吉林省长春市151中学2021届高三学业模拟考试数学试题（二） Word版含答案

长春市151中学2020年12月吉林省普通高中学业考试模拟
数学试卷
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一、单项选择（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1、设集合，则( )
A． B． C． D．
2、sin的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
3、执行如图的程序框图,则输出的（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4、甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（ ）
A．0.8 B．0.65 C．0.15 D．0.5
5、如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6、已知则方程的所有根之和为(　　)
A．3 B．1
C．1 D．3
7、的内角的对边分别为,且,，，则角=( )
A． B． C．或 D．或
8、是第四象限角，，（ ）
A B C D
9、经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）的圆的方程是（ ）
A．(x＋8)2＋(y＋3)2=25 B．(x－8)2＋(y＋3)2=25
C．(x－8)2＋(y－3)2=25 D．(x＋8)2＋(y－3)2=25
10、已知数列中，，则（ ）
A．13 B．12
C．11 D．10
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11、不等式的解集为____________．
12、球的表面积为，则球的体积为_________．
13、已知向量，，若，则实数的值是______.
14、已知数列的通项公式，则____________．
15、直线过定点_____，若直线l与直线平行，则___．
三、解答题（本大题共5小题，16题6分，17题18题19题每题8分，20题10分，满分40分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤）
16、已知三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
17、已知函数．
（1）求的最大值及取得最大值时的值；
（2）求的单调递减区间．
18、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
19、已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20、已知函数，且.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明.
参考答案
一、单项选择
1、【答案】B
2、【答案】B
3、【答案】C
4、【答案】B
5、【答案】C
6、【答案】B
7、【答案】B
8、【答案】D
9、【答案】B
10、【答案】C
二、填空题
11、【答案】
12、【答案】
13、【答案】
14、【答案】
15、【答案】 -1
16、【答案】（1）；（2）．
试题分析：（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；
（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.
详解：（1）设线段的中点为．
因为，，
所以的中点，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即．
（2）因为，，
所以边所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
即．
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
17、【答案】（1）1；；（2），
试题分析：（1）根据的性质中的最值即可求解；
（2）根据的性质中的单调性即可求解.
详解：（1）令，即时，
取最大值1.
（2）由
得的减区间为，
【点睛】
本题考查的性质，是基础题.
18、【答案】（1）见解析；（2）
试题分析：（1）连接CO，由题意可得△ACO为等边三角形，即得CD⊥AO，再由题意得PD⊥CD，即证得CD⊥平面PAB
（2）由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，在三角形中结合各边长解三角形即可求出结果
【详解】
(1)证明：连接CO，
由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD平面PAB，AO平面PAB，且PD∩AO＝D，
得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
【点睛】
本题考查了线面垂直及线面角得大小，需要熟练运用线面垂直得判定定理，再结合题意证明出结果，求线面角时转化为解三角形，关键是找出线面角，然后再计算
19、【答案】（1）；（2）.
试题分析：（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求前项和；
详解：（1）设数列的公差为，
解得
.
（2）由（1）知，
，
，
即.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和，解题关键是掌握裂项求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20、【答案】（1）-1；（2）单调递增；证明见解析.
试题分析：（1）由直接求a的值；
（2）利用定义证明时，先在(1，＋∞)上任取两个自变量x1＞x2＞1，然后代入函数中作差变形，得，判断其正负可得结论.
详解：（1）因为，且，
所以，解得a＝－1.
（2）由（1）得，f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
证明如下：
设x1＞x2＞1，
则.
因为x1＞x2＞1，
所以x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
【点睛】
此题考查了利用定义法判断函数的单调性，利用定义法判断函数单调性时，先求函数的定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论，属于基础题.