人教版数学七年级下册 5.1.2垂线 课件（34张）

5.1.2 垂线
相交线与平行线
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
1
2
3
4
a
b
如图，直线 a，b 相交，则∠1 的对顶角为 ，
∠1 的邻补角有 .
∠3
∠2和∠4
学习目标
1.理解垂线的有关概念、性质及画法.
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.
课堂导入
观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
课堂导入
日常生活中，图中的两条直线的关系很常见，你能举出其他例子吗？
新知探究
知识点1：垂线的概念
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
新知探究
如图，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质可知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
新知探究
垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.
新知探究
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.
垂直的表示法：
如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ).
A
B
C
D
O
l
m
新知探究
垂线的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
A
B
C
D
O
如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =
∠BOD =90°；
②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD.
跟踪训练
如图，AO⊥CO，直线 BD 经过点 O，且∠1 =20°，则∠COD 的度数为( )
A.70° B.110°
C.140° D.160°
∠AOC =90°
∠COB =90°-20°=70°
∠COD =180°- 70°= 110°
B
新知探究
知识点2：垂线的画法及性质
A
.B
l
.
(1)画已知直线l的垂线能画几条？
(2)过直线 l 上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
新知探究
1.落.
2.画.
l
O
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
A
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
无数条.
新知探究
l
A
B
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
一条.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
新知探究
l
A
B
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 A ，过点 A 作 l 的垂线.
一条.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
新知探究
经过一点画已知直线的垂线，通常有两种画法.
(1)用三角尺画：
落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与 已知直线重合.
移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.
画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.
1
2
3
点 A 在直线 l 上
点 A 在直线 l 外
新知探究
(2)用量角器画：
l
A
l
A
新知探究
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
1.不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直；
2.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
3.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
新知探究
(1)在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条.
(2)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
跟踪训练
如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.
M
N
P
M
N
P
Q
P
M
N
Q
P
M
N
Q
新知探究
知识点3：点到直线的距离
C
D
E
l
再从点 A 向已知直线 l 画几条不垂直的线段.
B
A
如图，点 A 为直线 l 外一点，AD⊥l，垂足为D，称 AD为点 A到直线 l 的垂线段.
线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？你能用一句话表示这个结论吗？
新知探究
垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离.
C
D
E
l
B
A
新知探究
(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
(2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
(3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
新知探究
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？请在图中画出来，并说明理由.
m
垂线段最短.
跟踪训练
如图所示，在直角三角形 ABC 中，AB⊥AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，已知 AB = 6 cm，AD = 5 cm.
(1)点 B 到 AC 的距离为_____，点 A 到 BC 的距离为 .
(2)CD AC(填“>”“<”或“=”)，依据是 .
线段 AB 的长度
线段 AD 的长度
6 cm
5 cm
点 C 到直线 AD 的垂线段
<
垂线段最短
随堂练习
1.如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA = 6 cm，PB = 5 cm，PC = 7 cm，则点 P 到直线 l 的距离是 cm.
解析：因为 PB⊥l，PB = 5 cm，
所以点 P 到直线 l 的距离是 5 cm.
5
随堂练习
2.如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOC = 45°，∠AOD = 3∠DOE.图中是否存在互相垂直的直线？若存在，请写出互相垂直的直线；若不存在，请说明理由.
随堂练习
解：存在，OE⊥AB.理由如下：
因为 ∠AOC = 45°，
所以 ∠AOD = 180°-∠AOC = 180°-45° = 135°.
因为 ∠AOD =3∠DOE，所以 3∠DOE = 135°，
所以 ∠DOE = 45°，
所以 ∠AOE = ∠AOD-∠DOE =135°-45° = 90°，
所以 OE⊥AB.
随堂练习
3.如图，火车站、码头分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
A
a
B
b
两点之间，
线段最短
垂线段最短
垂线段最短
课堂小结
垂线
垂线和垂线段
定义
性质
垂线段
定义
性质
点到直线的距离
拓展提升
1.点 P 为直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，PA = 2 cm，PB = 3 cm，PC = 4 cm，则点 P 到直线 l 的距离( )
A.等于 2 cm B.小于 2 cm
C.大于 2cm D.不大于 2 cm
解析：当 PA⊥l 时，点 P 到直线 l 的距离为 PA = 2 cm；
当 PA 与 l 不垂直时，点 P 到直线 l 的距离小于 PA.
综上可知，点 P 到直线 l 的距离不大于 2 cm.
D
拓展提升
2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有( )
①线段 CD 的长度是点 C 到 AB 的距离；
②线段 AC 是点 A 到 BC 的距离；
③ AB > AC > CD；
④线段 BC 是点 B 到 AC 的距离；
⑤ CD < BC < AB.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
的长度
的长度
B
拓展提升
3.如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF = 65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.
解：因为 OF⊥AB，OE⊥CD，
所以 ∠BOF = ∠DOE = 90°，
因为 ∠DOF = 65°，
所以 ∠BOD = 90°- 65° = 25°，
所以 ∠BOE = 90°-∠BOD = 90°-25°=65°，
∠AOC =∠BOD = 25°.
课后作业
请完成课本后习题第3、4、5、6、7题.