人教版九年级上册24.4弧长与扇形面积复习（Word版 含答案）

24.2弧长与扇形面积复习
1、知识点回顾
弧长公式：
扇形面积公式：
圆锥侧面积公式：
二、课上练习题：
1．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．3π
2．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知一扇形的半径等于圆的半径的2倍，且它的面积等于该已知圆的面积，则这一扇形的圆心角是（　　）度．
A．60
B．90
C．120
D．150
4．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE长为半径作弧EF，交CD于点F，连接AE，AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积是（　　）
A．6+2π
B．6+3π
C．9﹣3π
D．9﹣2π
5.
如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是(　　)
A．15π
B．30π
C．45π
D．60π
6.
小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知该扇形的半径是5
cm，弧长是6π
cm，那么这个圆锥的高是(　　)
A．4
cm
B．6
cm
C．8
cm
D．12
cm
7.一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°
8.
如图在扇形OAB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿运动时，点D所经过的路径长为(　　)
A．3π
B.π
C.
π
D．4π
9.
如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(　　)
A．4π－8
B．2π
C．4π
D．8π－8
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A.
2－π
B.
4－π
C.
2－π
D.
π
11．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是　
　．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝　
　°．
13.
一个圆锥的高为3
，侧面展开图半圆，求：
(1)圆锥的母线长与底面圆半径的比；
(2)圆锥的全面积．
14.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
课后作业：
1.在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（
）
A.
B.
C.
D.
2.如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
3.如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，将绕点顺时针旋转，则顶点所经过的路径长为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
4.
如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为(　　)
A．1∶3
B．1∶π
C．1∶4
D．2∶9
5.
用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为________．
6.
如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为12
cm，OA＝13
cm，则扇形OAC中的长是________
cm.(结果保留π)
7.如图，在等腰中，，，为线段上一点，以为圆心，线段的长为半径画圆恰好经过点，与的另一个交点为．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
8.如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、．
（1）证明：＝；
（2）若＝＝，求的长度．
4、中考真题
1．（2020?遂宁）如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为　　
A．
B．
C．
D．
2．（2019?枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（　　）
A．8﹣π
B．16﹣2π
C．8﹣2π
D．8﹣π
3．（2019?营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为　　．
4．（2019?抚顺）如图，直线的解析式是，直线的解析式是，点在上，的横坐标为，作交于点，点在上，以，为邻边在直线，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为；延长交于点，点在上，以，为邻边在，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为按照此规律继续作下去，则　　．（用含有正整数的式子表示）
5．（2019?张家界）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分面积．
答案：
二、课上练习题：
1．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．3π
解：弧长l＝＝π，
故选：B．
2．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴的长＝＝π，
故选：B．
3．已知一扇形的半径等于圆的半径的2倍，且它的面积等于该已知圆的面积，则这一扇形的圆心角是（　　）度．
A．60
B．90
C．120
D．150
解：设圆的半径为r，
则扇形的半径为2r，
根据题意得：＝πr2，
解得n＝90．
故选：B．
4．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE长为半径作弧EF，交CD于点F，连接AE，AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积是（　　）
A．6+2π
B．6+3π
C．9﹣3π
D．9﹣2π
解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝3，
∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝+﹣＝9﹣3π，
故选：C．
5.
如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是(　　)
A．15π
B．30π
C．45π
D．60π
解D　[解析]
圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，其中r＝6，h＝8，所以母线长为10，所以圆锥的侧面积＝πrl＝π×6×10＝60π.故选D.
6.
小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知该扇形的半径是5
cm，弧长是6π
cm，那么这个圆锥的高是(　　)
A．4
cm
B．6
cm
C．8
cm
D．12
cm
解A　[解析]
设圆锥的底面圆的半径是r
cm，则2πr＝6π，解得r＝3，则圆锥的高是＝4(cm)．
7.一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°
解：D
8.
如图在扇形OAB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿运动时，点D所经过的路径长为(　　)
图A．3π
B.π
C.
π
D．4π
解：
如图∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，
∴OD⊥AC，∴AD＝AC＝AO，
∴∠AOD＝30°，OD＝3
.
作BF＝AC，E为BF的中点．
同理可得∠BOE＝30°，
∴∠DOE＝150°－60°＝90°，
∴点D所经过的路径长为＝＝π.
9.
如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(　　)
A．4π－8
B．2π
C．4π
D．8π－8
解：由题意可知∠BOC＝2∠A＝45°×2＝90°.∵S阴影＝S扇形OBC－S△OBC，S扇形OBC＝S圆＝π×42＝4π，S△OBC＝×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A.
2－π
B.
4－π
C.
2－π
D.
π
解：设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,
∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sinA＝＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.
11．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是　
　．
解：根据题意得，S扇形＝lR＝＝30（cm2）．
故答案为30cm2．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝　
　°．
解：根据题意得＝2π5，
解得θ＝150．
故答案为150．
13.
一个圆锥的高为3
，侧面展开图半圆，求：
(1)圆锥的母线长与底面圆半径的比；
(2)圆锥的全面积．
解：(1)设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
所以l＝2r，
即圆锥的母线长与底面圆半径的比为2∶1.
(2)因为r2＋(3
)2＝l2，
即r2＋(3
)2＝4r2，解得r＝3(负值已舍去)，
所以l＝6，
所以圆锥的全面积＝π·32＋·2π·3·6＝27π.
14.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
(1)解：BC与⊙O相切．理由如下：
解图
如解图，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD.
又∵∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA.
∴OD∥AC，(2分)
∴∠BDO＝∠C＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．(4分)
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，
由(1)知∠BDO＝90°，
∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(2)2＝(r＋2)2.
解得r＝2.(5分)
∵tan∠BOD＝＝＝，
∴∠BOD＝60°.(7分)
∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝·OD·BD－＝2－π.(8分)
课后作业：
1.在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
2.如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
3.如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，将绕点顺时针旋转，则顶点所经过的路径长为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
4.
如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为(　　)
A．1∶3
B．1∶π
C．1∶4
D．2∶9
【答案】D
5.
用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为________．
解：
设此圆锥的底面圆的半径为r.由题意可得2πr＝，解得r＝2，故这个圆锥的底面圆的半径为2，所以底面圆的面积为πr2＝4π.
6.
如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为12
cm，OA＝13
cm，则扇形OAC中的长是________
cm.(结果保留π)
解：
由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．
7.如图，在等腰中，，，为线段上一点，以为圆心，线段的长为半径画圆恰好经过点，与的另一个交点为．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
解证明：连接，
∵
，
∴
，，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是的半径，
∴
是的切线．
解：∵
，，
∴
，由勾股定理得，
∴
，
∵
，
∴
．
8.如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、．
（1）证明：＝；
（2）若＝＝，求的长度．
解：证明：∵
?是?的直径，
∴
＝，
∴
＝；
∵
，
∴
＝；
∵
，
∴
＝，
∴
＝，
∵
＝
∴
＝
∴
＝．
如图，连接、，
，
∵
＝＝，，
∴
＝，
∵
＝，
∴
＝＝，
∴
是等边三角形，
∴
＝，
∵
，
∴
＝，
∴
＝，
∴
的长度．
5、中考真题
1．（2020?遂宁）如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为　　
A．
B．
C．
D．
解：连接，过作于，如图，
，，
，
与相切于点，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，，
图中阴影部分面积
．
故选：．
2．（2019?枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（　　）
A．8﹣π
B．16﹣2π
C．8﹣2π
D．8﹣π
解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故选：C．
3．（2019?营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为　3　．
解：设该圆锥的底面半径为，
根据题意得，解得．
故答案为3．
4．（2019?抚顺）如图，直线的解析式是，直线的解析式是，点在上，的横坐标为，作交于点，点在上，以，为邻边在直线，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为；延长交于点，点在上，以，为邻边在，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为按照此规律继续作下去，则　　．（用含有正整数的式子表示）
解：过作轴于，连接，，，，
点在上，的横坐标为，点，，
，，
，
在△中，，
，
直线的解析式是，
，
，
，
交于点，
，
，
，
四边形是菱形，
△是等边三角形，
，
，
，
，，，
同理，，
，
．
故答案为：．
5．（2019?张家界）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分面积．
解：（1）如图，连接，，，
为的直径，
，
在中，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
为半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．