(共32张PPT)
8.3
实际问题与二元一次方程组
课时1
二元一次方程组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
加减
求解
回代
写解
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
代入
求解
回代
写解
解二元一次方程组的方法有哪些？
代入消元法和加减消元法.
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决简单的实际问题.
2.学会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分问题及行程问题.
课堂导入
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些实际问题.本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题.同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流.
新知探究
知识点：
列方程组解决简单实际问题
探究1
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675
kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940
kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20
kg，每只小牛1天约需饲料7~8
kg.你能通过计算检验他的估计吗？
题中有哪些未知量？
未知量有每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料.
新知探究
30头大牛和15头小牛一天需用饲料675kg；
(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天需用饲料940kg.
探究1
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675
kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940
kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20
kg，每只小牛1天约需饲料7~8
kg.你能通过计算检验他的估计吗？
题中有哪些等量关系？
新知探究
可设每头大牛和小牛平均1天各需用的饲料为
x
kg和
y
kg.
30头大牛和15头小牛一天需用饲料675kg；
(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天需用饲料940kg.
如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？
新知探究
直接消元.
解：①×4，得
120x+60y=2700.③
②×3，得
126x+60y=2820.④
④-③，得
6x=120，解得
x=20.
把
x=20
代入①，得
30×20+15y=675，解得
y=5.
所以这个方程组的解是
如何解这个方程组呢？
①
②
新知探究
如何解这个方程组呢？
①
②
先化简再消元.
解：方程组可化简为
由③，得
y=45-2x.⑤
把⑤代入④，得
21x+10(45-2x)=470，解得
x=20.
把
x=20
代入③，得
2×20+y=45，解得
y=5.
所以这个方程组的解是
新知探究
饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计错误.
饲养员李大叔的估计正确吗？
二元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，用二元一次方程组解决实际问题时，要注意分析题目中的数量关系，设出合适的未知数，将已知量和未知量通过题目中的等量关系联系起来，列出方程组，将实际问题转化为数学问题.
新知探究
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们
之间的等量关系；
设：恰当地设未知数；
列：依据题中的等量关系列出方程组；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
答：写出答.
1
4
3
2
5
6
新知探究
找等量关系的方法
1.抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”
“等于”等；
2.根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
3.挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
4.借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
新知探究
随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔打算聘请饲养员管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？
等量关系：
甲种饲养员负责的大牛数+乙种饲养员负责的大牛数=42(头)；
甲种饲养员负责的小牛数+乙种饲养员负责的小牛数=20(头).
新知探究
解：设李大叔应聘请甲种饲养员
x
人，乙种饲养员
y
人，
根据题意可得方程组
①-②×2得
y=2.
把
y=2
代入②，得
4x+2×2=20，解得
x=4.
因此这个方程组的解为
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
新知探究
和、差、倍、分问题的求解策略
列方程组解决和、差、倍、分问题时，要抓住题目中反映数量关系的关键字(词)：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等.列方程时，要明确这些关键字(词)的含义，寻找等量关系，设出合适的未知数.
新知探究
例
一项
200
km
的引水工程交给了甲、乙两个施工队，工期为
50
天.甲、乙两队合作了
30
天后，乙队因另有任务离开
10
天，于是甲队加快速度，每天多修
0.6
km，10
天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修
0.4
km，最后如期完成.问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米?
解：设甲队原计划每天修
x
km，乙队原计划每天修
y
km，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲队原计划每天修
2.4
km，乙队原计划每天修
1.6
km.
新知探究
新知探究
工程问题的求解策略
工程问题中的基本关系式是“工作量=工作效率×工作时间”.常用的等量关系有：各部分的工作量之和=总工作量，各部分的工作效率之和=合作的工作效率.当工作总量未给出具体数值时，常将工作总量看作单位“1”.
跟踪训练
2019年10月13日上午7:30，2019郑州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛.下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
解：设妹妹的年龄为
x
岁，哥哥的年龄为
y
岁.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：妹妹的年龄为
6
岁，哥哥的年龄为
10
岁.
跟踪训练
1.某出租车起步价所包含的路程为
0~2
km，超过
2
km
的部分按每千米另收费.津津乘坐这种出租车走了
7
km，付了
16
元；盼盼乘坐这种出租车走了
13
km，付了
28
元.设这种出租车的起步价为
x
元，超过
2
km
后每千米收费
y
元，则下列方程组正确的是(
)
随堂练习
x+(7-2)y=16
x+(13-2)y=28
D
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2.买2本笔记本和3支水笔共需15元，买3本笔记本和2支水笔共需20元，则购买1本笔记本和1支水笔共需多少元？
解：设购买1本笔记本需要
x
元，购买1支水笔需要
y
元，
根据题意，得
由①+②，得
5x+5y=35，
所以
x+y=7．
答：购买1本笔记本和1支水笔共需
7
元．
随堂练习
3.运动会上，七(1)班男、女生分别佩戴了白、红颜色的太阳帽，小明为七(1)班的一名男生，小红为七(1)班的一名女生.小明对小红说：“我看到白色的帽子比红色的帽子多5个.”小红对小明说：“我看到红色的帽子是白色帽子数量的
.”根据以上对话，你能推算出七(1)班男、女生各有多少人吗？
随堂练习
解：设七(1)班男生有
x
人，女生有
y
人.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：七(1)班男生有
28
人，女生有
22
人.
课堂小结
二元一次方程组的应用
应用
和、差、倍、分问题
工程问题
步骤
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：依据等量关系列出方程组
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
解：解方程组，求出未知数的值
拓展提升
1.无人知甲、乙两人年龄，只知道当甲是乙现在的年龄时，乙只有2岁；当乙到甲现在的年龄时，甲是38岁了，问甲、乙现在的年龄各是(
)
A．24岁，14岁
B．26岁，14岁
C．26岁，16岁
D．28岁，16岁
乙的年龄-年龄差=2
甲的年龄+年龄差=38
拓展提升
解：设甲现在的年龄是
x
岁，乙现在的年龄是
y
岁，
则
解得
所以甲、乙现在的年龄分别是26岁、14岁．
拓展提升
2.有大小两种盛酒的桶，已知
5
个大桶加上
1
个小桶可以盛酒
3
斛，1
个大桶加上
5
个小桶可以盛酒
2
斛，则一个大桶和一个小桶分别可以盛酒多少斛？
解：设
1
个大桶盛酒
x
斛，1
个小桶盛酒
y
斛，
依题意，得
解得
因此
1
个大桶盛酒
斛，1
个小桶盛酒
斛．
拓展提升
3.现有一段长为
180
米的河道整治任务由
A、B
两个工程队先后接力完成.
A
工程队每天整治
12
米，B
工程队每天整治
8
米，共用时
20
天．
(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数
x、y
表示的意义：
甲：x
表示_________________，y
表示_________________．
乙：x
表示___________________，y
表示__________________．
A
工程队用的时间
B
工程队用的时间
A
工程队治理的米数
B
工程队治理的米数
拓展提升
(2)求
A、B
两工程队分别整治河道多少米．
解：选甲同学所列方程组解答如下：
②-①×8得
4x=20，解得
x=5，
把
x=5
代入①，得
y=15，
所以方程组的解为
A
工程队整治河道的米数为
12x=60，
B
工程队整治河道的米数为
8y=120.
答：A
工程队整治河道
60
米，B
工程队整治河道
120
米．
拓展提升
解：选乙同学所列方程组解答如下：
②×24-①×2，得
y=120，
把
y=120
代入①得
x=60，
所以方程组的解为
答：A
工程队整治河道
60
米，B
工程队整治河道
120
米．
(2)求
A、B
两工程队分别整治河道多少米．
课后作业
请完成课本后习题第5题.(共36张PPT)
二元一次方程组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
8.3
实际问题与二元一次方程组
课时3
知识回顾
基本关系：路程=速度×时间；
相向相遇：路程和=初始距离；
同向追及：路程差=初始距离.
若
a
件甲产品和
b
件乙产品配成一套，则
b×甲产品的件数=a×乙产品的件数.
二元一次方程组的应用
几何问题
行程问题
配套问题
学习目标
1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.
2.学会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想.
课堂导入
前面我们学习了运用方程组解决一些实际问题，这些问题都可以根据问题中要求什么，直接设未知数解决.当问题中的未知数不易直接列出方程组时，我们该怎么做呢？
新知探究
知识点：
列方程组解决较复杂的实际问题
探究3
如图，长青化工厂与
A，B
两地有公路、铁路相连．这家工厂从
A
地购买一批每吨
1000
元的原料运回工厂，制成每吨8000
元的产品运到
B
地.已知公路运价为
1.5
元/(t·km)，铁路运价为
1.2
元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费
15000
元，铁路运费
97200
元.这批产品的
销售款比原料费与运输费的
和多多少元？
新知探究
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.
因此，我们必须知道产品数量和原料数量．
销售款
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”由此我们必须知道什么？
新知探究
本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．
产品
x
吨
原料
y
吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
新知探究
你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
产品
x
吨
原料
y
吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
解：化简方程组，得
由①，得
y=1000-2x，③
把③代入②，得
11x+12(1000-2x)=8100，解得
x=300，
把
x=300
代入③，得
y=1000-2×300，解得
y=400.
所以这个方程组的解是
新知探究
新知探究
销售款：8000×300=2400000；
原料费：1000×400=400000；
运输费：15000+97200=112200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
这个实际问题的答案是什么？
新知探究
在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
新知探究
例
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.
假设他始终保持平路每分钟走
60
m，下坡路每分钟走
80
m，上坡路每分钟走
40
m，则他从家里到学校需
10
min，从学校到家里需
15
min.小华家离学校多远？
等量关系：
走平路的时间+走下坡路的时间=10
min，
走上坡路的时间+走平路的时间=
15
min．
路程=平均速度×时间
新知探究
直接设元法：
设小华家到学校平路长
x
m，下坡路长
y
m.
平路时间
坡路时间
总时间
上学
放学
10
15
新知探究
解：设小华家到学校平路长
x
m，下坡路长
y
m.
根据题意，可列方程组
解方程组，得
所以，小华家到学校的距离为
700
m.
新知探究
间接设元法：
设小华下坡路所花时间为
x
min，上坡路所花时间为
y
min.
平路距离
坡路距离
上学
放学
60(10-x)
80x
40y
60(15-y)
新知探究
解：设小华下坡路所花时间为
x
min，上坡路所花时间为
y
min.
根据题意，可列方程组
解方程组，得
所以，小华家到学校的距离为
700
m.
故平路距离为
60×(10-5)=300(m)，
坡路距离为
80×5=400(m).
跟踪训练
李三水果店在批发市场用
2220
元购进甲、乙两种水果共
100
千克进行零售．已知甲种水果购进价为
15
元/千克，零售价为
20
元/千克，乙种水果购进价为
24
元/千克，零售价为
33
元/千克．该水果店销售这两种水果获得的毛利润是多少元？(毛利润=销售金额-进货金额)
跟踪训练
解：设该水果店购进
x
千克甲种水果，y
千克乙种水果，
依题意，得
解这个方程组，得
∴
20x+33y-2220=20×20+33×80-2220=820.
答：该水果店销售这两种水果获得的毛利润是
820
元.
随堂练习
1.今年洛阳牡丹文化节期间龙门石窟旅游景点共接待游客
92.4
万人，和去年同时期相比，游客总数增加了
10%，其中省外游客增加了
14%，省内游客增加了8%.若省外游客每位门票均价约为
100
元，省内游客每位门票均价约为
80
元，则今年文化节期间该景点的门票收入大约是多少万元？
随堂练习
解：设该景点去年牡丹文化节期间接待的省外游客为
x
万人，省内游客为
y
万人，
根据题意，得
解得
今年文化节期间该景点的门票收入大约是
28×(1+14%)×100+56×(1+8%)×80=8030.4(万元).
答：今年文化节期间该景点的门票收入大约是
8030.4万元.
2.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小
45，又知原百位数字的
9
倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
随堂练习
解：设原百位数字为
x，由原十位数字和个位数字组成的两位数为
y.
根据题意，得
解这个方程组，得
所以原三位数为
4×100+39=439.
答：原三位数为
439.
数字问题的求解策略
1.列方程组解决数字问题的关键在于正确地用式子表示一个多位数，如一个三位数的百位上的数字为
a，十位上的数字为
b，个位上的数字为
c，则这个三位数为
100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数.
随堂练习
随堂练习
3.某商场计划用
40000
元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部
1200
元，乙型号手机每部
400
元，丙型号手机每部
800
元.
(1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共
40
部，则商场共有哪几种进货方案？
随堂练习
解：(1)①若购进甲、乙两种型号的手机，设购进甲型号手机
x1
部，乙型号手机
y1
部.
根据题意，得
解得
随堂练习
②若购进甲、丙两种型号的手机，设购进甲型号手机
x2
部，丙型号手机
y2
部.
根据题意，得
解得
随堂练习
③若购进乙、丙两种型号的手机，设购进乙型号手机
x3
部，丙型号手机
y3
部.
根据题意，得
解得
因为
x3
表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况应舍去.
综上所述，商场共有两种进货方案.
方案一：购进甲型号手机
30
部，乙型号手机
10
部；
方案二：购进甲型号手机
20
部，丙型号手机
20
部.
随堂练习
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利
120
元，每销售一部乙型号手机可获利
80
元，每销售一部丙型号手机可获利
120
元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？
解：(2)方案一获利：120×30+80×10=4400(元)；
方案二获利：
120×20+120×20=4800(元).
所以方案二获利较多，
所以商场应购进甲型号手机
20
部，丙型号手机20部.
课堂小结
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
拓展提升
1.一个两位数的十位数字与个位数字的和是
8，把这个两位数加上
18
，结果恰好等于这个两位数数字对调后组成的两位数，则这个两位数是______.
x+y=8
x+10y+18
10x+y
35
x
y
2.据统计，某市今年五月份外来与外出旅游的总人数为
226
万人，分别比去年同期增长
30%
和
20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多
20
万人.分别求出该市今年五月份外来和外出旅游的人数.
拓展提升
解：设去年五月份外来旅游的人数为
x
万人，外出旅游的人数为
y
万人.
由题意得
解这个方程组，得
所以(1+30%)x=130，(1+20%)y=96.
答：该市今年五月份外来和外出旅游的人数分别是
130
万人和
96
万人.
拓展提升
拓展提升
3.小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽购买自动铅笔、记号笔各几支？
商品名
单价/元
数量/个
金额/元
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
拓展提升
解：(1)设小丽购买自动铅笔
x
支、记号笔
y
支.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小丽购买自动铅笔
1
支、记号笔
2
支.
拓展提升
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费
15
元，则有哪几种不同的购买方案？
商品名
单价/元
数量/个
金额/元
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
拓展提升
解：(2)设小丽购买软皮笔记本
m
本、自动铅笔
n
支.
根据题意，得
.
∵
m，n
为正整数，
∴
或
或
∴
共有三种方案.
方案一：1
本软皮笔记本与
7
支自动铅笔；
方案二：2
本软皮笔记本与
4
支自动铅笔；
方案三：3
本软皮笔记本与
1
支自动铅笔.
课后作业
请完成课本后习题第6、8题.(共37张PPT)
二元一次方程组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
8.3
实际问题与二元一次方程组
课时2
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：依据等量关系列出方程组
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
解：解方程组，求出未知数的值
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决简单的实际问题.
2.学会利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、配套问题等.
课堂导入
上节课我们学习了运用方程组解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立二元一次方程组的数学模型解应用题.
新知探究
知识点1：列方程组解决几何问题
探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
新知探究
A
D
C
B
已知：长方形
ABCD，
AB=CD=200
m，AD=BC=100
m，长方形
ABCD
分割为两个小长方形，分别种甲、乙两种作物，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是
1:2.
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是
3:4.
新知探究
竖着画，把长分成两段，则宽不变；
横着画，把宽分成两段，则长不变.
这里研究的实际上是什么问题？
长方形的面积分割问题！
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
A
D
C
B
新知探究
竖着画，把长分成两段，则宽不变.
F
E
1.大长方形的长=200
m.
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4.
等量关系有哪些？
总产量=单位面积产量×面积
A
D
C
B
新知探究
A
D
C
F
B
E
100x：200y=3:4
x
y
200
m
100
m
x+y=200
1.大长方形的长=200
m.
如何设未知数呢？
甲种作物
乙种
作物
2.甲、乙两种作物总产量比=3：4.
100x
100y
新知探究
解：过点
E
作
EF⊥AB，交
CD
于点
F.
设
AE＝x
m，BE＝y
m.
根据题意，得
解得
答：将这块土地分为长
120
m，宽
100
m
和长
100
m，宽
80
m
的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
A
D
C
F
B
E
x
y
200
m
100
m
甲种作物
乙种
作物
100x
100y
新知探究
横着画，把宽分成两段，则长不变.
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的宽=100
m.
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4.
总产量=单位面积产量×面积
等量关系有哪些？
新知探究
200x：400y=3：4
100
m
x+y=100
1.大长方形的宽=100
m.
甲种作物
乙种作物
2.甲、乙两种作物总产量比=3：4.
200x
200y
A
D
C
F
B
E
200
m
x
y
如何设未知数呢？
新知探究
解：过点
E
作
EF⊥AD，交
BC
于点
F.
设
DE＝x
m，AE＝y
m.
根据题意，得
解得
答：将这块土地分为长
200
m，宽
60
m
和长
200
m，宽
40
m
的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
100
m
甲种作物
乙种作物
A
D
C
F
B
E
200
m
x
y
跟踪训练
如图，在长方形
ABCD
中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为(
)
A．44
cm2
B．36
cm2
C．96
cm2
D．84
cm2
14×(6+2×2)-6×8×2=44(cm2)．
x
y
x+y
x+3y=14
x+y-2y=6
A
新知探究
例1
甲、乙两人相距
4
km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲
2
h
追上乙；如果相向而行，两人
0.5
h
后相遇.试问两人的速度各是多少？
知识点2：列方程组解决行程问题和配套问题
1.同时出发，同向而行：
甲出发点
乙出发点
4
km
甲追上乙
乙
2
h
行程
甲
2
h
行程
甲
2
h
行程=4
km+乙
2
h
行程
新知探究
2.同时出发，相向而行：
甲出发点
乙出发点
4
km
相遇地
甲
0.5
h
行程
乙
0.5
h
行程
甲
0.5
h
行程+乙
0.5
h
行程=4
km
甲、乙两人相距
4
km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲
2
h
追上乙；如果相向而行，两人
0.5
h
后相遇.试问两人的速度各是多少？
新知探究
解：设甲、乙的速度分别为
x
km/h，y
km/h.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲的速度为
5
km/h，乙的速度为
3
km/h.
新知探究
路程、速度、时间三者中，若其中一个为已知数，另一个设为未知数，则用第三个的等量关系来列方程.如本题中，时间为已知数，速度设为未知数，则利用路程之间的等量关系来列方程.
新知探究
相遇及追及问题中常用的等量关系
基本关系：路程=速度×时间；
相向相遇问题：两者的路程和=初始时两者间的距离；
同向追及问题：两者的路程差=初始时两者间的距离.
新知探究
例2
某车间有
22
名工人，每人每天可以生产
1200
个螺钉或
2000
个螺母.
1
个螺钉需要配
2
个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
螺母总产量是
螺钉的2倍
人数和
为22
1200x
2000y
新知探究
解：设安排
x
人生产螺钉，y
人生产螺母.
依题意，可列方程组
解方程组，得
答：安排生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
新知探究
配套问题中隐含的等量关系
如果
a
件甲产品和
b
件乙产品配成一套，则
，即
b×甲产品的件数=
a×乙产品的件数.
用铝合金材料制作窗架，每根材料可以做竖柱
5
根或者横梁
8
根，而且只能做其中的一种，2
根竖柱和
3
根横梁可以做成一个窗架.现有
310
根铝合金材料，用多少根做竖柱，多少根做横梁，才能使做成的窗架最多？
跟踪训练
解：设用
x
根铝合金材料做竖柱、y
根铝合金材料做横梁，才能使做成的窗架最多.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：用
160
根铝合金材料做竖柱、150
根铝合金材料做横梁，才能使做成的窗架最多.
跟踪训练
随堂练习
1.如图，周长为
68
cm
的长方形
ABCD
被分成
7
个形状大小完全相同的小长方形，则长方形
ABCD
的面积为(
)
A．40
cm2??????????
B．128
cm2??????
C．280
cm2??????????
D．140
cm2
x
y
2(2x+x+y)=68
5y
2x
随堂练习
解：设小长方形的长为
x
cm，宽为
y
cm，
依题意，得
解得
∴长方形
ABCD
的面积为
2x(x+y)=280
cm2．
随堂练习
2.某车间有
90
名工人，每人每天平均能生产螺栓
15
个或螺帽
24
个，已知一个螺栓配套两个螺帽，为使生产的螺栓和螺帽刚好配套，生产螺帽和生产螺栓的人数分别为(
)
A．50人，40人
B．30人，60人
C．40人，50人
D．60人，30人
x+y=90
15y×2=24x
A
y
x
随堂练习
3.A，B
两码头相距
140
km，一艘轮船在两码头之间航行，顺水航行用了
7
h，逆水航行用了
10
h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
x
y
路程
速度
时间
顺流
140
km
逆流
140
km
(x+y)
km/h
(x-y)
km/h
7
h
10
h
随堂练习
解：设这艘轮船在静水中的速度为
x
km/h，水流速度为
y
km/h.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这艘轮船在静水中的速度为
17
km/h，水流速度为3km/h.
基本关系：路程=速度×时间；
相向相遇：路程和=初始距离；
同向追及：路程差=初始距离.
若
a
件甲产品和
b
件乙产品配成一套，则
b×甲产品的件数=a×乙产品的件数.
课堂小结
二元一次方程组的应用
几何问题
行程问题
配套问题
拓展提升
1.A，B
两地相距
20
km，甲从
A
地向
B
地匀速行进，同时乙从
B
地向
A
地匀速行进，2
h
后两人在途中相遇，相遇后甲立即以原速返回
A
地，乙继续以原速向
A
地行进，甲回到
A
地时乙离
A
地还有
4
km，求甲，乙两人的速度.
行驶
4
h
拓展提升
解：设甲的速度为
x
km/h，乙的速度为
y
km/h.
由题意，得
解这个方程组，得
答：甲的速度为
6
km/h，乙的速度为
4
km/h.
2.某服装厂“生产一批某种款式的秋装，已知每
2
米的某种布料可做上衣的衣身
3
个或衣袖
5
只.现计划用
132
米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料做衣身和衣袖，才能使做成的衣身和衣袖恰好配套？
拓展提升
x+y=132
解：设用
x
米布料做衣身，y
米布料做衣袖，才能使做成的衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，得
解得
答：用
60
米布料做衣身，72
米布料做衣袖，才能使做成的衣身和衣袖恰好配套.
拓展提升
3.现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为
a，宽为
b.用
3
个如图②的全等图形和
8
个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为
30
cm，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(
)
A.
B.
C.
D.
拓展提升
a+3b=30
4a
3a+3b
拓展提升
解：∵
大长方形的宽为
30
cm，∴
a+3b=30，
根据图③可得
4a=3a+3b，
组成方程组
解得
∵
阴影面积为3(a-b)2，整个图形的面积为
4a(a+3b)，
∴
阴影部分面积与整个图形的面积之比为
.
课后作业
请完成课本后习题第2、3、4题.
