(共33张PPT)
9.1.2
不等式的性质
课时2
不等式与不等式组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
不等式的性质有哪些？
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
知识回顾
用适当的不等号填空：
(1)若
a+5
a____b；
(2)若
-4a>-4b，则
a____b；
(3)若
，则
a___b.
<
<
>
两边同时减
5
两边同时除以
-4
a>b
两边同时加
2
两边同时乘
4
学习目标
1.进一步了解不等式的基本性质，会用不等式的基本性质解简单的不等式.
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思想．
课堂导入
我们知道解方程需要依据等式的性质，同样解不等式也可以依据不等式的性质进行，本节课我们就来学习怎样利用不等式的基本性质解不等式.
新知探究
知识点：不等式的性质的应用
例1
利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)
x-7＞26；
(2)
3x<2x+1；
(3)
＞50；
(4)
-4x＞3.
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为
x>a
或
x(a
为常数)的形式.
新知探究
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加
7，不等号的方向不变，
所以
x-7+7>26+7，
即
x>33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
(1)
x-7＞26；
新知探究
0
1
(2)
3x<2x+1；
解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减
2x，不等号的方向不变，
所以
3x-2x<2x+1-2x，
即
x<1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
新知探究
0
75
(3)
＞50；
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘
，不等号的方向不变，
所以
>50，
即
x>75.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
新知探究
(4)
-4x＞3.
解：(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以
-4，不等号的方向改变，
所以
，
即
x<
.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
新知探究
利用不等式的性质1可简化为“移项”；利用不等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要注意不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号要改变方向．
新知探究
例2
某长方体形状的容器长
5
cm，宽
3
cm，高
10
cm，容器内原有水的高度为
3
cm，现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出
V
的取值范围.
5
cm
3
cm
10
cm
新知探究
解：新注入水的体积
V
与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10，
V≤105.
又由于新注入水的体积不能是负数，
因此，V
的取值范围是
V
≥0
并且
V≤105.
在数轴上表示
V
的取值范围如图所示：
在表示
0
和
105
的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.
0
105
新知探究
①审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
②设：设未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
③找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
④列：列出不等式.
⑤解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，得出结果.
⑥答：根据所得结果作出回答.
列不等式处理实际问题的一般步骤：
跟踪训练
用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)
x+5>-1；
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减
5，不等号的方向不变，
所以
x+5-5>-1-5，
即
x>-6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
-6
用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(2)
4x<3x-5；
解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减
3x，不等号的方向不变，
所以
4x-3x<3x-5-3x
，
即
x<-5.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
-5
跟踪训练
用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(3)
；
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘
7，不等号的方向不变，
所以
，即
x<6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
6
跟踪训练
用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(4)
-8x>10.
解：(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以
-8，不等号的方向改变，
所以
，即
x<
.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
跟踪训练
随堂练习
1.不等式
1-x≥2
的解集在数轴上表示正确的是(
)
x≤-1
-2
-1
0
-2
-1
0
-2
-1
0
-2
-1
0
A
A
B
C
D
2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)
x+3<-2；
随堂练习
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减
3，不等号的方向不变，
所以
x+3-3<-2-3，
即
x<-5.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
-5
2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(2)
9x>8x+1；
随堂练习
解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减
8x，不等号的方向不变，
所以
9x-8x>8x+1-8x
，
即
x>1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
1
2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(3)
；
随堂练习
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘
2，不等号的方向不变，
所以
，即
x≥-8.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
-8
2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(4)
-10x
≤
5.
随堂练习
解：(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以
-10，不等号的方向改变，
所以
，即
.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
随堂练习
3.已知在某超市内购物总金额超过
190
元时，购物总金额有打
8
折的优惠.安妮带了
200
元到该超市买棒棒糖，若棒棒糖每根
9
元，则她最多可买多少根棒棒糖？
解：设她可以买
x
根棒棒糖.
由题意得
，
解得
，即
，
所以她最多可买
27
根棒棒糖.
课堂小结
列不等式处理实际问题的一般步骤：
审
设
找
列
解
答
拓展提升
1.不等式
5x+1≥3x-1
的解集在数轴上表示正确的是(
)
-2
-1
0
1
A
B
C
D
-2
-1
0
1
-2
-1
0
1
-2
-1
0
1
2x+1≥-1
2x≥-2
两边同时减
3x
两边同时减1
x≥-1
两边同时除以2
B
2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)
2；
(2)
5x-6≤7x-4.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加
，不等号的方向不变，
所以
，即
x<2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
2
0
拓展提升
2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)
2；
(2)
5x-6≤7x-4.
解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减
7x，不等号的方向不变，
所以
5x-6-7x≤7x-4-7x，即
-2x-6≤-4.
根据不等式的性质1，不等式两边加
6，不等号的方向不变，
所以
-2x-6+6≤-4+6，即
-2x≤2.
拓展提升
根据不等式的性质3，不等式两边除以
-2，不等号的方向改变，
所以
，即
x≥-1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
-1
拓展提升
拓展提升
3.“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物.
2020年，某省谷子种植面积已达
324
万亩，平均亩产量约为
320
kg.2021年，若该省谷子的平均亩产量仍保持
320
kg
不变，则要
使谷子的年总产量不低于
108
万吨，该省至少应再多种植多少万
亩的谷子？
列不等式时注意不等号两边的单位要统一.本题易因忽略320
kg的单位而直接列不等式320x≥108致错.
拓展提升
解：设
2021
年该省应种植
x
万亩的谷子.
根据题意，得
.
不等式两边除以
，得
x≥337.5.
所以
337.5-324=13.5(万亩).
答：2021
年该省至少应再多种植
13.5
万亩的谷子.
还有其他解法吗？
解：设
2021
年该省应再多种植
a
万亩的谷子.
根据题意，得
.
不等式两边除以
，得
324+a≥337.5.
所以
a≥13.5.
答：2021
年该省至少应再多种植
13.5
万亩的谷子.
拓展提升
直接设未知数列不等式：
课后作业
请完成课本后习题第5、7、8题.(共21张PPT)
9.1.2
不等式的性质
课时1
不等式与不等式组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
等式的性质有哪些？
等式的两边加或减同一个数(或式子)，等式仍然成立.
等式的两边乘或除以同一个数(除数不为0)，等式仍然成立.
学习目标
1.理解并掌握不等式的基本性质.
2.体会探索过程中所应用的归纳和类比方法.
课堂导入
比你大两岁，所以我是你哥哥.
哈哈！三年前我还是比你大.
呵呵，再过二十年,你也比我小!
大两岁,那三年前，你不就比我小呀！
哦？那…再过十年，我肯定比你大.
新知探究
知识点：不等式的性质
思考1
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：
①
5＞3
5+2
3+2，
5+(-2)
3+(-2)，
5+0
3+0
；
②
-1＜3
-1+2
3+2，-1+(-3)
3+(-3)，
-1+0
3+0．
＞
＞
＞
＜
＜
＜
规律：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时，不等号的方向不变．
新知探究
你能总结出不等式的性质吗？
符号语言：如果
a>b，那么
a±c>b±c.
不等式的性质1
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
新知探究
思考2
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：
①
6＞2
6×4
2×4，
6÷2
2÷2；
②
-2＜4
-2×2
4×2，-2÷2
4÷2；
③
-4＜-2
-4×2
-2×2，-4÷2
-2÷2.
＞
＞
＜
＜
＜
＜
规律：当不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变.
新知探究
符号语言：如果
a>b，c>0，那么
ac>bc(或).
你能总结出不等式的性质吗？
不等式的性质2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
两边同乘的数不能是
0，若两边同乘
0，则不等式变为等式
0=0；两边同时除以的数也不能是
0，因为
0
作为除数无意义.
新知探究
思考3
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：
①
6＞2
6×(-4)
2×(-4)，
6÷(-2)
2÷(-2)；
②
-2＜4
-2×(-2)
4×(-2)，-2÷(-2)
4÷(-2)；
③
-4＜-2
-4×(-2)
-2×(-2)，-4÷(-2)
-2÷(-2).
<
<
>
>
>
>
规律：当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等
号的方向改变.
新知探究
符号语言：如果
a>b，c<0，那么
ac你能总结出不等式的性质吗？
不等式的性质3
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
新知探究
运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质
2
和性质
3
的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变.
不等式的其他性质：
(1)对称性(
反身性)：若
a>b，则
b(2)传递性：若
a>b，b>c，则
a>c.
新知探究
不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点
类别
不同点
相同点
不等式
两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变.
(1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立；
(2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立.
等式
两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立.
跟踪训练
设
a>b，用“<”或“>”填空.
(1)
a+2____b+2；
(2)
a-3____b-3；
(3)
-4a____-4b；
(4)
____
.
>
>
<
>
加同一个数，不等号方向不变
减同一个数，不等号方向不变
乘同一个负数，不等号方向改变
除以同一个正数，不等号方向不变
1.若
m>n，则下列不等式不一定成立的是(
)
A.
m+3>n+3
B.
-3m<-3n
C.
D.
m2>n2
随堂练习
加同一个数，不等号方向不变
除以同一个正数，不等号方向不变
乘同一个负数，不等号方向改变
当
m=2，n=-3
时，m2D
随堂练习
2.如果
a>b，c<0，那么下列不等式成立的是(
)
A.
a+c>b
B.
a+c>b-c
C.ac-1>bc-1
D.a(c-1)c-1<0
乘同一个负数，不等号方向改变
D
随堂练习
3.用适当的不等号填空：
(1)若
a-1a____b；
(2)若
-3a<-3b，则
a____b；
(3)若
0.3a+1<0.3b+1，则
a___b.
<
>
<
两边同时加1
两边同时除以-3
0.3a<0.3b
a两边同时减1
两边同时除以0.3
课堂小结
如果
a>b，c<0，
那么
ac如果
a>b，
那么
a±c>b±c.
如果
a>b，c>0，
那么
ac>bc(或).
不等式的基本性质
性质1
性质2
性质3
拓展提升
1.如果不等式
(a-1)x>a-1
的解集是
x<1，那么
a
的取值范围是(
)
A.
a≤1
B.
a≥1
C.
a<1
D.
a<0
不等号方向改变
a-1<0
a<1
C
拓展提升
2.将物体“▲”的质量用
a
表示，物体“●”的质量用
b
表示，现已知
a)
b+a
a+a
两边同时加
aa+aB
拓展提升
3.若实数
a，b，c
在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是(
)
A.
abB.
ac>bc
C.
a+c>b+c
D.
a+bc<0c0
acaac>bc
b>a，c<0
b+c>a+c
a>c，b>0
a+b>c+b
B
课后作业
请完成课本后习题第4、6题.