(共32张PPT)
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
相交线与平行线
5.3.1
平行线的性质
课时2
知识回顾
判定两直线平行的方法有哪些？
定义法.
平行公理的推论.
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
知识回顾
平行线的性质有哪些？
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
学习目标
1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.
2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.
课堂导入
前面我们学行线的判定方法和平行线的性质，实际上，在实际应用中，两者是相互结合使用的，下面我们就来看看应用平行线能解决哪些问题吧！
新知探究
知识点：平行线的性质和判定及其综合应用
1.如图，三角形
ABC
中，D
是
AB
上一点，E
是
AC
上一点，∠ADE=60°，∠B
=
60°，∠AED=40°.
(1)
DE
和
BC
平行吗？为什么？
解：(1)
DE∥BC.
理由如下：
∵
∠ADE=60°，∠B
=
60°，
∴
∠ADE=∠B.
∴
DE∥BC.
(同位角相等，两直线平行)
C
A
B
D
E
新知探究
1.如图，三角形
ABC
中，D
是
AB
上一点，E
是
AC
上一点，∠ADE=60°，∠B
=
60°，∠AED=40°.
(2)∠C
是多少度？为什么？
解：(2)
∠C
=40°.
理由如下：
由(1)得
DE∥BC，
∴
∠C=∠AED.
(两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°，
∴
∠C=∠AED
=40°.
C
A
B
D
E
新知探究
2.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P
、∠PCD
的数量关系，并说明理由.
解：在
PC
的另一侧作∠PCE
=∠APC，交
AB
于点
E.
∴
AP∥CE.
∴
∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴
∠A+∠P=∠AEC+∠PCE.
∵AB∥CD，
∴
∠ECD=∠AEC.
∴∠A+∠P
=∠ECD+∠PCE=∠PCD.
A
B
C
D
P
A
P
E
还有其他作辅助线的方法吗？
新知探究
解：在
PC
的另一侧作∠APE
=∠BAP.
∴
EP∥AB.
∵AB∥CD，∴
EP∥CD.
∴∠EPC=∠PCD.
∵
∠APE+∠APC=∠EPC，
∴
∠APE+∠APC=
∠PCD，
即∠BAP+∠APC
=
∠A+∠P
=∠PCD.
A
B
C
D
P
E
2.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P
、∠PCD
的数量关系，并说明理由.
新知探究
3.如图，若
AB//CD，你能确定∠B、∠D
与∠BED
的大小关系吗？说说你的看法．
B
D
C
E
A
解：过点
E
向右作
EF//AB．
∴∠B=∠BEF．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠D
=∠DEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF
＝∠DEB，
即∠B＋∠D＝∠DEB．
F
解：过点
E
向左作
EF//AB．
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠D
+∠DEF＝180°．
∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°，
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
新知探究
变式1
如图，AB//CD，探索∠B、∠D
与∠DEB
的大小关系
.
F
C
A
B
D
E
新知探究
变式2
如图，AB∥CD，则：
C
A
B
D
E
A
C
D
B
E2
E1
当有一个拐点时：
∠A+∠E+∠C=
360°
A
B
C
D
E1
E2
E3
新知探究
当有两个拐点时：
∠A+∠
E1
+
∠
E2
+∠C
=
540°
C
A
B
D
E
A
C
D
B
E2
E1
A
B
C
D
E1
E2
E3
变式2
如图，AB∥CD，则：
新知探究
当有三个拐点时：
∠A+∠
E1
+
∠
E2
+∠
E3
+∠C
=
720°
C
A
B
D
E
A
C
D
B
E2
E1
A
B
C
D
E1
E2
E3
变式2
如图，AB∥CD，则：
新知探究
…
A
B
C
D
E1
E2
En
当有
n
个拐点时：
∠A+∠
E1
+
∠
E2
+…+∠
En
+∠C
=(n+1)×180°
若有
n
个拐点，你能找到规律吗？
新知探究
A
B
C
D
E
当左边有两个角，右边有一个角时：∠A+∠C=
∠E
C
A
B
D
E
F
E1
C
A
B
D
E2
F1
变式3
如图，AB∥CD，则：
新知探究
当左边有两个角，右边有两个角时：
∠A+∠F=
∠E
+∠D
变式3
如图，AB∥CD，则：
A
B
C
D
E
C
A
B
D
E
F
E1
C
A
B
D
E2
F1
新知探究
当左边有三个角，右边有两个角时：
∠A+∠F1
+∠C
=
∠E1
+∠E2
变式3
如图，AB∥CD，则：
A
B
C
D
E
C
A
B
D
E
F
E1
C
A
B
D
E2
F1
新知探究
C
A
B
D
E1
F1
E2
Em-1
F2
Fn-1
若左边有
n
个角，右边有
m
个角，你能找到规律吗？
当左边有
n
个角，右边有
m
个角时：
∠A+∠F1
+
∠F2
+…+
∠Fn-1=
∠E1
+∠E2
+…+
∠Em-1+
∠D
跟踪训练
如图，已知∠BEF+∠EFD=180°，EM
平分∠BEF，FN
平分∠EFC.
求证：∠M
=∠N.
证明：∵
∠BEF+∠EFD
=180°(已知)，
∴
AB//CD
(同旁内角互补，两直线平行)，
∴
∠BEF=∠EFC
(两直线平行，内错角相等).
∵
EM
平分∠BEF，FN
平分∠EFC
(已知)，
∴
∠MEF
=∠BEF，∠EFN=∠EFC
(角平分线的定义)，
∴
∠MEF
=∠EFN
(等量代换)，
∴
EM//FN(内错角相等，两直线平行)，
∴
∠M
=∠N(两直线平行，内错角相等).
跟踪训练
跟踪训练
从结论入手分析证明思路
对于相对复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件，再结合已知条件进行论证.
1.如图，如果∠1=∠3，∠2=
60°，那么，∠4的度数为(
)
A.60°
B.100°
C.120°
D.130°
C
a//b
∠5=∠2=60°
随堂练习
∠4与∠5互补
随堂练习
2.如图，点
E，F
分别在直线
AB，CD
上，点
G，H
在两直线之间，线段
EF
与
GH
相交于点
O，且有∠AEF
+
∠CFE=180°
，∠AEF-∠1=∠2，则在图中相等的角共有(
)
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
随堂练习
解析：∵∠AEF+∠CFE=180°，∴AB//CD，
∴∠AEF
=∠DFE，∠BEF=∠CFE.
∵
∠AEF-∠1=∠2，∠AEF-∠1=∠AEG，
∴
∠AEG=∠2.
∴
∠1=∠EFH，∠BEG
=∠CFH.
∴
GE//FH，∴
∠G=∠H.
又∠EOG
=∠FOH，
∠EOH=∠GOF，
∴
图中相等的角共有
8
对.
随堂练习
3.把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是(
)
A.
45°
B.
60°
C.
75°
D.
82.5°
解析：如图，过点
E
作
EF//AB，
∵
AB//CD，∴
EF//CD，
∴
∠AEF
=∠A=45°，∠FEC
=∠C
=30°，
∴
∠1=∠AEF
+∠FEC
=45°+30°=75°.
C
A
B
C
D
E
F
课堂小结
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
解：
∵
AB//CF，∠ABC
=70°，
∴
∠BCF=∠ABC=
70°.
∵
DE//CF，∴
∠DCF+∠CDE
=180°.
又∠CDE
=130°，∴
∠DCF
=50°，
∴
∠BCD
=∠BCF
-∠DCF
=70°-
50°
=20°.
拓展提升
1.如图，已知
AB//DE//CF，若∠ABC=
70°，∠CDE=
130°，则∠BCD
=
.
20°
拓展提升
2.如图，MN，EF
表示两面互相平行的镜面，光线
AB
照射到镜面
MN
上，反射光线为
BC，此时∠1=∠2；光线
BC
经过镜面
EF
反射后的光线为
CD，此时∠3=∠4.试判断
AB
与
CD
的位置关系，并说明理由.
拓展提升
解：AB//CD.理由如下：
∵
MN//EF(已知)，
∴
∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵
∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
∴
∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4.
∵
∠ABC+∠1+∠2=180°，
∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性质)，
∴
∠ABC=∠BCD(等量代换).
∴
AB//CD(内错角相等，两直线平行).
3.如图，AB//CD，探究图中∠P
与∠A，∠C之间的关系.
拓展提升
解：∠A=∠APC+∠C.理由如下：
过点
P
作
PE//AB，则∠1+∠A=180°.
∵
AB//CD，∴
PE//CD，
∴
∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°，
∴
180°-∠A+∠APC+∠C=180°.
∴
∠A=∠APC+
∠C.
E
1
课后作业
请完成课本后习题第7、8、14题.(共30张PPT)
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
5.3.1
平行线的性质
课时1
相交线与平行线
知识回顾
根据右图，填空：
①
如果∠1＝∠C，
那么
∥
.（
）
②
如果∠1＝∠B
，
那么
∥
.（
）
③
如果∠2＋∠B＝180°，
那么
∥
.（
）
E
A
C
D
B
1
2
3
4
AB
CD
EC
BD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
EC
BD
同旁内角互补，两直线平行
学习目标
1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补.
2.能够根据平行线的性质进行简单的推理.
课堂导入
两直线平行
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
平行线的判定方法是什么？
反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
新知探究
知识点：平行线的性质
画两条平行线
a//b，然后画一条截线
c
与
a、b
相交，标出如图所示的角.
度量所形成的
8
个角的度数，把结果填入下表：
角
∠1
∠2
∠3
∠4
度数
角
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
新知探究
∠1，
∠2，?，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
猜想
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
新知探究
a
b
d
再任意画一条截线
d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
新知探究
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
新知探究
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
∵a∥b，(已知)
应用格式：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
新知探究
类似地，已知两直线平行，同位角相等，
能否得到内错角之间的数量关系？
如图，已知
a//b，那么?2
与?3
相等吗？为什么?
解：∵
a∥b，(已知)
∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵
∠1=∠3，(对顶角相等)
∴
∠2=∠3.(等量代换)
b
1
2
a
c
3
新知探究
b
1
2
a
c
3
∴∠2=∠3.
(两直线平行，内错角相等)
∵a∥b，(已知)
应用格式：
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
新知探究
如图，已知
a//b，那么?2
与?4
有什么关系呢？为什么?
b
1
2
a
c
4
解:
∵a//b
，(已知)
∴?
1=
?
2.(两直线平行，同位角相等)
∵
?
1+
?
4=180°，(邻补角的性质)
∴?
2+
?
4=180°.(等量代换)
类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
新知探究
b
1
2
a
c
4
∴∠2+∠4=180
°.
(两直线平行，同旁内角互补)
∵a∥b，(已知)
应用格式：
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
新知探究
例1
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，
所以∠A
与∠D
互补，∠B
与∠C
互补.
所以梯形的另外两个角分别是
80°、65°.
于是∠D=180
°-∠A=180°-100°=80°，
∠C=
180
°-∠B=180°-115°=65°.
A
B
C
D
新知探究
平行线的判定和性质的区别和联系
联系：平行线的判定和性质反映了角的数量关系和直线的位置关系之间的相互转换.
区别：平行线的判定以两直线平行为结论，即由两角相等或互补得到两直线平行，是由数量关系得到位置关系；平行线的性质以两直线平行为条件，即由两直线平行得到两角相等或互补，是由位置关系得到数量关系.
跟踪训练
1.如图，AB//CD，BC//AE，∠1
=50°，求∠A，∠B，∠C
的度数.
解：∵
AB//CD，∴∠A=∠1=50°.
∵BC//AE，
∴
∠C=∠1=50°，
∠A
+∠B=
180°
∴
∠B=180°-∠A=
130°.
还有其他解法吗？
解：∵
BC//AE，∴
∠C=∠1=50°.
∵
AB//CD，
∴
∠A
=∠1=50°，∠C+∠B=
180°，
∴
∠B
=180°-∠C
=
130°.
跟踪训练
1.如图，AB//CD，BC//AE，∠1
=50°，求∠A，∠B，∠C
的度数.
2.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为(
)
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
解析：∵
直尺的两边互相平行，∠1=35°，
∴
∠3=35°.
∵
∠2+∠3+90°=180°，∴∠2=55°.
C
跟踪训练
利用平行线的性质求角的度数的策略
题目中出现两直线平行的条件时，应想到平行线的三个性质，要注意分析图形的特征，明确角与角的位置关系，从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补.平行线还通常会与角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义等知识求解.
跟踪训练
随堂练习
1.如图，CD//AB，点
O
在
AB
上，OE
平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF
的度数是(
)
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
解析：∵
CD//AB，∴∠BOD
=∠D.
∵
∠D
=110°，∴
∠BOD=110°.
∵
OE
平分∠BOD，∴
∠BOE
=∠BOD
=55°.
∵
OF⊥OE，∴
∠FOE=90°.
∴∠AOF
=180°-∠FOE-∠BOE=180°-90°-55°=35°.
D
随堂练习
2.如图，AB//CD，∠ABD
的平分线与∠BDC
的平分线交于点
E，则∠1+∠2=
.
∠ABD+∠CDB=180°
∠1=∠ABD，
∠2=∠CDB
90°
解：(1)根据两直线平行，内错角相等，
可得∠ABG=48°，
∴
从
B
地测得公路的走向是南偏西
48°.
随堂练习
3.如图，在
A，B
两地之间要修一条笔直的公路，从
A
地测得公路走向是北偏东
48°，A，B
两地同时开工，若干天后公路准确接通.
(1)从
B
地测得公路的走向是南偏西多少度?
随堂练习
注意“从A地测得公路走向是北偏东48°”正确理解是“以点A为中心，从正北方向开始向东作48°角”，易错误地理解如下：
对方位角的概念理解不清导致错误
随堂练习
(2)若公路
AB
长
8
km，另一条公路
BC
长
6
km，且从
B
地测得公路
BC
的走向是北偏西
42°，试求
A
地到公路
BC
的距离.
解：(2)∵
∠ABC=180°-∠ABG
-∠EBC
=180°-48°-42°=90°，
∴
AB⊥BC，
∴
AB
的长度就是点
A
到直线
BC
的距离.
∵
AB
=8
km，
∴
A
地到公路
BC
的距离是
8
km.
性质
文字语言
符号语言
图示
性质1
两直线平行，同位角相等
如果
a//b，
那么∠1=∠2
性质2
两直线平行，内错角相等
如果
a//b，
那么∠2=∠3
性质3
两直线平行，同旁内角互补
如果
a//b，
那么∠2+∠4=180°
课堂小结
拓展提升
1.如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3
如图所示，则下列各式正确的是(
)
A．∠3=∠1+∠2
B．∠2+∠3-∠1=90°
C．∠1-∠2+∠3=180°
D．∠2+∠3-∠1=180°
解析：∵
l1∥l2∥l3，
∴
∠1=∠2+∠4，∠4+∠3=180°，
∴
∠1-∠2+∠3=180°．
C
4
拓展提升
2.如图，AB//CD，直线
EF
分别交
AB，CD
于
M，N
两点，将一个含有
45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB
=75°，则∠PNM
=
.
解析：∵
AB//CD，
∴
∠DNM=∠EMB
=75°.
∵
∠PND=45°，
∴
∠PNM=∠DNM-∠DNP=75°-45°
=
30°.
30°
拓展提升
3.如图，将一张长方形纸片
ABCD
沿
EF
折叠后，C，D
两点分别落在点
，
的位置，
交
AF
于点
G，测得∠1=55°，求∠2
的度数.
解：由题意得
AD//BC，
∴∠GFE
=∠1，∠DFE
+∠1=180°，
又∠1=55°，∴∠GFE
=55°，∠DFE
=180°
-55°=125°.
由折叠的性质，可得∠D'FE=∠DFE=125°,
∴∠2=∠D'FE-∠GFE=125°-
55°=70°
.
拓展提升
在图形的折叠中，折痕相对于角而言是一条角平分线，这一点也是解题的关键.
课后作业
请完成课本后习题第2、4、6题.
