(共25张PPT)
6.3
实数
课时2
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
有理数关于相反数和绝对值的意义是什么？
只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数.
数轴上表示数
a
的点到原点的距离叫做数
a
的绝对值，用
|a|
表示.
学习目标
1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.
课堂导入
把有理数扩充到实数之后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数，这节课就让我们来学习这些内容吧！
新知探究
知识点1：实数的有关概念
思考
（1）
的相反数是______，-π
的相反数是______，0
的相反数是______；
（2）|
|
=____，|-π|
=____，|
0
|
=____.
π
0
π
0
数
a
的相反数是
-a，这里
a
表示任意一个实数.
新知探究
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是
0.
即设
a
表示一个实数，则
新知探究
例1
(1)分别写出
，π
-
3.14
的相反数；
解：(1)因为
，-（π
-
3.14）=
3.14
-
π，
所以
，π
-
3.14
的相反数分别为
，3.14
-
π.
(2)指出
，
分别是什么数的相反数；
(2)因为
，
，
所以
，
分别是
，
的相反数.
新知探究
(3)
求
的绝对值；
(3)
因为
所以
(4)
已知一个数的绝对值是
，求这个数.
(4)因为
所以绝对值为
的数是
或
.
跟踪训练
求下列各数的相反数和绝对值：
(1)；
(2)3-π；
(3)
.
解：(1)的相反数是，.
(2)3-π的相反数是-(3-π)=π-3；|3-π|=π-3.
(3)
的相反数是；
|
|=
.
新知探究
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
知识点2：实数的运算
新知探究
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b
=
（加法交换律）；
（2）(a+b)+c
=
（加法结合律）；
（3）a+0
=
0+a
=
；
（4）a+(-a)
=
(-a)+a
=
；
（5）ab
=
（乘法交换律）；
（6）(ab)c
=
（乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
a
0
ba
a(bc)
（7）
1
·
a
=
a
·
1
=
；
a
新知探究
（8）a(b+c)
=
（乘法对于加法的分配律），
(b+c)a
=
（乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b
=
a+
；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，
满足a·b
=
b·a
=1，我们把b叫做a的
；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b
=
a
·
；
（12）实数有一条重要性质：如果a
≠
0，b
≠
0，
那么ab
0.
ab+ac
ba+ca
(-b)
倒数
≠
新知探究
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
新知探究
例2
计算下列各式的值：
新知探究
例3
计算（结果保留小数点后两位）：
解：
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
跟踪训练
计算：
(1)
；
解：(1)
=
=
=
.
跟踪训练
(2)
；
解：(2)
=
=
.
(3)
(精确到0.01)
.
解：(3)
≈2.236+1.710-5.021
=-1.075
≈-1.08.
随堂练习
1.
的相反数是
，绝对值是
.
2.计算：
.
解：
=
=
.
随堂练习
3.实数
a，b
在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a+b|
-
的结果是
.
-2a-b
解析：由数轴可知
b<0
|a|，
∴
a+b<0，
∴
|a+b|-
=
-a-b-a=
-2a-b.
课堂小结
相反数、绝对值
实数
实数的有关概念
实数的混合运算
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
拓展提升
1.计算：
.
解：
=
=
=
.
拓展提升
2.学校原有一个面积为
100
m2
的圆形花坛，现将花坛的半径增加
2
m，重建一个新花坛.求新建花坛的周长.(结果精确到
1
m)
解：设原有花坛的半径为
r
m，根据题意得
πr2=100，
∴
r2=
.
∵
r>0，∴
r
=，
∴
新建花坛的半径为()
m，
∴
新建花坛的周长为2π×
()≈48(m).
拓展提升
3.
已知
，
，
，
.
(1)请化简
a，b，c，d
这四个数；
解：(1)
，
，
，
.
拓展提升
(2)根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和
m”
与“无理数的和
n”，并比较
m，n
的大小.
解：(2)
，
，
，
∴
n
>
m.
课后作业
请完成课本后习题第3、4、5题.(共32张PPT)
6.3
实数
课时1
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
一般地，如果一个数的立方等于
a，那么这个数叫做
a
的立方根或三次方根．这就是说，如果
x3=a，那么
x
叫做
a
的立方根.
求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根.
知识回顾
求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
解：(1)
；
(2)
；
(3)
.
学习目标
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.
2.熟练掌握实数大小的比较方法.
课堂导入
整数、小数、分数、百分数.
小学阶段我们学过哪些数？
让我们通过本节课的学习来寻找答案吧！
属于哪一类呢？
新知探究
知识点1：实数的概念和分类
探究
我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？
-
它们都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
=
2.5
-
=
-0.6
=
6.75
=
1.2
=
0.81
?
?
?
新知探究
整数可以看成是小数点后是0的小数.
整数能写成小数的形式吗？
事实上，如果把整数看成小数点后是
0
的小数，那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
新知探究
所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…(两个1之间依次多一个0)
不是.
如：
1.41421356…
1.70997594…
新知探究
无限不循环小数叫做无理数.
1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数.
2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数.
有理数和无理数统称为实数.
新知探究
常见的无理数的形式：
(1)开方开不尽的数的方根，如：等；
(2)
π
及化简后含
π
的数，如：π+1等；
(3)具有特殊结构的数，如：0.3030030003…(相邻两个
3之间依次多一个
0
).
像有理数一样，无理数也有正负之分.例如，是正无理数，是负无理数.
新知探究
无理数与有理数的区别
(1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数.
(2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.
新知探究
(1)按定义分：
你能给实数分类吗？
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
新知探究
(2)按大小分：
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
0
实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，都要做到不重不漏.
新知探究
(1)对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，不能看到有分数线的数，就认为是有理数.
(2)在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.
跟踪训练
把下列各数填在相应的大括号内.
.
非负整数：{
…}；
整数：{
…}；
负分数：{
…}；
跟踪训练
把下列各数填在相应的大括号内.
正实数：{
…}；
有理数：{
…}；
无理数：{
…}.
.
新知探究
知识点2：实数与数轴上的点
探究
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点
O'，点
O'
对应的数是多少？
O
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
O'
新知探究
从图中可以看出，OO'
的长是这个圆的周长
π，所以点
O'
对应的数是
π.
这样，无理数
π
可以用数轴上的点表示出来.
O
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
新知探究
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为
，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为.
你能在数轴上表示出
和
吗？
新知探究
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
实数和数轴上的点一
一对应
-2
-1
0
1
2
新知探究
与有理数一样，实数也可以比较大小.
对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
1.正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；
2.
两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
新知探究
不用计算器，
与
2
比较哪个大？与
3
比较呢？
，2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，可以推断：面积较大的正方形，它的边长也比较大，因此
.
因为5<9，所以.
跟踪训练
1.下列说法正确的有(
)
①数轴上任意一点都表示一个有理数；
②任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；
③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
④有理数与数轴上的点一
一对应.
实数
实数
B
A.1个
B.2个
C.3
D.4个
2.给出三个数：-π，-3，
，将它们按从小到大的顺序排列为(
)
A.-3<-π<
B.-π<-3<
C.
<-3<-π
D.-π<
<-3
解析：|-π|=π≈3.14，|-3|=3，
≈2.65，
∵2.65<3<3.14，即<|-3|<|-
π
|，
∴
-π<-3<
.
B
跟踪训练
随堂练习
1.给出下列各数：
(，0.，5-π，，，，，0，1.2020020002?（相邻两个2之间0的个数依次增加1）.其中无理数有(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4
C
0.3
随堂练习
2.实数
a，b，c
在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(
)
A.
|a|>4
B.
c
-b>0
C.
ac>0
D.
a+c>0
-4c>0,b<0
c-b>0
a<-3,c<3
a+c<0
a<0,c>0
B
随堂练习
3.比较
与
的大小.
解：
∵2<4，
∴，即<2，
∴<0，
∴<0，
<
.
一
一对应
无限不循环小数
课堂小结
实数
无理数
实数的分类
实数与数轴上点的关系
实数的大小比较
拓展提升
1.实数
a，b
在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论正确的是(
)
A.
a>b
B.
a>
-b
C.
-a>b
D.
-a-3C
拓展提升
2.比较3，，的大小(
)
A.
3<<
B.
3<<
C.
<3<
D.
<<3
3=<
3=>
C
拓展提升
3.设?x，y?是有理数，且?x，y?满足等式
x2+2y+y=17-4，求
x-y
的值．
解：∵
x，y
是有理数，且
x，y
满足等式
x2+2y+y=17-4，
∴
解得
或
∴
当
x=5，y=-4
时，x-y=5-(-4)=9，
当
x=-5，y=-4
时，x-y=-5-(-4)=-1．
课后作业
请完成课本后习题第1、
2题.