《植树问题》教学设计
一、教学目标：
【知识与技能目标】：
1、利用学生熟悉的生活情境，通过动手操作的实践活动，让学生发现棵数与间隔数之间的关系。
2、通过小组合作、交流，使学生能理解棵数与间隔数之间的关系。?
3、能够借助图形，利用规律来解决简单的植树问题。
【过程与方法目标】：
1、培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。
2、渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。
3、培养学生的合作意识，养成良好的交流习惯。
【情感态度与价值观目标】：
渗透化繁为简、一一对应、类比迁移、数学建模和化曲为直等数学思想，帮助学生逐步积累数学活动经验，使学生感受到日常生活中处处有数学、体验学习成功的喜悦。
二、教学重点、难点：
【教学重点】：引导学生在观察、操作和交流中探索并发现棵数与间隔数的规律，并能运用规律解决实际问题。
【教学难点】：应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。
三、教学准备：
小路和小树的学具，多媒体课件，板贴，教具等。
四、教学过程：
课前准备：
1、师生一起做手指操。
2、引导学生发现手指数与间隔数的关系。
师：同学们，我们的双手不仅能做游戏，还隐藏着许多数学知识呢。
请同学们打开你的一只手，仔细观察，5根手指之间都有什么？5根手指之间有几个间隔？4根呢？3根呢？2根呢？
师：你发现了什么规律？
3、引导学生发现学生数与间隔数的关系。
师：两位同学之间有几个间隔？3位同学呢？一列同学呢？全班同学呢？
师：如果全校的同学也站成了这样的一列，产生了3000个间隔，猜一猜咱们学校一共有多少人？
师：你又有什么思考？
4、小结。
师：看来只要我们找到了规律，掌握了方法，复杂的问题也能迎刃而解。接下来就让我们带着灵巧的双手、美丽的心情和数学的眼光一起走进今天的数学学习。
一、联系生活，出示课题
师：刚才我们发现手指数和学生数都与间隔数有一定的关系，这节课我们就一起来研究与间隔数有关的数学问题：植树问题。（板书课题）
二、自主学习，探究新知
1、设计植树方案，认识植树的三种情况。
师：植树是不是一件很有意义的事？我们学校为了美化校园，也在进行植树活动呢。（出示题目）
师：如果请你们来栽树，你们还需要知道什么条件？
师：如果每隔5米栽一棵，在1000米的小路上栽树，你有什么感觉？
生：太长，太麻烦了。
师：那我们就先从简单的20米开始研究。
请学生做设计师，设计植树方案，学生思考、操作，师巡视。生展示设计方案：（贴在黑板上）
（1）、两端都栽
（2）、只栽一端
（3）、两端不栽
学生根据实际情况设计了三种植树方案，师生共同分析三种不同的植树方案。
师：如果把这三种情况放在一起研究的话，你觉得咱能研究透吗？如果选择一种情况来研究，你想选择哪一种？
【设计意图：从解决学生实际生活中的问题入手，先通过做“小小设计师”来解答条件开放的植树问题，使学生的植树情况同时呈现，让学生在大背景下学习植树问题，培养学生的发散思维和合作探究能力，符合学生的认知规律。】
2、探究交流两端都栽时，棵数与间隔数的关系。
（1）、介绍线段图的简洁性。
师：在研究之前，先来回顾一下两端都栽的过程。
师：如果你们手中没有了学具，你还能表示出栽树的过程吗？有什么好办法？
生：画线段图。
师：画线段图的确是帮助我们解决问题的重要方法。我们可以用一条线段来代替这条小路，用一些竖线来代替这些小树，刚才的示意图就变成了现在的线段图，同学们看，我们数学的学习既要做到求真，还要做到求简。
（2）、尝试用计算来解决问题。
师：如果这条小路真的变成了1000米，梁老师就让你用线段图画一画，数一数，你有什么感觉？有什么更好的办法吗？
生：计算（列算式）。
师：当我们在画线段图比较麻烦的时候，是不是可以通过计算来解决？那我们先从简单的开始，回到刚才20米的小路，谁来算一算一共要栽几棵树？该怎样列算式呢？
生：20÷5=4（个）
4+1=5（棵）
（板书）
师：我们先来看第一个算式，谁来说一下这个算式表示什么含义？20表示什么？5表示什么？4表示什么？
师：我们再来看第二个算式，你有什么问题吗？
（预设：生：为什么要加1？生：为什么4个间隔加1变成5棵树了呢？）
师：我们一起来回忆一下。每5米一个间隔，一个间隔就对应一棵树，一共有几个间隔？所以就对应了几棵树？4个间隔对应4棵树（板贴箭头），再加上开头的1棵，一共栽了几棵树？这样我们是不是就得到了总棵数？
（3）、不断变化间距与全长，并观察算式中变与不变的规律，研究得出两端都栽时，棵数与间隔数的关系。
师：同学们想，如果还是这20米的小路，除了每隔5米栽一棵，还能每隔几米栽一棵？你来说。
（预设：生：还可以每隔4米栽一棵。生：还可以每隔2米栽一棵。）
师：怎样列式呢？（板书算式）
师：同学们，这条小路又变了，变成了100米，还是两端都栽，每5米栽一棵，你还会算一共要栽几棵树吗？
师：如果这条小路真的变成了1000米，现在你会解决了吗？
师：同学们，这条小路还能再长吗？你还能解决吗？无论这条小路有多长，只要我们掌握了这种方法，是不是都可以轻松的解决？
师：同学们看，短短的时间里，我们得到了这么多的算式，仔细观察这些算式，哪里变了？哪里没变呢？不着急，先在小组内交流一下你的想法。
学生汇报交流，引导学生理解：无论这条小路的全长怎么变，间距怎么变，两端都栽时，棵数=间隔数+1。（板书）
【设计意图：两端都栽是植树问题的三种情况中最典型的一种，因此从这种情况入手研究。在探究中学生通过一个间隔栽一棵数，体会间隔与树的一一对应关系，并多次变换总长度和间距，从而在变与不变中发现规律，感受规律的普遍性，同时让学生感受数学思维的严谨性。】
3、顺势推延，自主探究只栽一端与两端不栽的情况下，棵数与间隔数的关系。
师：现在我们对两端都栽的情况是不是有了一个深刻的认识？那只栽一端和两端不栽时，棵数与间隔数又有着怎样的关系呢？抓紧时间在小组内互相说一说。
师：谁来说一说，只栽一端时，棵数与间隔数有什么关系？
师：那两端不栽时，棵数与间隔数又有怎样的关系呢？
学生利用类比的方法推理出规律，教师顺势板演。
【设计意图：学习过程循序渐进，顺势总结出另外的两种植树规律，培养了学生的类比迁移的能力和自我探究的能力，并能让学生感受到成功的喜悦。】
4、总结方法，创设模型。
师生共同总结出三种情况下棵数与间隔数之间的关系。
师：我们发现无论是哪一种情况，棵数都与谁有关系？
生：间隔数。
师：那你觉得间隔数重不重要？到底该怎样求间隔数呢？
生：全长除以间距等于间隔数。
师：你看看，就这么一个简简单单的植树问题，就引发了我们这么多的思考，真好。
三、联系生活，应用模型
1、手指中的植树问题。
师：现在请同学们再伸出你的手，想一想，这里面有植树问题吗？谁相当于树？这是植树问题中的哪种情况？你能创造性的表示出另外两种情况吗？你来比划让大家来猜。
2、学生列举生活中的植树问题。
师：原来植树问题就在我们身边，那植树问题中的树就一定是实实在在的树吗？可以是我们的双手，还可以是什么？
学生举例说明生活中的植树问题。
3、千纸鹤中的植树问题。
师：那可不可以是这个呢？谁相当于树？（千纸鹤）这是哪一种情况？请看大屏幕，谁来大声读一遍题。应该选几呢？
生：选1。
师：说一下理由。
师：如果我要选第2个答案，应该怎样穿这些千纸鹤呢？这时候就相当于植树问题中的哪种情况？
师：如果我要选第3个答案，又该怎样穿这些千纸鹤呢？这时候又相当于哪种情况？
4、封闭图形中的植树问题。
师：同学们再想，这是植树问题中的哪种情况？你是怎么看出来的？
师：为了便于理解，老师给大家做了一个模型，我们把它剪开，看一看这是哪一种情况？
师：那你能不能也用这种化曲为直的方法想一想这是哪一种情况？如果是正方形呢？
师：同学们看，像圆形、三角形、正方形等等这样的封闭图形上的植树问题都属于哪一种情况？
师：看来，只要我们掌握了数学思想和方法，就能灵活解决问题。
5、课件展示生活中的植树问题。
师：同学们，其实生活中还有很多很多的植树问题，这是建国70周年国庆大典上，接受检阅的战旗方队，这是正在建设的云轨项目。
6、小结。
师：这节课我们研究了这么多的植树问题，其实这些树就种在哪里呀？是不是都种在了这些点上？今天我们研究的植树问题其实就是研究的这些线上的点数与间隔数关系的问题。
【设计意图：让学生通过植树问题联想到生活中类似于植树问题的现象，并能利用植树规律解决生活中的实际问题。培养学生的数学审美能力，感受数学源于生活。】
四、总结收获
师：同学们，这节课马上就要结束了，你们学的开心吗？开心多多，收获也满满，在快乐中你学会了什么？你有什么收获呢？
五、回顾整理
师：你们知道吗，其实学习方法比学习知识更重要，这节课我们是怎样来研究植树问题的呢？现在我们一起来回顾梳理一下。
师：首先我们用化繁为简的方法研究具体的情境，了解了植树问题的3种情况；又用一一对应、数形结合的思想，在变与不变中研究得出两端都栽时，棵数=间隔数+1；再通过类比、迁移的思想，推理得出只栽一端与两端不栽时棵数与间隔数之间的关系；最后又运用化曲为直的转化思想得出封闭图形上的植树问题都属于只栽一端的情况。
师：梁老师希望同学们在今后的学习中能经常运用这种数学思想和学习方法，当然，像这样的学习方法还有很多很多，希望同学们能够不断探索，勇攀高峰，收获更多的知识。好，这节课我们就上到这，下课。(共22张PPT)
人教版五年级数学上册
小
路
20米
5米
在学校操场边，有一条
米长的小路，计划在小路的一边栽树，
1000
每隔5米栽一棵，
可能栽多少棵树？
20
小
路
20米
5米
5米
5米
5米
两端都栽
线段图
1000米
5米
5米
两端都栽
20米
5米
两端都栽
4
2
10
20米
4米
两端都栽
2
10
20米
2米
两端都栽
4
10
20米
10米
两端都栽
4
2
在学校操场边，有一条
米长的小路，计划在小路的一边栽树（两端都栽），每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
100
1000
100米
5米
5米
两端都栽
1000米
①
160÷10=16
②
160÷10=16
16+1=17
③
160÷10=16
16
1=15
－
一条绳子总长160厘米，每隔10厘米穿
一个千纸鹤（只穿一端）。总共有多少个
千纸鹤？（
）
①
练一练
练一练
…
…
封闭图形：
只栽一端
…
…
化繁为简
一一对应
类比、迁移
化曲为直
化繁为简
一一对应
类比、迁移
化曲为直
数学思想
化繁为简
一一对应
类比、迁移
化曲为直
数学思想
勇
攀
高
峰
