选修2-1学案

§2.1.1 曲线与方程（1）
学习目标
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
自我评价
1.曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线与一个二元方程之间，
如果具有以下两个关系：
（1）．曲线上的点的坐标，都是 的解；
（2）．以方程的解为坐标的点，都是
的点，那么，方程叫做这条曲线的方程；曲线叫做这个方程的曲线．
典型例题
例1如果曲线C上的点满足方程，则以下说法正确的是（ ）
曲线C的方程是
B. 方程的曲线是C
C.坐标满足方程的点在曲线C上
D.坐标不满足方程的点不在曲线C上
变式：已知是曲线C的方程，给出以下说法：
若点的坐标是方程是的解，则点M在曲线C上
②若点的坐标是方程是的解，则点M不在曲线C上
③若点 在曲线C上，则点M的坐标满足
④若点 在曲线C上，则点M的坐标不一定满足方程。其中说法正确的是
例2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什吗？(1)
(2);(3)
变式：设点能不能说线段AB的方程是？为什么？
例3 已知方程（1）判断点，是否在此方程表示的曲线上；
（2）若点在此方程表示的曲线上，求的值.
变式：方程的曲线经过点，，，中的（ ）.
A．个 B．个 C．个 D．个
例4证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是．
变式：到x轴距离等于的点所组成的曲线的方程是吗？
例5设两点的坐标分别是，，求线段的垂直平分线的方程．
变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是，，．中线（为原点）所在直线的方程是吗？为什么？
课后作业
1. 与曲线相同的曲线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
2．直角坐标系中，已知两点，，若点满足=+，其中，，+=， 则点的轨迹为 ( ) ．
A．射线 B．直线 C．圆 D．线段
3．，，线段的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4. 方程表示的图形是 （ ）
A. 两条平行直线 B. 两条相交直线
C. 有公共端点的两条射线 D. 一个点
5. “点在曲线上”是“点的坐标满足方程”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若直线与的交点在曲线上，则的值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 以上都不对
7．已知方程的曲线经过点和点，则= ，= ．
8．已知两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是 ．
9. 求方程的曲线经过原点的充要条件是 。
10. 已知：，点在曲线上，则的值是 ；
11. 方程表示的图形是 。
12. 曲线关于直线对称的曲线方程为____________________。
13.点，，是否在方程
表示的曲线上？为什么？
14 求和点，距离的平方差为常数的点的轨迹方程．
15. 已知线段AB，B点的坐标为（6，0），A点在曲线y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程。
16. 已知点A（－1，0）、B（2，0），求使∠MBA=2∠MAB的动点M的轨迹方程。
§2.1.2 曲线与方程（2）
学习目标
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
自我评价
1.点到轴的距离是 ；
点到轴的距离是 ；
求曲线的方程的步骤：
典型例题
例1 有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到的距离的倍，试求曲线的方程．
变式：现有一曲线在轴的下方，曲线上的每一点到轴的距离减去这点到点，的距离的差是，求曲线的方程．
例2 过作两互相垂直的直线和，交轴于点，与轴交于点，求线段中点的轨迹方程.
变式：已知点与轴的距离和点与点
的距离相等，求点的轨迹方程
例3 已知中，三边，且成等差数列，，试求点的轨迹方程.
变式：已知线段的长为3，平面上一动点到点的距离是到点距离的两倍，求动点的轨迹方程
例4 画出方程的曲线
变式：作出方程的曲线
例5 求实数的取值范围，使曲线，有两个交点
变式：已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
变式2：已知集合
且，则的取值范围是
课后作业
1．方程|x|－1＝ 所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆
2．已知，，动点满足
,则点的轨迹方程是（ ）.
A． B． C． D．
3．曲线与曲线的交点个数一定是（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图所示，已知两点A(－2，0)、B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是(　　)
A．
B．
C．
D．
5．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是(　　)
A．y2＝8x B．y2＝8x(x＞0)和y＝0
C．y2＝8x(x＞0) D．y2＝8x(x＞0)和y＝0(x<0)
6．如图，设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
7．若定点与动点满足,则点的轨迹方程是 ．
8．由方程确定的曲线所围成的图形的面积是 ．
9．两条直线ax＋y＋1＝0和x－ay－1＝0(a≠±1)的交点的轨迹方程是________．
10．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，过原点的直线与圆C相交于A、B两点，则A、B两点中点M的轨迹方程是________．
11.（2011北京）曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数( >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C过坐标原点；② 曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于其中，所有正确结论的序号是
12．已知点F(0，－)，P点在直线y＝－4上方，且P到点F和直线y＝－4的距离之和为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设动点P的轨迹是C，曲线C交y轴于点M，在曲线C上是否存在两点A、B，使∠AMB＝.
13．A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点．O是坐标原点，且|OA|·|OB|＝a2＋b2(a，b为常数值，b≠0)．求线段AB的中点P的轨迹方程．
14．如图，已知定点F，定直线l：y＝－，过定直线l上任意一点M作l的垂线MP，线段MF的垂直平分线与直线MP相交于P点．
(1)求P点的轨迹C的方程；(2)证明：PN与曲线C相切．
15.已知，点在轴上，点在y轴上，且,当点在y轴上运动时，求点的轨迹方程
16.若与,所在的直线交于两点，（1）求的取值范围；（2）求
(3)若,求线段的中点坐标.
§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
自我评价
1. 把平面内与两个定点的距离之 等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
当时，其轨迹为　　　　　；
当时，其轨迹为　　　　　．
焦点在轴上的椭圆的标准方程
　　其中
若焦点在轴上，两个焦点坐标 ，
则椭圆的标准方程是　　　　　　　 ．
典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上；
⑵，焦点在轴上；
⑶．
变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围 ．
例2　已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 ．
变式：椭圆过点 ，，，求它的标准方程．
例3 椭圆上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为（ ）
A.5 B.6 C.4 D.10
变式：设定点,,动点满足条件
，则点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
例4 已知椭圆，是它的焦点，是过的直线与椭圆交于两点，求的周长
变式：已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.
课后作业
1．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（　　）．
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4.椭圆的焦距为 ( )
A.1 B. C. D.
5.若椭圆的焦距为4，则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.焦点为(0,-1)，(0,1)的椭圆方程可以是 ( )
A. B.
C. D.
7.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是 ．
9．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是　　　　　，它的方程是　　　　　　　．
10.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.
11.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则.
12.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积__.
13.椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，若则
14.已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数的零点，则椭圆的标准方程为__________________________________.
15.线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上运动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程.
16.已知圆B：的圆心为点B，又有定点为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线与线段CB的交点P的轨迹方程.
17.已知椭圆C与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，且，求的面积.
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
自我评价
相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程
典型例题
例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
变式： 若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程 ．
变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？
例3 已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且,求的面积
变:1：把换成,如何求的面积
变式2：已知是椭圆上一点，为焦点，且则的面积是
例5 已知是两个定点，,且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
变式：已知一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程
例6 已知椭圆与椭圆的焦距相等，求的值
变式：已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为
变式2：若方程表示椭圆，则的取值范围为
变式3：若方程表示椭圆，则
的取值范围为
变式4：已知 （表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.
课后作业
1．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（ ）．
A． B． C． D．
3.“”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆的（ ）
A.充分不必要条件 B .必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.椭圆的焦距是2，则的值为（ ）
A.5或3 B.8 C.5 D.16
5.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（ ）
A. B.6 C. D.12
6．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________．
7．椭圆 的焦点坐标是________．
8．已知椭圆的标准方程是()，它的两焦点分别是2，且，弦过点，则△的周长为________．
9．过点(－3,2)且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
10．已知椭圆的焦点是(0，－1)、(0,1)，是椭圆上一点，并且，则椭圆的标准方程是________．
11．已知椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，且，则椭圆的标准方程是________．
12．若△的两个顶点坐标(－4,0)，(4,0)，△的周长为18，则顶点的轨迹方程为________．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一点，是的中点，若，则＝________.
13．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且,则的面积等于________．
14．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
15. 设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是 ．
16．(2009北京)椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .
17．已知椭圆()的左焦点到直线的距离为2，求椭圆的标准方程．
18．已知圆及点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与相交于点，求点的轨迹方程．
19．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
自我评价
1.图形：
2.范围：： ：
3.对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
4.顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；
长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；
5.离心率：刻画椭圆 程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．
6.焦半径公式：
典型例题
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是呢
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程
（1）长轴长是短轴长的2倍且经过点（2,0）；
（2）短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．
例3 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
变式：如图，分别为椭圆的顶点与焦点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
例4 椭圆的右顶点是，其上存在一点，使，求椭圆的离心率的取值范围。
变式：已知是椭圆的左右焦点，是椭圆上一点，,求椭圆的离心率的最小值。
课后作业
1．若椭圆的离心率，则的值是（ ）．
A． B．或 C． D．或
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（ ）．
A． B． C． D．
3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是 ．
5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．
6．若椭圆的离心率，则的值为________．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是____________．
8．已知椭圆的焦点在轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则该椭圆的标准方程为____________．
9．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点.若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
10．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
11．已知两椭圆与()，则它们有相同的________．
12．若是椭圆的焦点，则在上满足的点的个数为________．
13．若椭圆焦距的一半为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率为________．
14．已知点()在椭圆上，则的取值范围是____________．
15．如图，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点．
(1)求的周长；
(2)若直线的倾斜角为45°，求的面积．
16．已知椭圆及直线.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
17.如图，点分别是椭圆长轴的左、右顶点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，.
(1)求点坐标；
(2)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值．
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
自我评价
1.椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
2.点与椭圆的位置如何判定？
典型例题
例1 直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求实数的取值范围；
变式：已知椭圆和两点，，若线段和椭圆没有公共点，求的取值范围.
例2 焦点分别为和的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程
变式：过点的直线与椭圆
相交，求被椭圆截得的弦中点的轨迹方程
例3 设椭圆过,两点，为坐标原点，（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在圆点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求
的取值范围，若不存在，说明理由.
变式：椭圆与直线交于两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值. （2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.
例4 定义：若椭圆的方程为，则其特殊折线为，设椭圆的两个焦点为，长轴长为10，点在椭圆的特殊折线上，则下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
变式：在上题定义中特殊折线为的椭圆的离心率为
课后作业
1．椭圆 的焦点在轴上，长轴长是短轴长的二倍，则等于（ ）
A. B.2 C.4 D.
2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）．
A. B. 3 C. D.
4.(2010福建)若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
5.（2009浙江）已知椭圆+=1（的左焦点为，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥轴，直线AB交轴于点.若,则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
6.（2010全国）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =
（A）1 （B） （C） （D）2
7.（2011全国）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过点F1的直线交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为_________．
8．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
9．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是 ．
10.(2011江西)若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
11.（2011苏北联考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是
12.（2010湖北）已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
13.（2009广东）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．
14．（2009北京）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________
15．（2009重庆）已知椭圆的左、右焦点分别为若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为______________。
16.（2011哈尔滨期末）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.
（1）求的取值范围.
（2）设椭圆与轴正半轴的交点分别为A,B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值，不存在，请说明理由.
17.设椭圆:的右焦点为
过点的直线与椭圆相交于A,B两点，直线的倾斜角为，.(1)求椭圆的离心率. （2）如果，求椭圆的方程.
18.(2011北京)已知椭圆.过点（,0）作圆的切线交椭圆于
两点.
（I）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为的函数，并求的最大值.
19. (2010全国新课标)设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率；
（2） 设点满足，求的方程
§2.3.1 双曲线及其标准方程（一）
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
自我评价
1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的 等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
反思：设常数为 ，为什么？
时，轨迹是 ；
时，轨迹 ．
试试：点，，若，则点的轨迹是 ．
2：双曲线的标准方程：
（焦点在轴）
其焦点坐标为，．
典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．
变式2：已知双曲线的方程是，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点是的中点，则= (O为坐标原点)
变式3．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．
例2 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
变式2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．
例3：已知双曲线的焦点在坐标轴上，且双曲线上两点的坐标分别为，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线的焦点在坐标轴上，且双曲线上两点的坐标分别为，求双曲线的标准方程．
例4 方程表示焦点在轴上的双曲线，求角所在的象限.
变式：已知，当的值变化时讨论方程表示曲线的形状.
课后作业
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支
C. 两条射线 D. 一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（ ）．
A. 5 B. 13 C. D.
4.如果表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，动点满足条件. 则动点的轨迹方程为 ．
6．已知方程表示双曲线，则的取值范围 ．
7.与椭圆的公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为___ .
8.动圆与圆：内切且过点，求动圆圆心的轨迹方程.
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是____________.
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，点位于该双曲线上，线段的中点坐标为，则双曲线的方程是____________.
11．过双曲线=1左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为____________.
12．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，求双曲线的方程____________.
13．已知方程，则它表示的曲线是____________.
14．实半轴长等于，并且经过的双曲线的标准方程是____________.
15．设为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的面积为___________.
16．已知是三角形的一个内角，且，则方程可能表示下列曲线中的____________.
（1）焦点在轴上的椭圆（2）焦点在轴上的椭圆；（3）焦点在轴上的双曲线；（4）焦点在轴上的双曲线.
17.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为 。
18. 已知：双曲线的两个焦点为，，其上一点满足，求双曲线方程。
19.已知圆方程为，定点，求过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程.
§2.3.1 双曲线及其标准方程（二）
学习目标
1．掌握双曲线的焦点三角形；
2．掌握双曲线的标准方程的求法．
自我评价
焦点弦问题（1）由定义求
（2）利用正余弦定理求
2.求双曲线的标准方程的方法（1）直译法：
（2）定义法
（3）待定系数法
典型例题
例1 双曲线上有一点，是焦点，且,则的面积为
变式：设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若,求的面积.
例2 已知直线与直线，动点到的距离之积等于1，求点的轨迹方程
变式：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2:1,求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
例3在中，已知，且三内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程，并指明表示什么曲线.
变式：如图所示，在中，已知，且内角满足，建立适当的平面直角坐标系，求顶点的轨迹方程．
例4：求与两个定圆
和圆都外切或都内切的动圆的圆心的轨迹方程
变式设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且为上动点，求的最大值及此时点的坐标.
课后作业
1已知为定点，
，则动点A的轨迹是（ ）
A.焦点为的双曲线 B.不存在
C.以为端点方向相反且无公共点的两条直线D.以上都有可能
2.（2011安徽）双曲线的实轴长是（ ）
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
3.双曲线上一点到点（5,0）的距离为15，则点到点（-5,0）的距离为（ ）
A.7 B.23 C.7或23 D.5或25
4.(2010全国)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
= ( )
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
5．是方程表示的图形为双曲线的________条件．
6．双曲线的一个焦点为(0,3)，则＝________.
7．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为________．
8．为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积是________．
9．已知双曲线的焦点在轴上，且，，则双曲线的标准方程是________．
10．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是________．
11．是双曲线的两个焦点，在双曲线上且满足·，则________.
12．椭圆与双曲线有相同的焦点，是两条曲线的一个交点，则·的值为________．
12．与双曲线有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是________．
13.以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最
小值为 。
14．设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
15．设点到点(－1,0)，(1,0)的距离之差为2||，到轴、轴的距离之比为2，求的取值范围．
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
自我评价
1.图形
2.范围：： ：
3.对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
4.顶点：（ ），（ ）．
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
5.离心率：．
6.渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
7.实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．
典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
变式：（1）一个顶点是（0,6），且离心率是1.5
（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
（3）求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．
例3已知是双曲线（的两个焦点，是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果,求双曲线的离心率
变式：若双曲线:的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率=（ ）
A.2 B. C.3 D.
变式2：（2010辽宁）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
变式3：（2009浙江）过双曲线（的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
例4 双曲线（焦距为，直线过点（，0）和（0，），且点（1,0）到直线的距离与点（-1,0）到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围
变式：设双曲线:与直线：相交于两个不同的点，求双曲线的离心率的取值范围
变式2：双曲线的离心率则实数的取值范围是
课后作业
1. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 双曲线的左焦点为F，点P是左支上位于轴下方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 双曲线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
4. 与双曲线有共同的渐近线，且准线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 方程所表示的双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 双曲线的一条准线是，则实数为（ ）
A. B. C. D.
8．双曲线的离心率为，则实数的值等于____________.
9．过点且渐近线方程为的双曲线方程为____________.
10．与双曲线有共同的渐近线且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是____________.
11．若双曲线的实轴长与虚轴长之比为，则双曲线的离心率等于____________.
12．过双曲线的一个焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，是双曲线的另一个焦点，且 ，则双曲线的离心率等于____________.
13．已知双曲线上一点到右焦点的距离为，为的中点，为坐标原点，则____________.
14．如图已知为双曲线的焦点过作垂直于轴的直线交双曲线于点,且,求双曲线的渐近线方程____________.
15. 若点P在双曲线上，则P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 。
16. 双曲线与圆有公共点，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程。
17. 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与等比中项？
18. 已知直线与双曲线交于A、B两点。（1）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数的值。
（2）是否存在这样的实数，使A、B两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。
§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1．从具体情境中抽象出双曲线的模型；
2．灵活掌握双曲线的定义；
3．灵活掌握双曲线的标准方程．
4.直线与双曲线的位置关系
自我评价
直线与双曲线的位置关系判断：
点差法
弦长公式
典型例题
例1某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路或运到处，如图所示
已知=100m, =150m,，试说明怎样运土最省工.
变式;双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2 如果直线与双曲线
（1）没有公共点，求的取值范围.
（2）只有一个公共点，求的取值范围.
（3）与右支有两个公共点，求的取值范围.
（4）两支各有一个公共点，求的取值范围.
变式：如果直线与双曲线（1）有两个公共点，求的取值范围.
（2）与左支有有两个公共点，求的取值范围.
例3过点（8,1）的直线与双曲线
相交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程
变式：已知双曲线，过点（2,1）点作一直线交双曲线于两点，若为的中点.（1）求直线的方程
（2）求弦的长
例4 设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点，且（为坐标原点）
（1）求此双曲线的方程；（2）求的长
变:1：已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值
变式2：（2010全国新课标）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
课后作业
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（ ）．
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）．
A. B. C. D.
4.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴 相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.（2011湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6. (2011新课标)设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
7．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A． B．
C． D．
8．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________. ( http: / / wxc. / )
9．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围 ．
10．双曲线的一条准线是,则____________.
11．若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则____________.
12．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．
13.（2011辽宁）已知点（2,3）在双曲线C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为_____________.
14．已知：双曲线的右焦点为，点试在双曲线上求一点使的值最小，并求这个最小值____________.
15．过原点的直线与双曲线的公共点的个数为____________.
16．过点且与双曲线只有1个公共点的直线有____________条.
17．过双曲线：的左顶点A作斜率为1的直线。若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，且，则双曲线的离心率是____________.
18．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有____________条.
19.（2009四川）已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=
20. 已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于两点，且点是线段的中点.
21.设圆与两圆，
中的一个内切，另一个外切.（1）求的圆心轨迹的方程.
（2）已知点且为上动点，求的最大值及此时点的坐标.
§2.4.1抛物线及其标准方程
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
自我评价
1.定义：平面内与一个定点和一条定直线的
距离 的点的轨迹叫做抛物线．
点叫做抛物线的 ；
直线叫做抛物线的 ．
2.定点到定直线的距离为 （）．
建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
典型例题
例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是；
⑶焦点到准线的距离是．
变式2：已知抛物线的标准方程是（1）（2）求它的焦点坐标和准线方程．
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为，深度为，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
变式：某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
例3 已知点是抛物线上的一动点，求点到点（0,2）的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值
变式：若将点（0,2）改为点（3,2），求的最小值.
例4 已知动点的坐标满足，则动点的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.以上均不对
变式：已知动点的坐标满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 直线 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线
例5 设过（-2,4），倾斜角为的直线与抛物线交于两点，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，若成等比数列，求抛物线的标准方程
变式：顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
课后作业
1.抛物线=-8x的焦点坐标是 ( )
A．（2，0）B.（- 2，0）C.（4，0）D.（- 4，0）
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
3.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
4.已知抛物线，过焦点，倾斜角为的直线交抛物线于两点，则线段的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.3
5.若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标是( )
A.（4，±4） B.（±4，4）
C.（，±） D.（±，）
6.圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切的一个圆方程是( )
A .
B .
C .
D .
7.(2010辽宁)设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
8.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C. D.
9.已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=
(A) (B) (C) (D)
10.以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
11.直线与抛物线的一个公共点（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于 .
12.以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为
13.一直抛物线焦点在直线上，则抛物线方程为 。
14.已知抛物线 直线过点（0，1）且与抛物线只有一个公共点，则直线 方程是 .
15.直线与抛物相交于、，与轴相交于，则、、之间的关系是 。
16.根据下列条件求抛物线的标准方程
（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点.
（2）抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点,.
17.已知抛物线上的一点，到定点和焦点的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程
18.抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，若点在抛物线的准线上的射影是，求证：、、三点共线。
19.、是抛物线上的两点，满足，求证：
（1）、两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；
（2）直线经过一个定点。
抛物线的焦点到准线的距离是 .
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
自我评价
抛物线的几何性质
图形
标准方程
焦点
准线
顶点
对称轴 x轴
离心率
典型例题
例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
例2 已知抛物线的焦点在轴上，直线过且垂直于轴，与抛物线交于，两点，为坐标原点，若的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
变式：若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且,,求此抛物线的标准方程及准线方程.
例3斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长 ．
变式1：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求 ．
变式2：若抛物线的顶点在原点，轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
课后作业
1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1, 0）B．（2, 0） C.（3, 0）D．（－1, 0）
2．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）
3．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）
A．m B． 2m C.4.5m D．9m
4．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C． D．
5．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A． y 2=-2x B． y 2=-4x
C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x
6．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
7．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ） ．
A． B．
C． D．
10．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ ）
A．0条 B．1条C．2条D．3条
11．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ） （ ）
A．2a B． C．4a D．
12．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 ．
13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．
14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．
15．抛物线的准线方程是 ．
16.根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等到于；
⑵顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点．
17. 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，求．
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
3．掌握与弦中点相关的性质；
自我评价
1.抛物线的焦半径（定义）及其应用：
定义：
焦半径公式：
2．抛物线的焦点弦：
（1）弦长公式：
①________________________
②________________________
（2）通径：
典型例题
已知抛物线，过点（2,1）做一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点的轨迹方程.
变式1：抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
变式2：过点（4,1）作抛物线的弦，若弦恰被点平分，求弦所在直线的方程.
例2 在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围
变式：抛物线上，存在、两点，并且、关于直线对称，求的取值范围
例3已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为 为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
变式：设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例4 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，
求证：（1）是否为定值 （2）
（3）为定值，其值为．
变式：、是抛物线上的两点，并且,求证：（1）、两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值.
（2）直线经过一个定点.
例5（2010福建）已知抛物线C：过点（1,-2）。（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。K^S*5U.C#O
变式：设抛物线的焦点，准线与轴交于点，过过点的直线与抛物线交于、两点.（1）直线的斜率为，求证：
(2)设直线、的斜率为、,探究与之间的关系并说明理由.
课后作业
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）．
A．条 B．条 C．条 D．条
4．已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2=－, 那么m的值等于（ ） （ ）
A． B． C．2 D．3
5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
6．对于抛物线C: y2=4x, 我们称满足y02<4x0的点M(x0, y0)在抛物线的内部, 若点M(x0, y0)在抛物线的内部, 则直线l: y0y=2(x+ x0)与C（ ） （ ）
A．恰有一个公共点 B．恰有二个公共点
C．有一个公共点也可能有二个公共点
D．没有公共点
7.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
8.（2011辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
(A) (B) 1 (C) (D)
9.（2010陕西）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）
A. B. 1 C.2 D.4
10.（2011全国）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=（ ）
A． B． C． D．
11.（2011湖北）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ）
A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n 3
12．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
13．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是 ．
14．抛物线，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是　　________________.
15.（2010重庆）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
16.（2009宁夏）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.
17. 已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程.
18.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程.
19.（2011安徽）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。
第二章 圆锥曲线与方程（复习）
学习目标
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
自我评价
复习1：完成下列表格：
椭圆 双曲线 抛物线
定义
图形
标准方程
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
离心率
（以上每类选取一种情形填写）
复习2：
若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为__________；
②双曲线的渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为 ；
③以椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．
典型例题
例1 当从到变化时，方程
表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线表示椭圆，则的取值范围是 ．
例2设，分别为椭圆C： =1
的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
变式：双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．
例3 已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.
变式：如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
例4已知中心在原点的双曲线的一个焦点是（-3,0），一条渐近线的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
变式：已知椭圆的一个顶点为（0，－1），焦点在轴上，其右焦点到直线 的距离为3（1）求椭圆方程；（2）椭圆与直线相交于不同两点，当时，求的取值范围。
例5 已知椭圆经过点,两个焦点为（-1,0），（1,0）(1)求椭圆的 方程；
（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.
变式1：已知抛物线，过焦点的弦被焦点分成长为的两段，那么（ ）
A. B.
C. D.
变式2：（2010山东）如图，已知椭圆过点.，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线、的斜线分别为、.
证明：；
课后作业
1.准线方程为=1的抛物线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
2．设，方程表示焦点在轴上的椭圆，则∈ ( )
A． B.(
C. (0，) D.
3.已知两定点A(-1,0)，B(0,1)，且是的等比中项，则动点P的轨是( )
A.AB的中垂线 B.抛物线
C.圆 D.椭圆
4．若双曲线的两条渐近线相互垂直，则其离心率为( )
A.2 B.2 C. D.1.5
5．椭圆的中心为O，左焦点为F1，P是椭圆上一点，已知△PF1O为正三角形，则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）
A.－1 B. 3－ C. D.1
6.椭圆4x2＋9y2=144内有一点P(3, 2)，过P点的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在的直线方程是（ ）。
A. 3x－2y－12=0 B. 2x＋3y－12=0
C . 4x＋9y－144=0 D. 4x－9y－144=0
7.双曲线以椭圆长轴的两端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±2 B.± C.± D.
8.离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”。设()是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则∠FBA= ( )
A.60° B.75° C.90° D.120°
9.抛物线x=4y上一点A到焦点的距离为1，则点M的横坐标是( )
A. B. C. D.2
10.直线与曲线=1交点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.己知双曲线C：（a>0,b>0）。B是右顶点，F是右焦点，过F作双曲线C在第一象限的渐近线的垂线,垂足为P。若与双曲线C的左右两支分别相交于点D，E。则离心率( )
A.e> B.e> C.e>1+ D.
12．设F，F为曲线C：的焦点，P是曲线C：与曲线C的一个交点，则的值是( )
A． B. C. D.-
13．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P(i=1,2,3,…)使组成公差为d的等差数列，则d的取值范围_______。
14．连结双曲线的四个顶点的四边形面积为S，连结其四个焦点的四边形面积为S，则的最大值是______。
15．已知点(2，-1)，(-1,1)，为坐标原点，动点满足，其中,且,则的轨迹方程________。
16．已知抛物线,过点(2,0)作直线交抛物线于，两点，给出下列结论：①；②△ABO的重心必是抛物线焦点；③△ABO面积最小值为。其中正确结论是_______。
17. 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线：截得的弦长为，求抛物线的方程。
19. 已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在轴上，其右焦点到直线
（1）求椭圆方程；（2）椭圆与直线相交于不同两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。
综合测试（一）
1.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
3．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
4．设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，那么双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。
A． B．
C． D．
7．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
12．设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
13．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______________.
14．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________。
15．若曲线表示双曲线，则的取值范围是 。
16．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．
17．双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
18．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.
19.已知曲线按向量平移后得到曲线C.
① 求曲线C的方程;
②过点D(0, 2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间,设,求实数的取值范围.
20．已知抛物线的焦点为F，以A(+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；
（2）是否存在这样的值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列 如存在，求出的值，若不存在，说明理由.
21.若分别为双曲线下、上焦点，为坐标原点，在双曲线的下支上，点在上准线上，且满足：，()．（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过(，2)，求此双曲线的方程；（3）若过(，2)的双曲线的虚轴端点分别 (在轴正半轴上)，点在双曲线上，且，求时，直线的方程．
22.（2011北京） 已知椭圆:.过点（,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为的函数，并求的最大值.
综合检测（二）
1.已知，,，当和5时，点的轨迹为（ ）
A.双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线的一支和一条直线
D. 双曲线的一支和一条射线
2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，-2），则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.（2011沈阳）抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A.(1,0) B.(0，) C.(0,1) D.( ,0)
6. 已知双曲线（的两条渐近线均和圆C：相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点，离心率为，长轴长为12，那么椭圆的方程为（ ）
A. 或
B.
C. 或
D. 或
8.过椭圆内的一点（2，-1）的弦，恰好被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
9.双曲线离心率为2，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，点的坐标为（8,8），则线段的中点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则( )
A. B. C. D.
12.设为抛物线的焦点， 为该抛物线上的三点，若,则（ ）
A.9 B.6 C.4 D.3
13.直线经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于
14.已知点（-2,3）与抛物线的焦点的距离是5，则
15.椭圆上一点到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点的坐标为
16. 分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值是
17.求与椭圆有共同焦点，且过点（0,2）的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率及渐近线方程
18.中心在原点，焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.
19.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6.
（1）求此抛物线的方程
（2）若此抛物线的方程与直线相交于不同的两点，且中点横坐标为2，求的值.
20.（2011抚州）已知分别为椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且,圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并且与椭圆交于不同的两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当,求的值.
21.已知椭圆的左右焦点坐标分别是（，0）（，0），离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为.（1）求椭圆的方程；
（2）若圆与轴相切，求圆心的坐标；
（3）设是圆上的动点，当变化时，求的最大值
22.（2011哈尔滨）已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左右焦点在轴上，双曲线右支上的一点，使,且的面积为1.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证直线过定点，并求出该定点的坐标.
F
O
A
B
x
y
PAGE
661、1命题及其关系
学习目标
（1）了解命题概念及其构成形式
（2）理解命题的真假判断
（3）掌握四种命题之间的相互关系
自我评价
1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的，可以 的 叫做命题.其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题
2.命题的数学形式：“若，则”，命题中的叫做命题的 ，叫做命题的 .
1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做
原命题为：“若，则”，则逆命题为：“
”.
(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”
（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”
命题 表述形式
原命题 若,则
逆命题 (1)
否命题 (2)
逆否命题 (3)
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
假
假
四上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：（1）
(2)
精典范例
例1：下列语句是否为命题？你能判断它们的真假吗？
①若平面四边形的边都相等，则它是菱形。
②空集是任何集合的真子集
③对顶角相等吗？
④对顶角不相等；
⑤6>3
⑥
命题有 ，真命题有
假命题有 .
变式1：下列语句的是否为命题？能判断它们的真假吗？
①若，则互为倒数；
②相似三角形的周长相等；
③2+4=5
④如果≤－1，那么方程有实根；
⑤若，则；
⑥3不能被2整除；
命题有 ，真命题有
假命题有 .
变式2下列语句哪些是命题 是真命题还是假命题
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数是素数，则是奇数；
（3）指数函数是增函数吗？
（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；
（5）；
（6）.
命题有 ，真命题有
假命题有 .
例2：指出下列命题的条件与结论，并判断命题的真假
若整数能被2整除，则是偶数；
菱形的对角线相等且互相平分；
相等的两个角是对顶角。
解：（1）条件：
结论：
（2）条件：
结论：
（3）条件：
结论：
变式2：指出下列命题的条件与结论
偶数能被2整除；
若则；
在中，若则
解：（1）条件：
结论：
（2）条件：
结论：
（3）条件：
结论：
例3：判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题，否命题，逆否命题，同时判断这些命题的真假。
若，则；
若四边形的对角互补，则该四边形是圆内接四边形；
若在二次函数中，，则该二次函数图象与轴有公共点；
在中，若则
变式3：写出下列命题的真假，并写出它们的逆命题，否命题，逆否命题，同时判断这些命题的真假。
实数的平方是非负数；
等底等高的两个三角形是全等三角形；
如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
例4：已知命题P:；命题Q：，若命题P是真命题，命题Q是假命题，求实数的取值范围。
变式4：(1)已知P:方程有两个不等的负根；Q:方程无实根.若P和Q都为假命题，求的取值范围.
变式5： 已知命题P:；命题Q：，若命题P、Q至少有一个是真命题，如何求实数的取值范围。
课堂练习：
1、判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
（1）若△ABC与△A1B1C1的三边对应相等，则它们是全等三角形；
（2）若直线，则直线 与无公共点；
（3）6是方程（－5）（―6）=0的一个解；
2、命题“△ABC中，若∠C = 90°，则△ABC是直角三角形”的否命题是
3、下列语句不是命题的有
①-3=0　②与一条直线相交的两直线平行吗　③3+1=5　④5-3＞6
A.①③④　　B.①②③　　　　
C.①②④　　　D.②③④
4、判断命题的真假性: 若>0，则方程－＋＝0有实根 （答对或错）
5、给定下列命题，其中真命题为
①若＞0，则方程+2-=0有实数根；
②若，则；
③矩形的对角线相等；
④若，则、中至少有一个为0.
课后作业
一、选择
1、已知命题“若﹁p则q” 是真命题，则下列命题中一定是真命题的为 （ ）
A．若p则﹁q B．若q则﹁p C．若﹁q则p D．若﹁q则﹁p
2、“”的含义为 （ ）
A．不全为0 B． 全不为0
C．至少有一个为0
D．不为0且为0，或不为0且为0
3、下列命题：①若，则不全为零；② “正多边形都相似”的否命题；
③ 若，则的解集为；④“若是有理数，则是无理数”的逆否命题，其中正确的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、 若命题的否命题是，命题的逆命题是，则是的逆命题的 （ ）
A．逆否命题 B．逆命题　　　
C．否命题　　 D．原命题
5、已知函数=，对所有的都有意义，则的取值范围是 （ ）
A．0≤< B．0<< C．<0或> D．0<≤
6、给出四个命题：①命题“若，则”与命题“若﹁，则﹁”互为逆否命题；②“矩形的对角线相等”的否定为假命题；③命题“或”为真命题；④命题“若，则”的否命题，其中真命题的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、有下列四个命题：①“若，则互为倒数”的逆命题；②“全等三角形的周长相等”的否命题；③“若，则”的逆否命题；④“若，则方程有实根”的否命题，其中真命题的序号是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
8、用反证法证明命题：“如果整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个偶数”，下列假正确的是 （ ）
A．假设都是偶数
B．假设都不是偶数
C．假设中至多有一个是偶数
D．假设中至多有两个是偶数
二、填空
9、不等式 对恒成立，那么的取值范围是 ______
10、若“和”都是真命题，则的范围是__________
11、命题“若，则”的否命题是
三、解答
12、判断下列命题的真假：
（1）已知若或则
（2）若则方程无实数根
（3）存在一个三角形没有外接圆
13、写出命题：“若，则函数的图象与轴有两个交点”的逆否命题，判断其真假，并说明理由；
14、已知A：|5x-2|＞3，B：＞0,若A、B都是假命题，求的取值范围。
15、：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。
16、已知均为实数，且，求证：中至少有一个大于0；
17、设有两个命题：①关于的不等式对一切恒成立；②函数在上是减函数，若它们都是真命题，求实数的取值范围．
1、1命题及其关系（第二课时）
一、选择题
（1）下列语句是命题的是（ ）
A.2012是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.对数函数是增函数吗？ D.
（2）一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C. 真命题的个数一定是偶数
D. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
（3）下列叙述错误的是（ ）
A.原命题为真，其逆命题不一定为真
B. 原命题为真，其否命题不一定为真
C. 逆命题为真，其否命题一定为真
D. 原命题为真，其逆否命题不一定为真
（4）给出命题：若函数是幂函数，则函数的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A. 3 B.2 C.1 D. 0
(5)若命题的逆命题是，命题的否命题是，则是的（ ）
A. 逆命题 B. 否命题
C. 逆否命题 D. 以上判断都不正确
（6）设，是向量，命题“若，则”的逆命题是 （ ）
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
(7)已知，命题“若=3，则≥3”，的否命题是（ ）
(A)若≠3，则<3
(B)若=3，则<3
(C)若≠3，则≥3 (D)若≥3，则=3
(8) 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下
图．其中真命题的个数是（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
（9）命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是（ ）
A若 是偶函数，则是偶函数
B若不是奇函数，则不是奇函数
C若是奇函数，则是奇函数
D若不是奇函数，则不是奇函数
二、填空题
（10）命题“当AB=AC时，是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为 个
（11）“若、全为零，则”的否命题为
（12）有下列四个命题，其中真命题有 （只填序号）
①“若+=0，则、互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根“的逆命题； ④”若，则的逆否命题；
三、解答题
（13）把“末位数字是0的整数，可以被5整除”写成“若则”的形式，并写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断其真假.
14已知集合，，若命题“”是假命题，求实数的取值范围。
§1.2.1 充分条件与必要条件
学习目标
1. 理解必要条件和充分条件的意义；
2. 能判断两个命题之间的关系.
3 理解充要条件的概念；
4. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.
自我评价
1.一般地，“若，则”为真命题，是指由 通过推理可以得出.我们就说,由推出,记作,并且说是的 ,是的
2. 如果,那么与互为
3. 知识拓展
设为两个集合,集合，那么是的 条件，是的 条件.
4.判断是否充要条件两种方法
（1）且；
（2）原命题、逆命题均为真命题；
(3) 用逆否命题转化.
精典范例
例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若，则；
（2）若，则在上为增函数；
（3）若为无理数，则为无理数.
变式1、下列“若，则”的形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
（2）若，则
变式2：下列所给的、中，是的充分条件的个数是（ ）
①：，：
②：，：
③： ，：
④：直线不相交，：
A.1 B.2 C.3 D.4
例2 下列“若，则”形式的命题中哪些命题中的是必要条件？
（1）若，则；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（3）若，则
变式1：下列“若，则”形式的命题中哪些命题中的是必要条件？
（1）若是无理数，则是无理数；
（2）若，则.
变式2：给出下列四组命题：
（1）：；：
（2）：两个三角形相似；：两个三角形全等；
（3）：；：方程无实根
（4）：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等。
试分析指出是的什么条件？是的什么条件？
例3 下列各题中,哪些是的充要条件
(1) : ,:函数是偶函数；
(2) : :
(3) : ， :
变式1：下列形如“若，则”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些是的充要条件
(1) : ,:函数是偶函数；
(2) : :
(3) : ， :
变式2：下列所给的、中，是的充要条件的所有序号是
①：；： ； ②：；：
③：；： ； ④：；： ；
例4：设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是.
变式1：求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是.
例5：求关于的方程至少有一个负的实数根的充要条件.
变式1：数列既是等差数列又是等比数列的充要条件为
例6：已知：，： （），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。
变式1：已知：，： （），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
课后作业
一、选择题
1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.
A.平行四边形对角线相等
B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分
D.四边形的对角线垂直
2.，下列各式中哪个是“”的必要条件？（ ）.
A. B.
C. D.
3.平面平面的一个充分条件是（ ）.
A.存在一条直线
B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
4. 下列命题为真命题的是（ ）
A.是的充分条件
B.是的充要条件
C.是的充分条件
D.是 的充要条件
5.“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设：，：关于的方程有实根，则是的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.的一个必要不充分条件是（ ）.
A. B.
C. D.
8. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.
(1).是的
(2).是的
( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的
9.:,：，是的
条件.
10. 判断下列命题的真假
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件.
11. 已知满足条件，满足条件.
(1)如果,那么是的什么条件
(2)如果,那么是的什么条件
12. 判断下列命题的真假.
（1）是的必要条件；
（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；
（3）是的充分条件；
（4）是的充分条件.
13. 下列各题中，是的什么条件？
（1）：，：；
（2）：，：；
（3）：，：；
（4）：三角形是等边三角形，：三角形是等腰三角形.
14. 证明：是直线和直线垂直的充要条件.
15.求证：是等边三角形的充要条件是，这里是的三边.
§1.2.2 充分条件与必要条件
一、选择题
1、（2011重庆）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
2．（2011天津）设则“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　D．即不充分也不必要条件
3．（2011浙江）若为实数，则“”是或的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4（2011山东）对函数,“的图象关于y轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
5（2011江西）已知是三个相互平行的平面．平面之间的距离为，平面之间的距离为．直线与分别相交于，那么“”是“=”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条D．既不充分也不必要条件
6．（2011湖南）设集合，则 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
7.（2011湖北）若实数、满足且，则称与互补，记，那么是与互补的（ ）
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件
8.（2010浙江）设，则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
9.（2010四川）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
10.（2010陕西）对于数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.（2010山东）设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的（ ）
(A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
12.（2010湖北）记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为
则“t=1”是“为等边三解形”的（ ）
A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
13．（2010广东）“”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
14.（2010北京）若,是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 （B）必要不充分条件
C充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15.（2011陕西）设,一元二次方程有正数根的充要条件,则=
16.已知： ，或（是的一个必要不充分条件，求使恒成立的实数的取值范围。
17.求关于的方程有两个负实根的充要条件.
§1.3简单的逻辑联结词
学习目标
1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；
2. 掌握的真假性的判断；
3. 正确理解的意义，区别与的否命题；
4. 掌握的真假性的判断，关键在于与的真假的判断.
自我评价
1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题和命题联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”.
规定：
真 真
真 假
假 真
假 假
2.一般地,用逻辑联结词“或”把命题和命题联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”.
规定：
真 真
真 假
真 真
假 假
3.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”或“ ”.
规定：
真
真
典型例题
例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：
（1）：平行四边形的对角线互相平分，：平行四边形的对角线相等；
（2）：菱形的对角线互相垂直，：菱形的对角线互相平分；
（3）：35是15的倍数，：35是7的倍数
变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2和3都是素数.
例2 将下列命题用“或”联结成新命题，并判断它们的真假：
（1）：方程的根为，：方程的根为
（2）：是方程的根，：是方程的根
（3）：1是奇数，：1是素数.
变式1将下列命题用“或”联结成新命题，并判断它们的真假：
（1）：三角形的内角和等于，：三角形的内角都小于；
（2）：对角线互相垂直的四边形是菱形，：对角线互相平分的四边形是菱形；
（3）：6是2的倍数，：6是3的倍数；
例3写出下列命题的否定，并判断他们的真假：
（1）：是周期函数；
（2）：
（3）空集是集合的子集.
（4）：2和3都是偶数.
变式1写出下列命题的否定，并判断他们的真假：
若是奇数，则是偶数.
（2）若，则或
（3）若这个数是质数，则这个数一定是奇数.
（4）若两个角相等，则这两个角是对顶角.
例4 判断下列含逻辑联结词的命题的类型与真假
（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
（2）9的平方根是3或9的平方根是；
（3）
变式1判断下列含有逻辑联结词的命题的类型与真假
（1）相似三角形周长相等或对应角相等.
（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧。
（3）
（4）有两个角相等的三角形相似或有两条边相等的三角形相似.
例5 已知：：方程有两个不等的负实根；：方程无实根，若“”为真命题，且“”是假命题，求实数的取值范围.
变式1已知：：方程有两个正实根；：方程负实根，若“”为真命题，且“”是假命题，求实数的取值范围.
课后作业
一、选择题
1. “或为真命题”是“且为真命题”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．给出命题：：3>1, ：4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“且”“ 或”“非”中,真命题的个数为
A.0　　　　　　B.3　　　　　　
C.2　　　　　　D.1
3.命题在中，是的充要条件；命题：是的充分不必要条件，则（ ）.
A.真假 B.假假
C.“或”为假 D.“且”为真
4.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
5．如果命题“或”是真命题，“非”是假命题，那么（ ）
A 命题一定是假命题 B命题一定是假命题
C命题一定是真命题 D命题是真命题或者是假命题
6．在下列结论中，正确的结论为（ ）
①“且”为真是“或”为真的充分不必要条件
②“且”为假是“或”为真的充分不必要条件
③“或”为真是“”为假的必要不充分条件
④“”为真是“且”为假的必要不充分条件
A ①② B ①③ C ②④ D ③④
7．若、是两个简单命题，且“或”的否定是真命题，则必有（　　　）
A.　 真，真　　　　　B.　 假，假
C.　 真，假　　　　　D.　 假，真
8.（2010全国）已知命题：函数在上为增函数；：函数在上为减函数；则在命题：，：，：，和：中，
真命题是（ ）
A. ， B. , C. , D. ,
9．（2011安徽）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
（A）所有不能被2整除的数都是偶数
（B）所有能被2整除的整数都不是偶数
（C）存在一个不能被2整除的数都是偶数
（D）存在一个能被2整除的数都不是偶数
10.（2011北京）若是真命题，是假命题，则
（A）是真命题 (B)是假命题
(C)是真命题 (D)是真命题
二．填空题：
11.命题：0不是自然数，命题：是无理数，在命题“或”“且”“非”“非”中假命题是 ，真命题是 .
12. 已知：，：都是假命题，则的值组成的集合为
13.命题：方向相同的两个向量共线，命题：方向相反的两个向量共线，则命题为
14.命题“若，则”的否命题为
，命题的否定为 。
三、解答题
15 给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实根，如果是真命题，是假命题，求实数的取值范围.
§1.4 全称量词与存在量词
学习目标
1、了解含有一个量词的命题的特点；
2. 掌握全称量词与存在量词的的意义；
3. 掌握全称命题和特称命题及其否定的真假性的判断.
自我评价
1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式，读作：
3、一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：
全称命题：，
它的否定：
4. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：
特称命题：，
它的否定：
典型例题
例1 下列命题中全称命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是。
A.0 B.1 C.2 D.3
变式1 下列命题不是全称命题的是（ ）
A.对于任意，
B.自然数的平方大于零
C.小于2011的数小于2012
D.方程有实数解
例2 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）；
（3）对每一个无理数，也是无理数.
变式1：判断下列命题的真假：
（1）
（2）
例3 下列命题中特称命题的个数是（ ）
①有些自然数是偶数；②正方形是矩形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意
总有；
A.0 B.1 C.2 D.3
变式1 下列命题不是特称命题的是（ ）
实数的平方可以等于0
B.存在，使
C.至少有一个三角函数的周期是
D.二次函数都是偶函数
例4判断下列特称命题的真假：
有一个实数，使；
存在两个相交平面垂直于同一条直线；
有些整数只有两个正因数.
变式1：判断下列命题的真假：
(1)
(2)
变式2 判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假
（1）有一个实数，使无意义；
（2）任何一条直线都有斜率吗？
（3）所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
（4）圆内接四边形，其对角互补；
（5）对数函数都是单调函数。
例5写出下列全称命题的否定：
（1）：所有能被3整除的数都是奇数；
（2）：每一个平行四边形的四个顶点共圆；
（3）：对任意，的个位数字不等于3.
变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假.
(1) ：
(2) ：所有的正方形都是矩形.
例6写出下列特称命题的否定：
(1) ：；
(2) ：有的三角形是等边三角形；
(3) ：有一个素数含有三个正因数.
变式1：写出下列特称命题的否定，并判断真假.
(1) ：；
(2) ：至少有一个实数，使.
变式2：分别写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假
有些实数的绝对值不是正数；
所有的矩形都是平行四边形
（3）不论取何实数，方程都有实根；
（4），
课后作业
一、选择题
1. 下列命题为特称命题的是（ ）.
A.偶函数的图像关于轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线都是平行线
D.存在实数大于等于3
2.下列特称命题中真命题的个数是（ ）.
(1)；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）是无理数}，是无理数.
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
3.下列命题中假命题的个数（ ）.
(1)；（2）；
（3）能被2和3整除；
（4）
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
4. 命题“原函数与反函数的图象关于对称”的否定是（ ）.
A. 原函数与反函数的图象关于对称
B. 原函数不与反函数的图象关于对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 对称
D. 存在原函数与反函数的图象关于对称
5.对下列命题的否定说法错误的是（ ）.
A. ：能被3整除的数是奇数；：存在一个能被3整除的数不是奇数
B. ：每个四边形的四个顶点共圆；：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C. ：有的三角形为正三角形；：所有的三角形不都是正三角形
D. ：；
：
6.命题“对任意的”的否定是（ ）.
A. 不存在
B. 存在
C. 存在
D. 对任意的
7.下列命题中
（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是
特称命题是 .
8. 用符号“”与“”表示下列含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0：
（2）存在一对实数使成立：
9. 平行四边形对边相等的否定是
10. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是
11. 判断下列全称命题的真假：
（1）末位是0的整数可以被子5整除；
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等；
（3）负数的平方是正数；
（4）梯形的对角线相等.
12. 判定下列特称命题的真假：
（1）；
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
（3）是无理数}，是无理数.
13. 写出下列命题的否定：
（1）若，则；
（2）若则有实数根；
（3）可以被5整除的整数，末位是0；
（4）被8整除的数能被4整除；
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
§1.4全称量词与存在量词
（第二课时）
选择题
1. 下列语句不是特称命题的是（ ）
A.有的无理数的平方是有理数
B. 有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意的，是奇数
D.存在，是奇数
2. 下列命题中，真命题是
A.,使函数（）是偶函数
B. ,使函数（）是奇函数
C. ,使函数（）是偶函数
D. ,使函数（）是奇函数
3.若命题：，，则是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.下列四个命题中的真命题为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.对下列命题的否定说法错误的是（ ）
A. ：能被2整除的数是偶数；：存在一个能被2整除的数不是偶数
B. ：有些矩形是正方形；：所有的矩形都不是正方形
C. ：有的三角形为正三角形；：所有的三角形不都是正三角形
D. ：，；：，
6.（2011辽宁）已知命题P：n∈N，2n＞1000，则p为（ ）
（A）n∈N，2n≤1000（B）n∈N，2n＞1000（C）n∈N，2n≤1000 （D）n∈N，2n＜1000
7.（2011安徽）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ）
（A）所有不能被2整除的数都是偶数
（B）所有能被2整除的数都不是偶数
（C）存在一个不能被2整除的数是偶数
（D）存在一个能被2整除的数不是偶数
8. （2010湖南）下列命题中的假命题是（ ）
A. B.
C. D.
9. （2011广东）设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是（ ）
A．中至少有一个关于乘法是封闭的
B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．中每一个关于乘法都是封闭的
10. （2009天津）命题“存在R，0”的否定是（ ）
（A）不存在R, >0
（B）存在R, 0
（C）对任意的R, 0
（D）对任意的R, >0
11.（2009宁夏） 有四个关于三角函数的命题：
：xR, +=
: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny
: x,=sinx
: sinx=cosyx+y=其中假命题的是( )
（A）， （B），
（C）， （D），
二、填空题
12、（2010安徽文）(11)命题“存在，使得”的否定是
13.下列命题是全称命题的是 ；是 特称命题的是
①正方形的四条边相等； ②有两个角是的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于零；④至少有一个正整数是偶数。
14.命题“零向量与任意向量共线”的否定为
三、解答题
14.已知命题“对于任意，”是假命题，求实数的取值范围。
第一章 常用逻辑用语（复习）
学习目标
1. 命题及其关系
（1）了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系；
（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
2. 简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
3. 全称量词与存在量词
(1) 理解全称量词与存在量词的意义；
（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
自我评价
知识回顾：
1.什么是命题 其常见的形式是什么 什么是真命题 什么是假命题
2.有哪四种命题 他们之间的关系是怎样的
3.什么是充分条件、必要条件和充要条件？
4你学过哪些逻辑联结词 四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎样
5.否命题与命题的否定有什么不同
6.什么是全称量词和存在量词
7.怎样否定含有一个量词的命题
典型例题
例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假
若，则方程有实根；
若都是奇数，则是偶数.
变式1：在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；③若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.以上命题中逆命题为真命题的是
变式2： 若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的 （ ）
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.以上结论都不正确
例1 命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则或
B.若，则
C.若或，则
D.若或，则
变式：命题“若或，则”的逆否命题是 .
例2 下列各小题中，是的充要条件的是（ ）.
（1）：或；：有两个不同的零点
（2）：；：是偶函数
（3）：；：
（4）： ；：
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
变式1：下列各题中，是的什么条件？
(1)在中，：，：;
(2) ：,：不都是
变式：设命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
例3 给出下列命题:
：关于的不等式的解集是，：函数是增函数.
(1) 若为真命题，求的取值范围.
(2) 若为真命题，求的取值范围.
变式1：以下判断正确的是（ ）
命题是真命题时，命题“”一定是真命题
命题“”是真命题时，命题一定是真命题
命题“”为假命题时，命题一定是假命题
命题是假命题时，命题“”不一定是假命题
变式2：设命题：和命题：对，，且为真，为假，则实数的取值范围是
例4 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）某些平行四边形是菱形；
（3），
变式1：已知命题，，则是_____________________
变式2：下列四个命题
①，
②，是有理数。
③，使
④，使
所有真命题的序号是__________。
课后作业
一、选择题
1. 下列语句不是命题的有（ ）.
①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
2. 给出命题：p：，q：，则在下列三个复合命题：“p且q” “p或q” “非p”中，真命题的个数为（ ）.
A.0 B.3 C.2 D.1
3. 若是常数，则“”是“对任意，有”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4.命题“若则”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
A.0 B.2 C.3 D.4
5. 若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）A. p真q真 B. p假q真
C. p真q假 D. p假q假
6. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像。金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里。p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ）
A. 金盒里 B. 银盒里
C. 铅盒里 D. 不能确定在哪个盒子里
7. 不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
8. “a和b都不是偶数”的否定形式是（ ）
A. a和b至少有一个是偶数
B. a和b至多有一个是偶数
C. a是偶数，b不是偶数
D. a和b都是偶数
9.以下判断正确的是（ ）
A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B.命题“”的否定是“”
C.“”是“函数的最小正周期为”的必要不充分条件
D. “”是“函数是偶函数”的充要条件
10.设集合，命题p：,命题q：，若为真命题，为假命题，则的取值范围是（ ）
A.或 B. 或
C. D.
二、填空题
11. 已知a，b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么是的 条件.
12.“”的 条件是“”
13若关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是_____________
三、解答题：
14. 写出命题“若，则或”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。
15.已知；：
，若－p是－q的必要非充分条件，求实数的取值范围。
１６.已知命题：“，”，命题：“”，若命题“为真命题，求实数的取值范围。
《常用逻辑用语》测试题一
一、选择题
1.命题“若，则（）”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）.
A.3 B.2 C.1 D.0
2.若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（ ）.
A.p真，q真 B.p假，q假
C .p真，q假 D.p假，q真
3.有下列三个命题：①“若，则互为相反数”的逆命题；②“若，则”的逆否命题；③“若，则”。其中假命题的个数为（ ）.
A.0 B.3 C.2 D.1
4.如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（ ）.
①命题“p且q”是真命题
②命题“p且q”是假命题
③命题“p或q”是真命题
④命题“p或q”是假命题
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
5.一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）.
A. B. C. D.
6.若非空集合是集合N的真子集，则“或”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
7.已知均为锐角，若p：，q：，则p是q的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
8.设分别是的三个内角A、B、C所对的边，则是A=2B的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
9.已知p：；q：，则p是q的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
10.在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
11.如果p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件；那么（ ）.
A. B.
C. D.
12.已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二 填空题
13.“且”的否定是
14. 下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
15．ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负的实根的充要条件是________．
16不等式 对于
恒成立，那么的取值范围
三 解答题
17.写出下列命题的否命题和逆否命题：
（1）若，则中至少有一个为零；
（2）若，则全为零；
18．判断下列命题的真假：
（1）已知若
（2）
（3）若则方程无实数根。
（4）存在一个三角形没有外接圆。
19．给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
20.已知 时，不等式恒成立，求的取值范围
21. 求证：关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件是
22.设命题：；命题：，.如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围．
《常用逻辑用语》测试题二
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A．周期函数的和是周期函数吗？
B． C．
D．梯形是不是平面图形呢？
2．在命题“若抛物线的开口
向下，则”的逆命
题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真
3．有下述说法：①是的充要
条件. ②是的充要条件.
③是的充要条件.则其中正
确的说法有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题
一定为真
B．“”与“ ”不等价
C．“,则全为”的逆否命题
是“若全不为, 则”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一
定为真
5.已知命题为““是真命题，那么命题
“”及命题的真假是（ ）
A.真、真 B.假、假
C.真、假 D.以上都不对
6．若命题“”为假，且“”为假，则（ ） ）
A．或为假 B．假
C．真 D．不能判断的真假
7.下列命题是全称命题并且是真命题的是（ ）
A.每个二次函数的图象与轴都有两个不同的交点
B.对任意非正数，若，则
C.存在一个菱形不是平行四边形
D.存在一个实数使不等式
8.下列命题中的假命题是（ ）
A. B.
C. D.
9.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数，；④对于任意的实数，是奇数。下列说法正确的是（ ）
A.四个命题都是真命题 B①②是全称命题
C. ②③是特称命题 D.四个命题中有两个假命题
10.给定下列命题
①“是的充分不必要条件；②“若，则”；③“若则且”的逆否命题；④命题“使”的否定.其中真命题的序号是（ ）
A.①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④
11.“等式成立”是“成等差数列的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.下列4个命题
其中的真命题是( )
A. B. C. D.
二、选择题
13.命题“对任何”的否定是
14. 有下列四个命题：
①、命题“若，则，互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若，则有实根”的逆否命题；
④、命题“若，则”的逆否命题。
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）
15．已知、是不同的两个平面，直线，命题无公共点；
命题， 则的 条件。
16．若“或”是假命题，则的范围是___________。
三、解答题
17.写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假
18.写出下列命题的否定，并判断真假
（1）：无论取何实数，方程
必有实数根
（2）：菱形的对角线互相垂直；
（3）：存在一个实数使得；
19.已知命题：；命题：方程无实根.若为真，为假，为假，求的取值范围.
20.写出下列特称命题的否定，并判断其真假.
（1）：，使；
（2）：若，则，使
（3）：
21. 已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件。
22.设：实数满足其中，命题：实数满足，或，且是的必要不充分条件，求的取值范围.
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10§3.1.1空间向量及其运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
自我评价
复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，
和 共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；
当λ＜0时，λa与A. ；
当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
新课：（1）在空间，把具有 和 的量叫做空间向量
（2）向量的 叫做向量的长度（或模）
（3）空间向量用 表示，有向线段的
就是空间向量的长度
（4）空间向量可用一个 表示，如
其模记为 ，也可用有向线段的
表示如 其模记为
（5） 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量.
（6）加法运算
减法运算
加法交换律
加法结合律
典型例题
类型一空间向量及有关概念
例1 下列五个命题：（1）所有的单位向量都相等；
（2）方向相反的两个向量是相反向量；
（3）若、满足且、同向，则；
（４）零向量没有方向；
（5）对于任何向量、，必有
其中正确命题的序号为（ ）
A.(1)(2)(3) B.(5) C.(3)(5) D.(1)(5)
变:1：下列命题中正确的个数是（ ）
（1）如果、是两个单位向量，则
（2）两个空间向量相等，则他们的起点相同，终点也相同；
（3）若、，为任意向量，则（+）+=
+（+）
(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
A.1 B.2 C.3 D.4
变式2：给出下列命题：①若空间向量、满足，则=；②在正方体中，必有;
③若空间向量、、满足=，=，则=；④空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
类型二 空间向量的线性运算
例2 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
变式：在上图中，用表示和.
变式2．如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．
(1)＋＋；(2)－＋.
例3化简下列各式：
⑴ ; ⑵
⑶ ⑷ .
变式1：化简下列各式：
（1） ;
（2） ;
（3）.
变式2：在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（ ）
（1）;
(2) ;
(3)
(4)
课后作业
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，一定有.
2. 长方体中，化简=
3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. 或
C. D. ∣∣=∣∣
4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
6. 如图，平行六面体中，点为与的的交点，，，，
则下列向量中与相等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.下列命题是真命题的是（ ）
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.若非零向量、方向相反，则与是相反向量
C.若向量、满足,则与同向，且
D.若两个非零向量与满足+=，则与为相反向量
8．下列命题正确的有(　　)
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(4)向量a，b相等的充要条件是
(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(6)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个　B．2个　C．3个　　D．4个
9．已知空间向量，，，，则下列结论正确的是(　　)
A.＝＋ B.－＋＝
C.＝＋＋ D. ＝－
10．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c　　　B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
12．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
13．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是(　　)
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝0
D.－＋＋＝0
二、填空题
14．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
15．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则用、、表示的结果为______________________．
16．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：①－＝；
②＝＋＋；
③＝；④＋＋＋＝.
正确的是________．
三、解答题
17．如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．
(1)＋－＋－；
(2)－＋－.
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
自我评价
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
典型例题
例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？
变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝
变式2：设、是空间两个不共线的向量，已知，5+4，，且三点共线，求实数的值.
例2 已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.
变式1：四棱锥的底面为一矩形，设，，，分别是
和的中点，用、，表示,,,
例3：已知正四棱锥 ,是正方形的中心，是的中点，求下列各式中的值.
（1）;
(2)
变式1：本例中的条件不变，若,试求的值.
变式2：设是平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若,求的值.
课后作业：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.与非零向量共线,与共线，则与共线
B. 任意两个相等向量不一定共线
C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量与共线，则
2. 已知，，若，求实数
3．设M是△ABC的重心，记a＝，b＝，c＝，a＋b＋c＝0，则为(　　)
A.　　B. C. D.
4．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　)
A.＋2＋2 B.－3－2
C.＋3－2 D.＋2－3
5．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　)
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
6．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　)
A.a－b＋c B．－ a＋b＋c
C.a＋ b－c D.a＋b－c
7．在三棱锥S—ABC中，G为△ABC的重心，则有(　　)
A.＝(＋＋) B.＝(＋＋)
C.＝(＋＋) D.＝＋＋
8．有下列命题：①当λ∈R，且a1＋a2＋…＋an＝0时，λa1＋λa2＋…＋λan＝0；
②当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，λ1a＋λ2a＋…＋λna＝0；
③当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，a1，a2，…，an是n个向量，且a1＋a2＋…，an＝0，则λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0.
其中真命题有(　　)
A．0个　　B．1个　C．2个　　D．3个
9. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .
10．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
11．在平行六面体中，若，
则________.
12. 正方体中，点E是上底面的中心，若,
则x＝ ，y＝ ，z＝ .
13. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
14. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则
15．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE∶EC′＝1∶2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z；
(3)＝x＋y＋z.
§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
自我评价
1.共面向量： 同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
典型例题
例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）
①
②
③④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量
则P,A,B,C四点共面的条件是
例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使
求证：E,F,G,H四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
例3四棱锥的底面是平行四边形，点分别为,,
的重心.
（1）试用向量法证明四点共面.
（2）判断平面与平面是否平行，并用向量法证明你的判断.
变式：已知斜三棱柱,点分别在和上，且满足,,()，求证：与向量共面.
例4 为四棱锥的棱的三等分点，,点在上，，四边形是平行四边形，若四点共面，求实数的值.
变式：,,
是不共面的三个向量，若实数满足
,求的值.
课后作业：
1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（ ）
A. 有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量.
2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是(　　)
A．共面 B．不共面C．共线 D．无法确定
3. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.
A．0 B.1 C. 2 D. 3
4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是(　　)
A.＝＋＋ B.＝＋＋
C.＝－＋＋ D．以上皆错
5. 正方体中，点E是上底面的中心，若,
则x＝ ，y＝ ，z＝ .
6. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
7. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则 .
8．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.
9.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，则点与
(是否)共面
三、解答题
10. 若，
，若，求实数.
11.已知两个非零向量不共线, . 求证：共面．
12．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与、共面．
13．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面．
14．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？
§3.1.3．空间向量的数量积
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．
自我评价
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2） ．
（3） ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律
例1 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值
变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若
AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
例2 如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,=
=60°,求的长.
变式：在正四面体中，棱长为，分别是棱上的点，且,,求.
例3 在空间四边形中，,且
, 分别是的中点，是的中点，
求证：
变式：在空间四边形中，，分别为的中点，若,求证：
课后作业：
1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么(　　)
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉＝(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)
A．6　　 B．6　　C．12　　D．144
5．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝(　　)
A．14　　 B.　　 C．4　　 D．2
6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于(　　)
A. B. C．－ D．0
7．在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是(　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D.·＝·＝·
8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
9.（2009全国Ⅱ） 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则
(1)·＝________；〈，〉＝________；(2)·＝________.
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
12．已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，则·＝________.
13．如图所示，已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．
14. 已知空间四边形中，，，求证：.
15. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.
§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
自我评价
复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总
是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量
作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对
为向量的 ，即＝ .
空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，
对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a
的坐标，记着 .
⑸设A，B，则＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝ ；
⑵a－b＝ ；
⑶λa＝ ；
⑷a·b＝ .
典型例题
例1已知是空间的一个基底，且，，,试判断能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量，若不能，请说明理由.
变式：已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？
例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用
表示和.
变式：已知平行六面体，点G
是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:
⑴ ⑵ .
例3 垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且,试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标.
变式 已知正四面体棱长为，试建立适当的坐标系并表示出各个点的坐标.
课后作业
1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）
A. B.
C. D.
2．以下四个命题中正确的是(　　)
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则(　　)
A．i＋j＋k　　　 B.i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
4．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　C．3　　　D．4
5．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是(　　)
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确
6．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　)
A．(－1,1，－1)　　B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
7．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
8. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是
9. 在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝
10. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .
11. 已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________．
12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．
13．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.
14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
15．如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，.
(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
16．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：
(1)＝x＋y＋z.
(2)＝x＋y＋ z.
17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1.选取恰当的基底求向量、的坐标．
18．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 会用这些公式解决有关问题.
自我评价
1. 向量的模：设a＝，则｜a｜＝
2. 两个向量的夹角公式：
设a＝，b＝，
由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，
由此可以得出：cos＜a,b＞＝
① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；
② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ；
③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，
即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .
3.设a＝，b＝，则
⑴ a//B. a与b所成角是 a与b的坐标关系为 ；
⑵ a⊥ba与b的坐标关系为 ；
4. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：
.
5. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点，则线段AB的中点坐标为: .
典型例题
例1 已知，，求，
，，，
变式：设向量，，计算：，，
例2：已知的顶点坐标分别为A（-2,0,2）B（-1,1,2），C(-3,0,4)且满足
,求实数的值.
变式：设，，若
//,求实数的值.
例3. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
变式：如上图,在正方体中，，求与所成角的余弦值．
例4. 如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：.
变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.
课后作业
1. 若a＝，b＝，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不不要条件
2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a b则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90°　 　B．60°　 C．30°　 　D．0°
3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为(　　)
A．4　　 　B．1　　 C．10　　　D．11
4．下列各组向量中共面的组数为(　　)
①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)
②a＝(1,2，－1)，b(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)
③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)
④a＝(1,1,1)，b(1,1,0)，c＝(1,0,1)
A．0 　　　B．1 　C．2 　 D．3
5．下列各组向量不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
6．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是(　　)
A．[0,5]　B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25]
7．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　)
A．x<－4 B．－44
8. 已知,与的夹角为120°，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于(　　)
A．(0，，－1) B．(－，0,1)
C．(0，－，1) D．(，0，－1)
10．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
11．如图AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为(　　)
A．arctan B．arctan C. D.
12．已知向量＝(2，－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，－)，则(x，y，z)＝(　　)
A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1)
C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1)
13. 已知，且，
则x＝ .
14．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________.
15．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是____________．
16．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，－3,0)，c＝(7，－2，1)，则：
(1)a＋b＋c＝________；(2)(a＋b)·c＝________；
(3)|a－b＋c|2＝________.
17．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝__________________.
18．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与＋x垂直？
19．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．
求证：(1)AE⊥D1F；
(2)AE⊥平面A1D1F.
20．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c.(2)求a与b的夹角．
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
21. 如图，正方体中，点M,N分别为棱的中点，求CM和所成角的余弦值.
§3.1 空间向量及其运算（复习）
学习目标
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
自我评价
1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量.
2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；
当λ＜0时，λa与A. ；
当λ＝0时，λa＝ .
4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝
数乘分配律：λ(a＋b)＝
5.① 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数， 使得 ；
③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
6. 空间向量共面：
①共面向量： 同一平面的向量.
②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
7. 向量的数量积： .
8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .
10. 设A，B，则＝ .
11. 向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ；
⑶λa＝ ； ⑷a·b＝
典型例题
例1 如图，空间四边形OABC中，，
，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则 .
变式：如图，平行六面体中，，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ .
例2 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.
变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得
例3已知正方体中，为棱上的点.（1）求证：
(2)若平面平面，试确定点得位置.
变式：正四棱柱中，,点在上，且.证明：平面
课后作业
1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），
c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（ ）
A. B. C. D.
4．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 则（ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
7．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则（ ）
A. B.
C. D.
8.、（ ）
A． B． 与不平行也不垂直
C. ， D．以上情况都可能.
9. 已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
10.已知且与互相垂直，则的值是（ ）
A. .1 B. C. D.
11. 在平行六面体中，为与的交点。若，，，则= .（用表示）
12. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)，
C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=
13.（2010广东）若向量，
满足条件，则
14. 若={3,m,4}与={-2,2,m}的夹角为钝角，则m的取值范围是 .
15.下列是真命题的命题序号是 .
①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
③若向量，满足||＞||，且与同向，则＞
④若两个非零向量与满足+=0，则∥
16.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点.
⑴ 求证：；
⑵ 求与所成角的余弦；
⑶ 求的长.
17（2010天津）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）证明平面
(3)求二面角的正弦值。
§3.2立体几何中的向量方法（1）
学习目标
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
学习过程
1. 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那 么向量叫做平面的法向量.
（1）.如果都是平面的法向量，则的关系 .
（2）.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .
2. 向量表示平行、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则
① ∥∥
② ∥
③ ∥∥
类型一 求平面的法向量
例1 已知的三个顶点的坐标分别为,,,试求出平面的一个法向量.
变式：在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量.
变式2：在四棱锥中，底面是直角梯形，
，，且,,求平面与平面的一个法向量.
类型2 利用方向向量、法向量判断线面关系
例2（1）设分别是不重合的直线，的方向向量，根据下列条件判断与的位置关系
①，
②，
③，
（2）设分别是不同的平面的法向量，根据下列条件判断的位置关系
①，
②，
③，
（3）设是平面的法向量，是直线的方向向量，根据下列条件判断与的位置关系
①，
②，
③，
变式：1.设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：
⑴ ；
⑵
2. 设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴ ；
⑵ .
3. 设是平面的法向量，是直线的方向向量，根据下列条件判断与的位置关系
（1），
（2），
类型3 平行与垂直
例3 已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求证：
（1）//平面
(2)平面//平面
变式：在正方体中，为的中点，求证：//平面
例4在正方体中，是棱
的中点，试在棱上求一点，使得平面平面
变式：在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，确定的位置，使得平面
课后作业
1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为(　　)
A．－4　　　B．－6　　　C．－8　　　D．8
2．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是(　　)
A．(1，－2,0) B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4) D．(2,4,4)
3．(2010·雅安高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)
A.　　　B．1　　　C.　　　D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
5. 已知，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6. 已知，能做平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
7．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8. 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .
9. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .
10．在直角坐标系O—xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
11．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
12. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量.
13．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC.
14．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证ABCD是矩形．
15．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D.
16．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.
§3.2立体几何中的向量方法（2）
学习目标
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
自我评价
1. 用空间向量表示空间线段，然后利用公
式 求出线段长度.
2. 叫二面角，二面角的大小
3. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式 求解.
典型例题
例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式1：上题中平行六面体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗
变式3：如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离分别为，的长为，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.
变:1：如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知,求的长.
变式2：如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角.
例3 （2011北京）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.
(Ⅰ)求证：平面
（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.
变式1：（2011广东）如图，在椎体中，是边长为1的棱形，
且,,
分别是的中点，
（1）证明：;
（2）求二面角的余弦值.
课后作业
1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　)
A．30°　　　B．45°　C．60°　　D．90°
2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)
A.　　　 B.　　C．－　　D.
3.正方体中棱长为，,是的中点，则为（ ）
A. B. C. D.
4. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　)
A．(0°，90°) B．90°C．120° D．(60°，120°)
6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为(　　)
A．90°　　　B．60°　　　C．45°　　D．30°
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)
A.　 B.　 　C.　 D.
8．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是(　　)
A.　　　 B.　　　C.　　　 D.
9．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，这时二面角B—AD—C的大小为(　　)
A．30°　　　B．45°　　C．60°　　　D．90°
10．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．
12．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则SC与平面ABCD所成的角的大小为________．
13．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．
15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的大小．
16．(2010·湖南)如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
§3.2立体几何中的向量方法（3）
学习目标
1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
自我评价
1.用向量求点到平面的距离的方法：
设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则
2.两条异面直线间的距离公式
典型例题
例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
变式1：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.
变式2：已知是以为直角的直角三角形，平面，,，分别是的中点，求到平面的距离.
例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且
.已知，求公垂线的长.
变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中, ，且,是的中点,求异面直线与的距离.
课后作业
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　　D.
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是(　　)
A．5　　　B. C.　　 D．8
3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD间的距离为(　　)
A.a　　　 B.a　　C.a　　　D.a
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为(　　)
A.a B.a C.a D.a
6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)
A.　　B.　　C．2　　　D.
7．△ABC中，∠C＝90°，点P在△ABC所在平面外，PC＝17，点P到AC、BC的距离PE＝PF＝13，则点P到平面ABC的距离等于(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影的比为3?5，则α、β间的距离为(　　)
A.cm B.cm C.cm D.cm
9．矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则P到BC的距离为________．
10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
11．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
12. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是 ；
13. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是 ；
14. 在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是 ；
15. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是 .
16．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
17．如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD＝a，点M，N分别是BD，AC的中点．
(1)求证：MN⊥BD；
(2)若AB与CD所成的角为60°，求MN的长．
18．如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离．
19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
(3)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为.
§第三章 空间向量（复习）
学习目标
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.
自我评价
复习1：如图，空间四边形中，.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则
复习2：平行六面体中，
，点P,M,N分别是
的中点，点Q在上，且,用基底
表示下列向量：
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ .
※主要知识点：
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具
①平行与垂直的判断
②角与距离的计算
典型例题
例2 如图，在直三棱柱中，,点M是的中点，求证：.
变式：正三棱柱的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线上求一点N，使.
例3.（2011福建）如图甲，四棱锥中，，四边形中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设．
（i）若直线与平面所成的角为，求线段的长；
（ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由．
变式：如图，长方体中，点E,F分别在上，且,.
⑴ 求证：平面;
⑵ 当时，求平面与平面所成的角的余弦值.
例4:如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．
（Ⅰ）当时，求证；
（Ⅱ）设二面角的大小为，的最小值．
变式：如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的余弦值。
课后作业
1．已知非零向量a、b，及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是b所在直线平行于α或在α内的(　　)
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．下列说法中不正确的是(　　)
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
3．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是(　　)
A.·＝0　　　B.·＝0
C.·＝0 D.·＝0
4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为(　　)
A.　　　B.　　C.　　 D.
5．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)
A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2
6. 在正三棱柱ABC－A1B1C1，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小(　　)
A．60° B．90°
C．105° D．75°
7．在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是(　　)
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
8．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则(　　)
A．Q为CD的中点
B．Q与D重合
C．Q与C重合
D．以上都不对
9．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝MA，N为BC中点，则等于(　　)
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
10．如图ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
11．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则与的夹角为(　　)
A．30°　 B．45°　 C．60°　D．90°
12．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　)
A．3 　 B．4 　C．5 　　　D．6
13．过二面角α－l－β内一点P作PA⊥α于A，作PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α－l－β为________．
14．若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为________．
15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．
16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________．
17．若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．
18．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.
19．如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．
求证：PQ∥平面ACD.
20已知空间三点A(0,2,3)，B(－2，1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与、垂直，求向量a.
21．如图，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC′上是否存在一点N，使得MN⊥AB′？若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．
22．(2010·重庆)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD＝，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．
第三章综合能力检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中的真命题有(　　)
①＋与＋是一对相反向量
②－与－是一对相反向量
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
④－与－是一对相反向量
A．1个　　B．2个C．3个 D．4个
2．若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是(　　)
A．(a·b)c＝(b·c)a B．a·b＝－|a|·|b|，则a∥b
C．a·c＝b·c，则a∥b D．a·a＝b·b，则a＝b
3．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　)
A．相交　B．垂直C．不垂直 D．成60°角
4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为(　　)
A．(－1,1,1) B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)
C．(－，，) D．(－，，)或(1，－1,1)
5．下面命题中，正确命题的个数为(　　)
①若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2 α∥β；
②若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，b、c是α内两不共线向量a＝λb＋μc，(λ，μ∈R)则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则＝(＋＋)是O为△BCD重心的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
7．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.或
8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF是A1D，AC的公垂线
C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若＝＋x＋y，则x－y等于(　　)
A．0 B．1 C. D．－
10．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C是线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
11．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
12．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)
A.　　　B.　C.　　　D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，则a·c＋b·c＋a·b＝________.
14．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．
15．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．
16．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为______．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A′B′C′，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k(0≤k≤1)，求证：三向量、a、c共面．
18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
19．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1.
(2)求证：AC1∥平面CDB1
(3)求AC1与BC1所成角的余弦值．
20．(本小题满分12分)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面直线AE与PB所成的角．
22．(本小题满分14分)(09·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．
本册综合检测一
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．设直线l1、l2的方向向量分别为a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则直线l1、l2的夹角是(　　)
A．arccos　　　　B．π－arcsin
C．arcsin D．arccos(－)
3．(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A.　　　B．1　　C．2　　　D．4
4．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则ΔPF1F2的面积为(　　)
A．6 B．12 C．12 D．24
5．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B是A的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－3,3] B．[3，＋∞)
C．[0,3] D．(－∞，3]
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　)
①(－)－；②(＋)－；
③(－)－2；④(＋)＋.
A．①②　　B．②③　C．③④　　D．①④
7．(2010·上海)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于(　　)
A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2
10．如图，在正三棱锥P—ABC中，D是侧棱PA的中心，O是底面ABC的中点，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．OD∥平面PBC B．OD⊥PA
C．OD⊥AC D．PA＝2OD
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若＝z＋x＋y，则x＋y＋z的值为(　　)
A．1　　B. C．2 D.
12．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F1，点P在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF1的斜率为(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(1＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．
14．如图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．
15．椭圆＋＝1上有n个不同的点P1，P2，……，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为________．
16．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
18．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
19．(本小题满分12分)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
20．(本小题满分12分)已知条件p：|5x－1|>a和条件q：>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：若A则B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，面A1ACC1⊥面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C，求侧面A1ABB1与底面ABC所成的锐二面角的大小．
22．(本小题满分14分)(2010·安徽)已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
本册综合检测二
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2010·山东)设{an} 是首项大于零的等比数列，则“a1A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
3．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4　　　B．8　　　　
C．8　　D．16
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a、b的夹角的余弦值为，则λ的值为(　　)
A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－
5．若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4，m)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆一共有(　　)
A．0个　　B．1个　C．2个　　D．4个
6．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1 ,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
7．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是(　　)
A．－1 B．2
C．－1或2 D．以上都不是
8．如图双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切C．相离 D．以上情况都有可能
9．(2010·全国卷Ⅰ)已知F1、F2为双曲线C?x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　B．4　C．6　　　D．8
10．对于直线m，n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
11．(08·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A.　　　 B.　C.　　D.
12．“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0无实根”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2010·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为______．
14．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是______．
15．已知ABCD为正方形，P是ABCD所成平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点．
(1)若＝＋x＋y，则x＝________，y＝________；
(2)若＝x＋y＋，则x＝________，y＝________.
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时指出它们的真假．
18．(本小题满分12分)已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3，－4)，(，5)，求双曲线的标准方程．
19．(本小题满分12分)过定点A(3,4)任作互相垂直的两条线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．
20.（2011全国新课标）
如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．（I）证明：；
（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
21．(本小题满分12分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.
(1)求在k＝0,0(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
22．(本题满分14分)(2010·安徽·)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求二面角B－DE－C的大小．
A
P
D
C
B
M
N
A
B
C
E
A1
C1
B1
A
B
C
E
A1
C1
B1
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104期末测试题一
一、选择题 ：(本大题共10小题 ，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入下答题栏内)
1. 命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是( ）.
A．p或q为真 B．p且q为真
C．非p为真 D． 非q为假
2. “”是“”的( ）.
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C．充要条件　D.既不充分也不必要条件
3．抛物线 的准线方程是( ）.
A． B. C． D.
4．已知向量a＝（1，1，－2），b＝，若a·b≥0，则实数x的取值范围为( ）.
A．∪ B.
C．∪ D.
5．双曲线（为常数）的焦点坐标是( ）.
A．B. C． D.
6．已知向量，若向量与向量互相垂直，则的值是( ）.
A． B.2 C． D.
7．下列说法错误的是( ）.
A．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.　
B. 命题“若，则”的否命题是：“若，则”
C．命题：,则
D．特称命题 “，使”是真命题.
8．已知双曲线 －=1的一条渐近线的倾斜角是是,则它的离心率为( ）.
A．2 B. C． D.
9．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( ）.
A． B．
C． D．
10．P为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则│PM│－│PN│的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D． 9
二、填空题:（共6小题，每题3分，共18分）
11. 与命题“若，则”等价的命题是 .
12. 已知A(1，2，－1)关于面 xOz 的对称点为B，则 ．
13．直线与双曲线相交于两点，则=_________．
14．直线L的方向向量＝（-2，3，2），平面的一个法向量,则直线L与平面所成角的正弦值 ．
15．动圆M与相外切，且和直线y=－1相切，则动圆圆心M的轨迹方程是 .
16．命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
三、解答题:
17．已知命题：末位数是0的整数能被5整除。将此命题改写成“若p则q”的形式，写出此命题的否命题、逆命题与逆否命题，并分别指出四种命题的真假。
18．抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4, 4)，焦点为F；
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程。
19. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD的中点．
（1）证明：BD∥面
（2）求BA1与面C1EF所成角的大小．
20．如图，四棱锥中，，底面为直角梯形，，点在棱上，且．
（1）求BC的长
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求二面角的余弦值．
21. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q不重合）。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：
22.（2011安徽）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。
期末测试题二
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则下列不等式能成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆关于直线l对称的圆的方程为，则直线l的方程为( )
A 、y= x+2 B y= x+3 C、 y= –x+3 D 、y= –x–3
4. 若椭圆过点，则其焦距为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 若抛物线的顶点在原点，焦点是双曲线的顶点，则抛物线的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 若不等式，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直线
，下列说法正确的是（ ）
A. 到的角是 B. 到的角是 http://www./Blog/ UserId=997609
C. 到的角是 D. 与的夹角是
9. 已知双曲线，若椭圆N以M的焦点为顶点，以M的顶点为焦点，则椭圆N的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10. 满足不等式的点（x，y）所在的区域应为（ ）
HYPERLINK "http://www./" 11.我国发射的“神舟八号” 宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )
A、 千米 B、千米 C、千米 D、千米
12. 圆心在y轴上，半径为5，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. 或
D. 或 http://www./Blog/ UserId=997609
二. 填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 若直线与直线平行，则系数a的值为________。
14．给出平面区域（如图），若使目标函数：z＝ax＋y（a＞０）取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为 ．
15. 若，且，则三个数的大小关系是_________。
16. 不等式的解集是_____________________。
三. 解答题（本题共74分）
17. （本题满分12分）求过点与圆相切的直线方程。http://www./Blog/ UserId=997609
18．（本题12分）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝3，求＋的最小值．
19. （本题满分12分） 某单位要建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m2，房屋侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5800元。如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？
20.（本题满分12分）
已知双曲线与椭圆在轴上有公共焦点，若椭圆焦距为，它们的离心率是方程的两根，求双曲线和椭圆的标准方程．
21. （本题满分14分） 已知抛物线y2=2px ，在x轴上是否存在一点M，使过M的任意直线l（x轴除外），与抛物线交于A,B两点，且总有∠AOB=900（O为坐标原点）。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
22.（本题12分）
在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
期末测试题三
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2．在△ABC中，（、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（ ）A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
3．有关命题的说法错误的是
A.若为假命题，则p、q均为假命题
B.“=1”是“的充分不必要条件
C.命题“若则=1”的逆否命题为：“若≠1，则”
D.对于命题p:,使得,则
4.已知、为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，A、B、C分别为a、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的范围是(　　)
A.0＜B≤B.0＜B≤ C.0＜B≤D. ＜B＜π
6．等差数列中，，，则此数列前项和等于
A． B． C． D．
7.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在
抛物线的准线上，则双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
8.设变量满足线性约束条件：，则目标函数的最小值为( )
A.8 B.6 C.2 D.
9．已知的等差中项是且则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．对于满足的所有实数p，使不等式都成立的的取值范围A． B．
C． D．（ ）
11．各项为正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值是 （ ）
A. B.
C. D. 或
12．已知是等差数列的前项和且，有下列四个命题：①；②；③；④数列中的最大项为，其中正确命题的序号是( )
Ａ.②③ Ｂ.①② Ｃ.①③ Ｄ.①④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．在ΔABC中，A、B、C是三个内角，C =30°，那么的值是_____________。.
14．在△ABC中，若分别是角A,B,C的对边，,cosC是方程的一根，则的△ABC周长的最小值是 .
15.（2011浙江）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若,则点的坐标是 ．
16（2011福建）三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______。
18.(本小题满分12分)
已知四棱锥P—ABCD中, 平面ABCD, 底面ABCD为菱形, ,
，E、F分别为BC、PD的中点.
(1)求证：平面AFC；
(2)求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值。
19.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中有两定点，，若动点M满足
，设动点M的轨迹为C。
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线交曲线C于A、B两点, 且弦AB的中点为P, 求直线l的方程
和以弦AB为直径的圆的方程.
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