(共23张PPT)
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
相交线与平行线
5.3.2
命题、定理、证明
课时2
知识回顾
命题
定义
组成
分类
题设
结论
真命题
假命题
判断一件事情的语句
已知事项
由已知事项推出的事项
形式
如果……那么……
学习目标
1.理解定理及证明的概念.
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
课堂导入
有一次，歌德在一条窄窄的小路上散步，遇到了一位评论家.这位评论家不喜欢歌德的诗，在报上把歌德的作品说得一钱不值.评论家看到对面走来的是歌德，先是一愣，随后挺起胸膛，神色傲慢，高声喊到：“我从来不给傻子让路的！”.歌德却摘下头上的帽子，满面笑容地闪到一旁让开了路说：“我恰恰相反！”.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
新知探究
补角的性质定理：同角或等角的补角相等.
两直线平行的判定定理：同位角相等，两直线平行.
对顶角的性质定理：对顶角相等.
知识点：定理与证明
1.定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理.
定理也可以作为继续推理的依据.
新知探究
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
如直线公理：两点确定一条直线.
拓展
新知探究
2.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
1.证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
2.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
新知探究
证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：b∥c，
a⊥b
．
求证：a⊥c．
题设
结论
a
b
c
1
2
新知探究
例2
如图，已知直线
b∥c，
a⊥b
．
求证
a⊥c．
证明：
∵
a⊥b
(已知)，
∴
∠1=90°
(垂直的定义).
∵
b∥c
(已知)，
∴
∠2=∠1=90°
(等量代换).
∴
a⊥c
(垂直的定义).
∴
∠1=∠2
(两直线平行，同位角相等).
a
b
c
1
2
新知探究
证明的一般步骤：
1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
新知探究
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论即可.
新知探究
例如，判定命题“相等的角是对顶角”是假命题
，可以举出如下反例：
如图，OC
是∠AOB
的角平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
1
2
A
O
C
B
跟踪训练
如图，已知
AD//BC，∠A
=∠C.
求证：AB//CD.
证明：∵
AD//BC
(已知)
，
∴
∠A
=∠ABF
(两直线平行，内错角相等).
∵
∠A=∠C
(已知)，
∴
∠ABF=∠C
(等量代换)，
∴
AB//CD
(同位角相等，两直线平行).
还有其他解法吗？
证明：∵
AD//BC
(已知)，
∴
∠A+∠ABC
=180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∵
∠A
=∠C
(已知)，
∴
∠C+∠ABC
=
180°(等量代换)，
∴
AB//CD
(同旁内角互补，两直线平行).
如图，已知
AD//BC，∠A
=∠C.
求证：AB//CD.
跟踪训练
随堂练习
1.判断命题”如果
n<
1，那么
n2-1
<0“是假命题，只需举出一个反例.
反例中的
n
可以为(
)
A.
-2
B.
C.
0
D.
(-2)2-1=3>0
A
随堂练习
2.下列命题：
①两个锐角之和一定是钝角；
②内错角相等；
③若
x=y，则
x2=y2；
④若
x2=y2，则
x
=y；
⑤两点之间，线段最短.
其中，真命题有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
20°+40°=60°
两直线不平行时不成立
x=2，y=-2时，不成立
B
3.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠AEF=∠1
（对顶角相等），
∴∠AEF=∠2
（等量代换）．
∴AB∥CD
（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BEF=∠CFE
（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3=∠4（已知），∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．
即∠GEF=∠HFE
（等式性质）．
∴EG∥FH
（内错角相等，两直线平行）．
随堂练习
课堂小结
命题
真命题
假命题
反证法
定理
证明
拓展提升
1.下列命题中属于真命题的有(
)
①同旁内角互补；
②两点确定一条直线；
③两条直线相交，有且只有一个交点；
④三角形的三条高都在三角形内部．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
两直线不平行时不成立
当三角形为直角三角形或钝角三角形时，不成立
B
拓展提升
D
A
B
C
D
2.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是(
)
拓展提升
3.如图，直线
BC，DE
交于点
O，给出下列三个论断：①
∠B
=∠E；②
AB//DE；③
BC//EF.请以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出正确的命题并进行证明.
解：以
②③
为条件，①
为结论.
命题：如果
AB//DE，BC//EF，那么∠B
=∠E.
证明：∵AB//DE，∴∠B
=∠COD.
∵
BC//EF，∴
∠E
=∠COD，
∴
∠B
=∠E.
还有其他正确的命题吗？尝试另写出一个真命题，并证明.
拓展提升
3.如图，直线
BC，DE
交于点
O，给出下列三个论断：①
∠B
=∠E；②
AB//DE；③
BC//EF.请以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出正确的命题并进行证明.
课后作业
请完成课本后习题第6、12、13题.(共23张PPT)
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
相交线与平行线
5.3.2
命题、定理、证明
课时1
知识回顾
平行线的性质有哪些？
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
学习目标
1.了解命题的概念以及命题的构成(“如果……那么……”的形式)．
2.知道什么是真命题和假命题．
课堂导入
请同学们观察下列语句：
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
这些语句具有什么特点？
新知探究
知识点：命题的定义与结构
判断一件事情的语句，叫做命题.
1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
新知探究
判断下列四个语句是否为命题？
(1)两直线相交有几个交点？
(2)直角都相等；
(3)同角或等角的补角相等；
(4)如果
a+b=0，那么
a=0，b=0.
没有作出判断
虽然说法错误，
但是也作出了判断
新知探究
都是“如果……那么……”的形式.
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征吗？
1.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
2.如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
3.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
新知探究
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
“如果”后接的部分是题设，即已知事项.
“那么”后接的部分是结论，即由已知事项推出的事项.
如：如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线也互相平行.
题设
结论
新知探究
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式.
如：“对顶角相等”可以改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
新知探究
如果一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
如果一个角是锐角，那么这个角小于它的余角.
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)同角的余角相等；
(3)锐角小于它的余角．
新知探究
命题1：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
观察下列命题，它们都是正确的吗？
命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角.
命题1是一个正确的命题.
命题2是一个错误的命题.
新知探究
题设成立时，结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
跟踪训练
命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．
(1)将该命题改写成“如果……那么……”的形式，
并指出该命题的题设和结论；
(2)判断该命题的真假.
该命题是假命题.
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．
随堂练习
1.下列语句是命题的是(
)
A．你有橡皮擦吗
B．小华是男生
C．垃圾要分类
D．出门戴口罩
B
疑问句
描述性语言
描述性语言
(1)同旁内角互补；(
)
(4)两点可以确定一条直线；(
)
(7)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.(
)
(2)一个角的补角大于这个角；(
)
2.判断下列命题的真假.真的用“√”表示，假的用“×”表示.
(5)两点之间线段最短；(
)
(3)相等的两个角是对顶角；(
)
×
√
(6)同角的余角相等；(
)
×
√
√
√
×
随堂练习
随堂练习
3.判断下列语句是不是命题，如果是，请写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由.
①内错角相等；
②美丽的中国；
③已知
a2
=4，求
a
的值；
④小数一定是有理数；
⑤画线段
AB.
①是命题，其中“两个角是内错角”是题设，“这两个角相等”是结论.
这个命题是假命题.
④是命题，其中“一个数是小数”是题设，“这个数是有理数”是结论.
这个命题是假命题.
随堂练习
②
③
⑤不是命题，因为它们都不是判断一件事情的语句.
课堂小结
命题
定义
组成
分类
题设
结论
真命题
假命题
判断一件事情的语句
已知事项
由已知事项推出的事项
形式
如果……那么……
拓展提升
1.判断下列语句是不是命题？
(1)两点之间，线段最短；(
)
(2)请画出两条互相平行的直线；(
)
(3)过直线外一点作已知直线的垂线；(
)
(4)如果两个角的和是90?，那么这两个角互余．(
)
√
×
×
√
拓展提升
2.请说出下列命题的题设和结论各是什么，并把它们改写成“如果……那么……”的形式．
(1)内错角相等，两直线平行；
.
(2)两直线平行，同位角相等；
如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行.
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等.
拓展提升
3.分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式，指出其题设和结论，并判断其真假．
(1)等角的余角相等；
解：(1)如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
题设：两个角是等角的余角.
结论：这两个角相等．
真命题.
拓展提升
3.分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式，指出其题设和结论，并判断其真假．
(2)负数之和仍为负数．
解：(2)如果几个负数相加，那么它们的和为负数．
题设：几个负数相加.
结论：它们的和为负数．
真命题．
课后作业
请完成课本后练习第1、2题.
