系？
结论:
∠1+∠2=90°
概念：如果两个角的和为90°
(直角)，那么称这两个角
互为余角
，简称“互余”。
问题3：定义中的“互为”一词如何理解？
问题4：老师用剪刀将折痕剪开，并且任意变换∠1与∠2的位置，观察∠1与∠2还互余吗？
（结合纸片动态展示）
问题5：∠1是余角么？若∠1
+
∠2
+
∠3
=
90°,能说∠1
、∠2、∠3
互余吗？
结论:不能，互余是两个角之间的数量关系。
强化概念互为余角(互余):
1.如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
2.
两角互余，只与角的度数有关，与位置无关。
二．练习检测
【活动2】
问题1：观察纸片，∠3与∠4有什么数量关系？
结论:
∠3+∠4=180°
概念：如果两个角的和为180°(平角)，那么称这两个角
互为补角
，简称“互补”。
类比余角与补角定义，引导学生观察区别。
总结：
1.互余与互补都是针对两个角。
2.互余与互补是两个角的数量关系，与位置无关。
练习检测
3．口答
(1)若∠A=30°，∠A的余角是_____,
∠A补角是_____
(2)若∠A=45°，∠A的余角是_____,
∠A补角是______
(3)若∠A=
x°，∠A的余角是______,
∠A补角是_______
【活动3】
问题1：如图，∠1
与∠2互余，∠2
与∠3互余，那么∠1与∠3相等吗？为什么？
猜想：同角的余角相等。
证明：∵∠1
+∠2=90°,∠2
+∠3=90°
∴∠1=90°-∠2
,∠3=90°-∠2
∴∠1
=∠3（等量代换）
问题2：如图，∠1
与∠2互余，∠３
与∠４互余
，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
猜想：等角的余角相等。
证明：∵∠1
+∠2=90°,∠3
+∠4=90°
∴∠2=90°-∠1
,∠4=90°-∠3
∵∠1
=∠3
∴90°-∠1
=90°-∠3
(等量减等量，差相等)
∴∠2=∠4
总结：
同角（等角）的余角相等。
问题3：如何将这个性质转化为符号语言呢？
几何语言：
几何语言：
∵
∠1+
∠2=
90°
∵
∠1+
∠2=
90°
∠1+∠3
=
90°
∵
∠1+
∠2=
90°
∴
∠2
=
∠3
又∵
∠1
=
∠3
（同角的余角相等）
∴∠
2
=
∠
4
（等角的余角相等）
【活动4】
问题1：如图，∠1
与∠2互补，∠2
与∠3互补，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
猜想：同角的补角相等。
证明：∵∠1
+∠2=180°,∠2+∠3=180°
∴∠1=180°-∠2
,∠3=180°-∠2
∴∠1
=∠3（等量代换）
问题2：如图，∠1
与∠2互补，∠３
与∠４互补
，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
猜想：等角的补角相等。
证明：∵∠1
+∠2=180°,∠3
+∠4=180°
∴∠2=180°-∠1
,∠4=180°-∠3
∵∠1
=∠3
∴180°-∠1
=180°-∠3
∴∠2=∠4
（等量代换）
总结：
同角（等角）的补角相等。
问题3：如何将这个性质转化为符号语言呢？
几何语言：
几何语言：
∵∠1
+∠2=180°
∵∠1
+∠2=180°
∠1
+∠2=180°
∵
∠3+
∠4=
180°
∴
∠2
=
∠3
又∵
∠1
=
∠3
（同角的补角相等）
∴∠
2
=
∠
4
（等角的补角相等）
归纳总结：
余角、补角性质：
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
三．性质应用
例1
如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为A，O，B在同一直线上,
所以∠AOC和∠BOC互为补角。
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC∠BOC，
所以∠COD
+∠COE
＝
∠AOC+
∠BOC
＝
(∠AOC+
∠BOC)
＝90°
所以，
∠COD
和∠COE互为余角，
同理，
∠AOD
和∠BOE，∠AOD
和∠COE
，∠COD
和∠BOE互为余角。
变式：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2
）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC，
理由如下：∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
例2.若一个角的补角等于它的余角的4
倍，求这个角的度数。
分析:设一个角为x°则这个角的余角为90°-
x°,
补角为180°-
x°
解：设这个角的度数是x°
根据题意得
（180－x）=4(90－x)
解得：
x
=
60
答：这个角的度数是60
°.
总结：
由例2可知解决一些几何问题也可以用代数中的方程来解决.
四、课堂小结
今天我们学了什么？
（1）余角、补角的概念
余角、补角与两个角的大小有关系，与它们的位置没有关系。
（2）余角、补角的性质
同角或等角的余角相等；
同角或等角的补角相等。
五、布置作业
课本139页，做一做，2,3,4(共19张PPT)
人教版数学七年级上册第四章
4.3.3余角和补角
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了
4个角.
1
2
3
4
思考：
1.
∠1
与∠2
有什么数量关系？
∠1+∠2
=
90°
2.
∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4
=
180°
1
2
互为余角的定义：
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
∵
∠1+∠2=90°
∴∠1与∠2互为余角
∵∠1与∠2互为余角
∴
∠1+∠2=90°
4
3
互为补角的定义：
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
∵
∠3+∠4=180°
∴∠3与∠4互为补角
∵∠3与∠4互为补角
∴
∠3+∠4=180°
提问答疑，理解定义
如果
∠1
与∠2互余，那么∠1
的余角是∠2，同样∠2的余角是∠1
；
如果∠1
与∠2互补，那么∠1
的补角是∠2，
同样∠2的补角是∠1
。
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
1:图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
练一练:
2:图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
80o
100o
120o
150o
170o
60o
3:口答
(1)若∠A=30°，∠A的余角是_____
∠A补角是_____
(2)若∠A=45°，∠A的余角是_____
∠A补角是______
(3)若∠A=
x°，∠A的余角是______
∠A补角是_______
60°
150°
45°
135°
结论：同角的余角相等；
∵
∠1与∠
2互余，
∠1与∠3互余，
知识提升
B
O
C
A
D
2
1
3
∴
∠
2＝
90
°－
∠1，
∠3＝
90
°－
∠1
∴
∠2＝∠3
1.如图，如果∠1
+∠2=90°，∠1
+∠3
=90°，
那么∠2与∠3相等吗？请说明理由。
1
2
4
3
结论：等角的余角相等。
理由:∵∠1与∠2互余
∴∠2=90o-∠1
∵∠3与∠4互余
∴∠4=90o-∠3
又∵∠1=∠3
∴∠2=∠4
解：
∠2与∠4相等
2：如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若∠1=∠3，
那么∠2与∠4相等吗？为什么？
1.如果∠1
+∠2=180°，∠1
+∠3
=180°，
那么∠2与∠3相等吗？请说明理由。
2.如果∠1
+∠2=180°，∠３
+∠４=180°，
且∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？请说明理由。
思考：
你能得到什么结论？
结论:同角或等角的补角相等
余角、补角性质：
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
归纳
例1：如图，点A，O，B在同一直线上，射线
OD
和射线
OE
分别平分∠AOC
和∠BOC，图中哪些角互为余角？为什么？
因为点A，O，B在同一直线上
所以
∠AOC
和
∠BOC
互为补角.
O
A
B
C
D
E
又因为射线
OD
和射线
OE
分别平分∠AOC
和∠BOC，
所以∠COD+∠COE=
∠AOC+
∠BOC
=
(∠AOC+∠BOC
)
=
90°.
所以∠COD和∠COE互为余角。
解：
∠COD和∠COE，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE互为余角.
O
A
B
C
D
E
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2
）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
变式训练
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC，
理由如下：∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
例2:若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。
（180－x）=4(90－x)
解得：
x
=
60
答：这个角的度数是60
°.
解：设这个角的度数是x°，
则它的补角是（180-x）°，
余角是（90-x）°
，
根据题意得
练习：若一个角的余角等于它的补角的
，求这个角的度数。
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
如果两个角的和等于90°(
直角
)，就说这两个角互为余角
(
简称为两个角互余
)。
1
2
3
4
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角
(
简称为两个角互补
).
一：补角与余角的定义
二：补角与余角的性质
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
作业:139页，做一做，2,3,4
