(共32张PPT)
二元一次方程组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
8.4
三元一次方程组的解法
课时2
知识回顾
解三元一次方程组的步骤：
利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.
①消元
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
②求解
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
③回代
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
④求解
将求得的三个未知数的值用“{”写在一起
⑤写解
学习目标
1.能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
2.会用三元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系，并用加减消元法解决实际问题．
课堂导入
上节课我们学习了三元一次方程组，由此我们能够解决哪些实际问题呢？本节课我们将学习较复杂的三元一次方程组以及三元一次方程组在实际生活中的简单应用.
新知探究
例2
在等式
y=ax2+bx+c
中，当
x=-1
时，y=0；当
x=2
时，y=3；当
x=5
时，y=60，求
a，b，c
的值.
知识点：三元一次方程组的应用
分析：把
a，b，c
看作三个未知数，分别把已知的
x，y
值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
新知探究
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①，得
a+b=1.
④
③-①，得
4a+b=10.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
①
②
③
新知探究
解这个方程组，得
因此
即
a，b，c
的值分别为
3，-2，-5.
可以消去其他未知数吗？
把
代入①，得
c=-5.
新知探究
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①×4，得
6b-3c=3，即
2b-c=1.
④
③-①×25，得
30b-24c=60，即5b-4c=10.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
①
②
③
消去
a
新知探究
解这个方程组，得
因此
即
a，b，c
的值分别为
3，-2，-5.
把
代入①，得
a=3.
新知探究
解：根据题意，得三元一次方程组
①×2+②，得
6a+3c=3，即
2a+c=1.
④
①×5+③，得
30a+6c=60，即
5a+c=10.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
①
②
③
消去
b
新知探究
解这个方程组，得
因此
即
a，b，c
的值分别为
3，-2，-5.
把
代入①，得
b=-2.
新知探究
某农场
300
名职工耕种
51
公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
已知该农场计划投入
67
万元，应该怎样安排三种农作物的种植面积，才能使所有的职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4
人
1
万元
棉花
8
人
1
万元
蔬菜
5
人
2
万元
新知探究
等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面积=51(公顷)；
种植水稻的人数+种植棉花的人数+种植蔬菜的人数=300(人)；
种植水稻投入的总资金+种植棉花投入的总资金+种植蔬菜投入的总资金=67(万元).
设安排
x
公顷种植水稻，y
公顷种植棉花，z
公顷种植蔬菜，
新知探究
解：设安排
x
公顷种植水稻，y
公顷种植棉花，z
公顷种植蔬菜，
依题意，得
解这个方程组，得
答：安排
15
公顷种植水稻，20
公顷种植棉花，16
公顷种植蔬菜.
新知探究
列三元一次方程组解决实际问题的方法
列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找等量关系是解题的关键.列三元一次方程组解决实际问题时，需设三个未知数并找出三个等量关系.
新知探究
1.审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
2.设：恰当地设未知数；
3.列：依据题中的等量关系列出方程组；
4.解：解方程组，求出未知数的值；
5.验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
6.答：写出答.
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
跟踪训练
在等式
y=ax2+bx+c
中，当
x=1
时，y=4；当
x=2
时，y=3；当
x=-1
时，y=0.
(1)求
a，b，c
的值；
解：(1)根据题意，得
解得
(2)求当
x=-3
时，y
的值.
解：(2)由(1)知
a=-1，b=2，c=3，
所以
y=-x2+2x+3.
所以当
x=-3
时，y=-(-3)2+2×(-3)+3=-12.
跟踪训练
1.为迎接“艺术节”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三只飞镖，在同一圆环内得分相同.如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是
29
分、43
分和
33
分，则小华的成绩是(
)
A.
31分
B.
33分
C.
36分
D.
38分
随堂练习
x
z
y
2y+z=29
2x+z=43
3y=33
解析：设飞镖投到最小的圆环中得
x
分，投到中间的圆环中得
y
分，投到最外面的圆环中得
z
分，
根据题意，得
解得
则小华的成绩是
18
+11
+7
=36(分).
随堂练习
随堂练习
2.有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和是8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数.
随堂练习
解：设原来的三位数的百位上的数字是
x，十位上的数字是
y，个位上的数字是
z.
由题意，得
解得
所以原来的三位数是
2×100+5×10+3
=253.
答：原来的三位数为
253.
随堂练习
3.某车间共有职工
63
人，加工一件产品需要三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工
300
件，在第二道工序里能加工
500
件，在第三道工序里能加工
600
件，为使每天能生产出最多的产品，应如何安排各工序的人数？
随堂练习
解：设第一道工序安排
x
人，第二道工序安排
y
人，第三道工序安排
z
人，
根据题意，得
解得
答：为使每天能生产出最多的产品，第一道工序应安排
30
人，第二道工序应安排
18
人，第三道工序应安排
15
人.
利用三元一次方程组解决实际问题的步骤：
认真审题，明确等量关系
①审
恰当地设未知数
②设
依据等量关系列出方程组
③列
检验是否符合题意和实际意义
④验
写出答
⑤答
课堂小结
拓展提升
1.已知
-ax+y-zb5cx+z-y
与
a11by+z-xc
是同类项，则
x=____，y=____，z=____.
6
8
3
相同字母指数相同
拓展提升
2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由
15
朵红花、24
朵黄花和
25
朵紫花搭配而成，乙种盆景由
10
朵红花、12
朵黄花搭配而成，丙种盆景由
10
朵红花、18
朵黄花和
25
朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了
2900
朵红花，3750
朵紫花，则黄花一共用了多少朵？
拓展提升
解：设甲种盆景有
x
盆，乙种盆景有
y
盆，丙种盆景有
z
盆.
根据题意，得
由①，得
3x+2y+2z=580.
由②，得
x+z=150.
所以共用黄花的朵数为
24x+12y+18z=6(3x+2y+2z)+6(x+z)=6×580+6×150=4380.
答：黄花一共用了
4380
朵.
拓展提升
3.宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团
20
人准备同时租用这三种客房共
7
间，如果每个房间都住满，租房方案有(
)
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
x
z
y
2x+3y+4z=20
x+y+z=7
拓展提升
解析：设租二人间
x
间，三人间
y
间，四人间
z
间.
根据题意，得
②-①×2，得
y+2z=6.∴
y=6-2z.
∵
y，z
均为正整数.∴
拓展提升
把
代入①，得
x=2；
把
代入①，得
x=3.
∴
共有
2
种租房方案：
(1)租二人间
2
间，三人间
4
间，四人间
1
间；
(2)租二人间
3
间，三人间
2
间，四人间
2
间.
课后作业
请完成课本后习题第3题.(共28张PPT)
8.4
三元一次方程组的解法
课时1
二元一次方程组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是
1
的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的概念是什么？
代入法和加减法.实质是：消元.
解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？
学习目标
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
课堂导入
前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.
新知探究
知识点1：三元一次方程组的概念
小明手头有
12
张面额分别是
1
元、2
元和
5
元的纸币，共计
22
元，其中
1
元纸币的数量是
2
元纸币数量的
4倍．求
1
元、2
元和
5
元的纸币各多少张.
例题中有哪些未知量？
未知量有1
元、2
元和
5
元的纸币数量.
新知探究
1
元张数+2
元张数+5
元张数=12(张)
所有纸币面值之和=22(元)
1
元张数=4×2
元张数
小明手头有
12
张面额分别是
1
元、2
元和
5
元的纸币，共计
22
元，其中
1
元纸币的数量是
2
元纸币数量的
4倍．求
1
元、2
元和
5
元的纸币各多少张.
例题中有哪些等量关系？
新知探究
可设
1
元、2
元和
5
元的纸币分别为
x
张、y
张和
z
张．
1
元张数+2
元张数+5
元张数=12(张)
所有纸币面值之和=22(元)
1
元张数=4×2
元张数
如何用三元一次方程组表示上面的三个等量关系？
新知探究
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.
跟踪训练
下列方程组中，是三元一次方程组的是(
)
A.
B.
C.
D.
四个未知数
不是整式方程
次数为2
A
新知探究
知识点2：解三元一次方程组
如何解这个三元一次方程组呢？
解三元一次方程组的基本思路：
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
新知探究
①
②
③
解：将③代入①②，得
即
解这个方程组，得
新知探究
①
②
③
把
y=2
代入③，得
x=8.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为
8
张、2
张、2
张．
还有其他方法吗？
新知探究
①
②
③
解：①×5-②，得
4x+3y=38.
④
③与④组成方程组
解这个方程组，得
新知探究
①
②
③
把
x=8，y=2
代入①，得
8+2+z=12，解得
z=2.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为
8
张、2
张、2
张．
新知探究
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
新知探究
(5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.
解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.
(4)求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；
新知探究
例1
解三元一次方程组
①
②
③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？
方程①只含
x、z，因此，可以由②③消去
y，得到的方程可与①组成一个二元一次方程组.
新知探究
解：②×3+③，得
11x+10z=35.
④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把
x=5，z=-2
代入②，得
2×5+3y-2=9，
所以
因此，这个三元一次方程组的解为
你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
跟踪训练
解方程组
解：①×2+②，得
5x+8y=7.
④
③与④组成方程组
解这个方程组，得
把
x=3，y=-1
代入①，得
3+3×(-1)+2z=2，解得
z=1.
因此，这个三元一次方程组的解为
随堂练习
1.观察方程组
的系数的特点，若要使求解简便，消元的方法应选取(
)
A.
先消去
x
B.
先消去
y
C.
先消去
z
D.
以上说法都不对
加减消元法
B
随堂练习
2.由方程组
可以得到
x+y+z
的值等于(
)
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
解析：3
个方程左右两边分别相加，得
3x+3y+3z=24，
所以
x+y+z=8.
A
3.解方程组
解：①+③，得
5x+y=7.
④
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把
x=1，y=2
代入②，得
1+2+z=6，解得
z=3.
因此，这个三元一次方程组的解为
②+③，得
4x-y=2.
⑤
随堂练习
课堂小结
解三元一次方程组的步骤：
利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.
①消元
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
②求解
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
③回代
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
④求解
将求得的三个未知数的值用“{”写在一起
⑤写解
拓展提升
1.解方程组
解：由①+②+③，得
2x+2y+2z=8，即
x+y+z=4.
④
因此，这个三元一次方程组的解为
④-①，得
z=3.
④-②，得
x=-1.
④-③，得
y=2.
拓展提升
2.解方程组
解：由①②，得
x:y:z=3:2:5.
因此，这个三元一次方程组的解为
设
x=3k，y=2k，z=5k(k≠0)，
所以
x=3k=6，y=2k=4，z=5k=10.
代入③，得
5k+3k+2k=20，解得
k=2.
拓展提升
3.为确保信息安全，在传输时往往需加密，当发送方发出一组密
码
a，b，c
时，则接收方对应收到的密码为
A，B，C.
双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如发出
1，2，3
时，则收到
0，4，5.
(1)当发送方发出一组密码为
2，3，5
时，则接收方收到的密码是多少？
解：(1)由题意，得
所以
A=1，B=6，C=8.
答：接收方收到的密码是
1，6，8.
拓展提升
3.为确保信息安全，在传输时往往需加密，当发送方发出一组密码
a，b，c
时，则接收方对应收到的密码为
A，B，C.双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如发出
1，2，3
时，则收到
0，4，5.
(2)当接收方收到一组密码为
2，8，11
时，则发送方发出的密码是多少？
解：(2)由题意，得
解得
答：发送方发出的密码是
3，4，7.
课后作业
请完成课本后习题第1、2题.
