人教版九年级上册 第22章 二次函数图像与性质知识点题型总结（无答案）

二次函数图像及性质
【二次函数的定义】
一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．
注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
【二次函数的图象】
1．二次函数图象与系数的关系
（1）决定抛物线的开口方向
当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．
决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反．
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）
当时，抛物线的对称轴为轴；
当、同号时，对称轴在轴的左侧；
当、异号时，对称轴在轴的右侧．
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）
当时，抛物线与轴的交点为原点；
当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴．
2.二次函数图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．
3.点的坐标设法
⑴
一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.
⑵
二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．
⑶
点关于的对称点为．
4.二次函数的图象信息
⑴
根据抛物线的开口方向判断的正负性．
⑵
根据抛物线的对称轴判断的大小．
⑶
根据抛物线与轴的交点，判断的大小．
⑷
根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．
⑸
根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式．
⑹
根据抛物线的顶点，判断的大小．
5.二次函数的图象的平移
【二次函数的图象及性质】
1．
二次函数的性质：
⑴抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（
轴）．
⑵函数的图像与的符号关系．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2．二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3．
二次函数或（）的性质
⑴开口方向：
⑵对称轴：（或）
⑶顶点坐标：（或）
⑷最值：
时有最小值（或）（如图1）；
时有最大值（或）（如图2）；
⑸单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数（）的变化情况（增减性）
①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧
，
随的增大而增大；
②如图2所示，当时，对称轴左侧，
y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，
随的增大而减小；
⑹与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）
成立的值．
例题精讲
一、二次函数的概念
【例1】
（1）已知函数
⑴当，，是怎样的数时，它是一次函数？
⑵当，，是怎样的数时，它是正比例函数？
⑶当，，是怎样的数时，它是二次函数？
（2）如果函数是二次函数，那么m的值为
。
二、二次函数的图象及性质
1、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．
2、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．
【例2】
已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（
）
第一、二、三象限
第一、二、四象限
第二、三、四象限
第一、三、四象限
【例3】
已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第
象限.
【例4】
函数与的图象可能是(
)
【例5】
在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　）
【例6】
在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（
）
【例7】
下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（
）
第一象限
第二象限　　第三象限
第四象限
【例8】
已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（
）
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
【例9】
已知二次函数的与的部分对应值如下表：
…
…
…
…
则下列判断中正确的是（　
　）
A.
抛物线开口向上　　　　　　
B.
抛物线与轴交于负半轴
C.
当时，
D.
方程的正根在与之间
【例10】
若二次函数（，为常数）的图象如右图，则的值为（
）
【例11】
设二次函数图像如图所示，试判断的符号．
【例12】
二次函数的图象如下左图所示，判断，，，，，，的符号
【例13】
已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②
B．①③④
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
【例14】
已知二次函数的图象如图所示，则下列结论
；
方程的两根之和大于0；随的增大而增大；
④，其中正确的个数（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【例15】
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（
）
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
【例16】
如下右图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．
其中正确的有（
）
个
个
个
个
【例17】
二次函数在其图象对称轴的左侧，随着的增大而减小，则的值为_____．
【例18】
二次函数在其图象对称轴的右侧，随着的增大而减小，则的值为_____．
【例19】
已知点，是函数上两点，则当时，函数值y=
.
【例20】
已知，当取不同的值，时函数值相等，则当时的值（
　
）
与的函数相等．
与的函数相等．
与的函数相等．
与的函数相等．
【例21】
若二次函数有最大值，则________．
【例22】
若二次函数有最小值，则________．
【例23】
二次函数的图象上最低点的坐标是
（
）
A．（-1，-2）
　
B．（1，-2）
　
C．（-1，2）
D．（1，2）
【例24】
抛物线的顶点坐标是（
）．
A．
B．
C．
D．
【例25】
已知，点，，，，，都在函数的图象上，则（
）
【例26】
已知二次函数的图象过点．若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【例27】
若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．　
D．
【例28】
已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有
个交点．
【例29】
已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，
试比较和的大小：____（填“>”，“<”或“=”）
【例30】
已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于轴的负半轴，则的取值范围是_________________．
【例31】
设抛物线为，根据下列各条件，求的值．
⑴
抛物线的顶点在轴上；
⑵
抛物线的顶点在轴上；
⑶
抛物线经过点；
⑷
抛物线经过原点；
⑸
当时，有最小值；
⑹
的最小值为．
【例32】
已知点与点关于原点对称，求函数的顶点坐标．
【例33】
设，
当取任意实数时，恒为非负数，求的取值范围；
【例34】
设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：．
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