2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第13章 全等三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第13章
全等三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝13，AE＝7，则CD的长度为（　　）
A．20
B．13
C．7
D．6
2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
3．下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的周长相等；③面积相等的两三角形全等；④所有正方形都全等．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．等腰三角形一边长为5，另一边长为2，则此三角形的周长为（　　）
A．9或12
B．12
C．9
D．10
5．用三角板作△ABC的边AC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列命题中，真命题的个数是（　　）
①经过三点一定可以作圆；②同弧所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④圆周角的度数等于圆心角度数的一半；⑥三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫做格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（　　）
A．21个
B．22个
C．23个
D．24个
8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　）
A．AAS
B．SAS
C．ASA
D．HL
9．如图，已知AB＝CD，∠1＝∠2，AO＝3，则OC＝（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（　　）
A．甲说实话，乙和丙说谎
B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎
D．甲、乙、丙都说谎
二．填空题
11．如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的大小是　
　．
12．如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．
则∠OEC的度数为　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点D交AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长，交BC于点G．若△ABC的周长等于42，AC＝16，则BG长为　
　．
14．如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是　
　．
15．如图，已知AC＝CD．∠1＝∠2，要使△ABC≌△DEC，还需添加一个条件，这个条件可以是　
　（只需写出一个即可）．
16．“两个无理数的和为无理数”是　
　命题，举反例：　
　．
17．如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠DFB＝∠DBF；②∠ECF＝∠EFC；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④∠BFC＝90°+∠A．其中正确的是　
　．
18．若AD是等边△ABC的一条角平分线，且等边△ABC边长为2a，那么AD的长为　
　．
19．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ABO＝∠DCO．能判定△ABC≌△DCB的是　
　．（填正确答案的序号）
20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于　
　cm．
三．解答题
21．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°
求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；
（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
（1）利用尺规作图：作∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F；（保留作图痕迹，并根据题意在图中标明相应字母，不写作法）
（2）在第（1）小题基础上，试判断线段AF与线段BC有何关系，并说明理由．
23．小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
24．我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是正确的，即在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为30°．”
（1）请你证明上述命题，写出过程；
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝AB，求证：∠B＝30°．
证明：
（2）解决下面的问题：如图1，A、B为格点，以A为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C，则∠CAB＝　
　°；
（3）如图2，D、F为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作Rt△DEF，使点E在直线上，并且∠DEF＝90°，∠EDF＝15°．
25．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？
26．如图，已知直线l及直线l外一点P．
（1）求作：直线PQ，使得PQ⊥l．（保留作图痕迹）
（2）证明：PQ⊥l．
27．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
（1）如图（1），当t＝　
　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵△ABD≌△ACE，
∴AC＝AB＝13，AD＝AE＝7，
∴CD＝AC﹣AD＝13﹣7＝6，
故选：D．
2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，
故选：D．
3．解：①全等图形的面积相等；正确，
②全等图形的周长相等；正确，
③面积相等的两三角形不一定全等；故说法错误，
④正方形的角都是90°，但由于边不相等，所以不能说其全等，故说法错误；
故选：B．
4．解：当5为等腰三角形的腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，2，周长为5+5+2＝12；
当5为等腰三角形的底边时，腰长为2，此时等腰三角形三边长分别为5，2，2，不能组成三角形，
综上这个等腰三角形的周长为12．
故选：B．
5．解：A，B，C都不是△ABC的边AC上的高，只有选项D符合题意．
故选：D．
6．解：①经过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故原命题错误，是假命题；
②同弧所对的圆周角相等，是真命题；
③三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
④同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原命题错误，是假命题；
⑥三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故原命题错误，是假命题；
故选：B．
7．解：用SSS判定两三角形全等，所以共有24个全等三角形，
除去△ABC外有23个与△ABC全等的三角形．
故选：C．
8．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
9．解：∵AB＝CD，∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO＝CO＝3，
故选：A．
10．解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；
B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；
C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；
D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；
故选：B．
二．填空题
11．解：由三角形内角和定理可得，∠2＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝50°，
故答案为：50°．
12．解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
13．解：根据作图过程可知：
AG平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AG是BC的垂直平分线，
∴BG＝CG，
∵△ABC的周长等于42，AC＝AB＝16，
∴BG+CG＝10，
∴BG＝5．
故答案为：5．
14．解：条件是AC＝BD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝BD（或者AD＝BC）．
15．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ECA，
即∠BCA＝∠ECD．
若添加∠A＝∠D，再加上AC＝CD，可用ASA证明△ABC≌△DEC，
若添加CB＝CE，再加上AC＝CD，可用SAS证明△ABC≌△DEC，
添加∠B＝∠E，再加上AC＝CD，可用AAS证明△ABC≌△DEC．
故答案为：∠A＝∠D或CB＝CE或∠B＝∠E．
16．解：两个无理数的和为无理数是假命题，如，﹣，
故答案为：假；，﹣．
17．．．解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，故①正确；
②同理∠ECF＝∠EFC，故②正确；
③假设△ABC为等边三角形，则AB＝AB＝BC，如图，连接AF，
∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，
∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点
∴第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°，
∴FA＝FB＝FC，
∵FA+FC＞AC，
∴FB+FC＞AC，
∴FB+FC+BC＞BC+AC，
∴FB+FC+BC＞AB+AC，
即△BFC的周长＞△ADE的周长，故③错误；
④在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°…（1），
在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB＝180°，
即∠CFB+∠ABC+∠ACB＝180°…（2），
（2）×2﹣（1）得∠BFC＝90°+∠BAC，故④正确；
故答案为①②④．
18．解：由等边三角形三线合一可知：AD⊥BC，BD＝DC＝a，
得到AD＝＝，
故答案为：．
19．解：能判定△ABC≌△DCB的是①③④，
理由是：①∵在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
③∵在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；
④∵∠ABC＝∠DCB，∠ABO＝∠DCO，
∴∠DBC＝∠ACB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
故答案为：①③④．
20．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，
∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，
∴GH＝3+3+2＝8（cm），
FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），
EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．
∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；
故答案为：17．
三．解答题
21．解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；
（2）在△ACO和直角△A'C'O′中，，
∴△ACO≌△A′C′O，
∴OC＝C′O，AO＝A′O，
∴BC＝B′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．
22．解：（1）如图，AF为所作；
（2）AF∥BC，AF＝BC．
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵∠DAC＝∠ABC+∠C，即∠DAF+∠CAF＝∠ABC+∠C，
∴∠CAF＝∠C，
∴AF∥BC，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CEB中
，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF＝BC．
23．解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
24．（1）证明：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，如图所示：
则CD＝AB＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠A＝60°
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°；
（2）解：作CF⊥AB于F，如图1所示：
由作图可知：AC＝AB＝2CF，
∴∠CAB＝30°，
故答案为：30；
（3）解：如图2所示，
△DEF即为所求．
25．解：能构成有一边长为6cm的等腰三角形，理由如下：
①当6cm为底时，腰长＝7cm；
②当6cm为腰时，底边＝8cm；
故能构成有一边长为6cm的等腰三角形．
26．（1）解：如图，直线PQ即为所求．
（2）证明：由作图可知，PC＝PD，CQ＝QD，
∴PQ垂直平分线段CD，
∴PQ⊥直线l．
27．解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，
移动的时间为：÷3＝秒，
②当点P在BA上时，如图①﹣2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，
移动的时间为：÷3＝秒，
故答案为：或；
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
点Q的运动速为cm/s或cm/s．