人教版数学七年级下册 6.2立方根 课件（34张）

6.2 立方根
实数
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
1.什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.
2.平方根的性质有哪些？
(1) 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
(2) 0 的平方根还是 0.
(3) 负数没有平方根.
知识回顾
求下列各数的平方根：
(1) 121； (2) (-4)2； (3) 81 ； (4) ?62.
?
解：(1) 121 的平方根是 ±11.
(2) (-4)2 =16，它的平方根是 ±4.
(3) 81 =9，它的平方根是 ±3.
(4) ?62=6 ，它的平方根是 ±6.
?
学习目标
1.了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根.
2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．
课堂导入
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
球体体积公式
????=???????????????????? .
?
新知探究
知识点1：立方根的概念及性质
问题 要制作一种容积为 27 m3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
解：设这种包装箱的棱长为 x m，
则 x3=27.
这就是要求一个数，使它的立方等
于27. 因为33=27，所以 x=3.
因此这种包装箱的棱长应为 3 m.
新知探究
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根．这就是说，如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根.
在上面的问题中，由于 33=27，所以 3 是 27 的立方根.
新知探究
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方.
27
-27
125
-125
3
-3
5
-5
立方
开立方
开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
新知探究
探究 根据立方根的意义填空.
因为 23 =8，所以 8 的立方根是( )；
因为( )3 =0.064，所以 0.064 的立方是( )；
因为( )3 ＝0，所以 0 的立方根是( )；
因为( )3 ＝-8，所以 -8 的立方根是( )；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ).
0
2
-2
0
-2
0.4
0.4
新知探究
通过对这些题目的解答，你能发现什么?
1.正数的立方根是正数.
2. 0 的立方根是 0.
3.负数的立方根是负数.
归纳
立方根是它本身的数有1，-1，0.
根指数
被开方数
类似于平方根，一个数 a 的立方根，用符号“3????”表示，读作“三次根号a”.
?
新知探究
算术平方根的符号????,实际上省略了????????中的根指数2.因此,????也可读作“二次根号a”.
?
新知探究
因为 3?8 = ， ?38 = ，所以 3?8 ?38?；
因为 3?27 = ，?327 = ，所以 3?27 ?327 .
?
-2
-2
=
-3
-3
=
探究：
一般地， ?????????=????????? .
?
互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即?????????=?????????.利用“?????????=?????????”，可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
?
新知探究
例 求下列各式的值：
(1) 364 ； (2) ?318 ； (3) 3?2764 .
?
解：(1) 364=4；
(2) ?318=?12 ；
(3) 3?2764=?34.
?
新知探究
平方根
立方根
区别
性
质
正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围

两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别
可以为任意数
非负数
±
新知探究
平方根
立方根
联系
转化
0 的开方
都与相应的乘方运算互为逆运算.
0 的平方根与立方根都是 0.
平方根与立方根的联系
运算关系
跟踪训练
1.判断下列说法是否正确：
2 是 8 的立方根 ；
±4 是 64 的立方根 ；
(3) ?13 是 ?127 的立方根 ；
(4) (-4)3 的立方根是 -4 .
?
4
跟踪训练
2.求下列各式的值：
(1) ?3?0.064 ；
(2) 3124125?1 ；
(3) 34×25×80 .
?
原式= -(-0.4) = 0.4.
原式= 3?1125=?15.
?
原式= 38000=20.
?
新知探究
知识点2：用计算器求立方根
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如32 ，33 等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
?
新知探究
一些计算器设有 3 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).
按键顺序为：先按 3 键，再输入被开方数，最后按 = 键.
?
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.
按键顺序为：先按 2nd F 键，再按 3 键 ，然后输入被开方数，最后按 = 键.
?
新知探究
探究 用计算器计算…， 30.000216， 30.216 ， 3216?， 3216000?，…，你能发现什么规律？
?
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时，立方根的小数点就相应地向左或向右移动 n 位(n 为正整数).
0.06
0.6
6
60
新知探究
用计算器计算 3100 (精确到0.001)，并利用你发现的规律求 30.1 ， 30.0001?， 3100000 的近似值.
?
4.642
0.4642
0.04642
46.42
解： (1)依次按键 ，
显示：2.367501744，
∴ 313.27≈2.37.
(2)依次按键 ，
显示：-4.890973246，
∴ 3?117≈-4.89.
?
跟踪训练
用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01).
(1)13.27； (2) -117.
3
?
2nd F
3
1
.
2
7
=
1
-
1
7
=
2nd F
3
?
1.若 31?2???? 与 33?????2 互为相反数，求 2????+1???? 的值.
?
解：∵ 31?2???? 与 33?????2 互为相反数，
∴ 1-2x 与 3y-2 互为相反数，
∴ 1-2x+3y-2=0.
∴ 3y=2x+1，即 2x+1=3y.
∴ 2????+1????=3????????=3 .
?
整体思想
随堂练习
2.求下列各式中 x 的值.
(1) x3-0.001=0；(2) 8x3+125=0；(3) (x+3)3+27=0.
解：(1)∵ x3-0.001=0 ，∴ x3=0.001，∴ x= 30.001 =0.1.
?
随堂练习
(2) ∵ 8x3+125=0，∴ 8x3=-125，∴ x3= ?1258 ，
∴ x= 3?1258=?52 .
?
2.求下列各式中 x 的值.
(1) x3-0.001=0；(2) 8x3+125=0；(3) (x+3)3+27=0.
(3) ∵(x+3)3+27=0 ，
∴(x+3)3=-27，
∴ x+3= 3?27 =-3，
∴ x=-6.
?
随堂练习
利用立方根的概念解方程的步骤
1.把原方程化为 x3=m 或(ax+b)3=m 的形式.
2.利用立方根的概念，直接开立方求出 x 的值或将方程变为一元一次方程.
3.解所得的一元一次方程，求出 x 的值.
随堂练习
课堂小结
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根
立方根
概念
性质
正数的立方根是一个正数
0?的立方根是?0
?
负数的立方根是一个负数
开立方
运算
用计算器求立方根
1. 311 的整数部分是____，小数部分是________.
?
拓展提升
2
23=8，33=27，8<11<27
2<311<3
?
311?2
?
确定立方根的整数部分和小数部分的方法
先找与被开方数最接近的两个能开得尽立方的整数，然后确定立方根的取值范围，再利用取值范围确定其整数部分和小数部分.
2.已知 x- 2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的立方根是 3，求x2+y2 的平方根.
x-2=4
x=6
2x+y+7=27
y=8
62+82=100
平方根为±10
拓展提升
2.已知 x- 2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的立方根是 3，求x2+y2 的平方根.
解：∵ x-2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的立方根是 3，
∴ x-2=4，2x+y+7=27，解得 x=6，y=8，
∴ x2+y2=100，
∴ x2+y2 的平方根为±10.
拓展提升
拓展提升
3.已知一个正方体的体积是 1000 cm3，现在要在它的 8 个角上分别截去 8 个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是 488 cm3，问截去的每个小正方体的棱长是多少？
解：设截去的每个小正方体的棱长是 x cm.
依题意，得 1000-8x3=488，
∴ 8x3=512，
∴ x3=64，
∴ x=4.
答：截去的每个小正方体的棱长是 4 cm.
拓展提升
应用平方根、立方根解决实际问题的两种模型
1.面积类：利用平方根的概念，求出正方形面积的算术平方根，即为正方形的边长.
2.体积类：利用立方根的概念，求出正方体体积的立方根，即为正方体的棱长.
拓展提升
4.观察下列等式并填空：
3227=2327； 33326=33326 ；
34463=43463 ； 35(????)(???????????)=(????)3(????)(??????????) ；
……
请你把从上面发现的规律用公式表示出来.
?
23-1
33-1
43-1
3????????????3?1=????3????????3?1 (n>1，且 n 为整数)
?
5
124
5
5
124
课后作业
请完成课本后习题第2、5题.