2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级上学期期中数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）中华民族文化底蕴深厚，人民生活健康向上，下面的四幅简笔画是从人民群众的文化活动中抽象出来的图形，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a?5a＝15a B．a3?a4＝a12 C．（a2）3＝a5 D．a7÷a5＝a2
3．（3分）已知点A（3，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，3）
4．（3分）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．﹣a2+b2
5．（3分）等腰三角形两边长是3和4，则其周长为（　　）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上答案都不正确
6．（3分）已知a2+4a+m是完全平方式，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
7．（3分）若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（　　）
A．20° B．50° C．80° D．100°
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若△DBC的周长为17，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（　　）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：（11-20题，每小题3分，共30分）
11．（3分）计算：3x2?（﹣2x）3＝　 　．
12．（3分）化简：（2a2）3＝　 　．
13．（3分）若xm＝3，xn＝2，则xm+n＝　 　．
14．（3分）若x+m与x+7的乘积不含x的一次项，则m的值为　 　．
15．（3分）如图△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C＝　 　．
16．（3分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在AC、AB边上，且AD＝BE，连接BD、CE交于点F，则∠DFC＝　 　°．
17．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE＝1，则BC的长为　 　．
18．（3分）已知ab＝7，（a﹣b）2＝8，则（a+b）2＝　 　．
19．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是　 　°．
20．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ABC＝∠DEB＝60°，AC＝13，AE＝BE＝9，则DE＝　 　．
三、解答题：（21--25每题8分，26、27每题10分，共60分.）
21．（8分）计算：
（1）3a（a2﹣2b）；
（2）（2m+n）（m﹣n）．
22．（8分）因式分解：
（1）2am2﹣18an2；
（2）（2a+b）x+（a+2b）x．
23．（8分）先化简，再求值：
（a2b+2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝2．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度．
（1）画出△DEF，使得△DEF与△ABC关于x轴对称；（点D、E、F的对称点分别是A、B、C）
（2）连接AD、CD，并直接写出△ACD的面积．
25．（8分）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．
（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）
26．（10分）如图，点E是四边形ABCD内一点，∠ACB＝∠DCE，CB＝CE，CA＝CD，连接BE、DE．
（1）如图1，求证：AB＝DE；
（2）如图2，延长BE交AD于点F，已知∠BFD﹣∠ACE＝90°，AD＝4，求△ACD的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下连接BD，过E作EG⊥AD于点G，EH⊥AC于点H，若CH＝2EH，EG＝0.5，求△BCD的面积．
27．（10分）已知：点A、C在y轴上，纵坐标分别为a、c，且满足|a+3c|+（a+c﹣2）2＝0，点B在x轴正半轴上，满足∠ABO＝45°．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）点P在线段AB上（点P不与A、B重合），设点P的纵坐标为t，请用含t的式子表示△PCB的面积，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如果x轴上存在一点E，使得△EPC是等腰直角三角形，求点E坐标．
参考答案
一、选择题：（1-10题，每小题3分，共30分，每题只有一个答案）
1．（3分）中华民族文化底蕴深厚，人民生活健康向上，下面的四幅简笔画是从人民群众的文化活动中抽象出来的图形，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a?5a＝15a B．a3?a4＝a12 C．（a2）3＝a5 D．a7÷a5＝a2
解：A、3a?5a＝15a2，故原题计算错误；
B、a3?a4＝a7，故原题计算错误；
C、（a2）3＝a6，故原题计算错误；
D、a7÷a5＝a2，故原题计算正确；
故选：D．
3．（3分）已知点A（3，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，3）
解：点A（3，2）关于x轴的对称点B的坐标为（3，﹣2），
故选：A．
4．（3分）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．﹣a2+b2
解：A、a2+（﹣b）2，无法分解因式，不合题意；
B、a2+b2，无法分解因式，不合题意；
C、﹣a2﹣b2，无法分解因式，不合题意；
D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），符合题意；
故选：D．
5．（3分）等腰三角形两边长是3和4，则其周长为（　　）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上答案都不正确
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长＝3+3+4＝10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长＝3+4+4＝11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故选：C．
6．（3分）已知a2+4a+m是完全平方式，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
解：∵a2+4a+m是完全平方式，
∴m＝22＝4．
故选：A．
7．（3分）若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（　　）
A．20° B．50° C．80° D．100°
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2＝50°．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若△DBC的周长为17，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+CD＝AC，
∵△DBC的周长为17，AC＝10，
∴BC＝17﹣10＝7．
故选：B．
9．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（　　）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．
解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
二、填空题：（11-20题，每小题3分，共30分）
11．（3分）计算：3x2?（﹣2x）3＝　﹣24x5　．
解：原式＝3x2?（﹣8x3）
＝﹣24x5，
故答案为：﹣24x5．
12．（3分）化简：（2a2）3＝　8a6　．
解：（2a2）3＝23?a2×3＝8a6．
13．（3分）若xm＝3，xn＝2，则xm+n＝　6　．
解：xm?xn＝xm+n＝3×2＝6，
故答案为：6．
14．（3分）若x+m与x+7的乘积不含x的一次项，则m的值为　﹣7　．
解：（x+m）（x+7）
＝x2+mx+7x+7m
＝x2+（m+7）x+7m．
∵若x+m与x+7的乘积不含x的一次项，
∴m+7＝0，
∴m＝﹣7．
故答案为：﹣7．
15．（3分）如图△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C＝　35°　．
解：∵AB＝AD，∠BAD＝40°，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即40°+∠C+∠C+70°＝180°，
解得∠C＝35°．
故答案为：35°．
16．（3分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在AC、AB边上，且AD＝BE，连接BD、CE交于点F，则∠DFC＝　60　°．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠CBE＝∠BAD＝60°，BC＝BA．
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠ABD＝∠BCE．
∵∠DFC＝∠BCE+∠FBC，
∴∠ABD+∠FBC＝∠BCE+∠FBC＝60°，
∴∠DFC＝60°．
故答案为：60．
17．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE＝1，则BC的长为　6　．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵将△ABC折叠，使得点B与点A重合，
∴∠DAE＝30°，AD＝BD，
∵DE＝1，
∴AD＝，
∴AB＝2，
∴AH＝＝，
∴BH＝AH＝＝3，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BC＝2BH＝6，
故答案为：6．
18．（3分）已知ab＝7，（a﹣b）2＝8，则（a+b）2＝　36　．
解：∵ab＝7，（a﹣b）2＝8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝8+28＝36．
故答案为：36．
19．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是　50或130　°．
解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：50或130．
20．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ABC＝∠DEB＝60°，AC＝13，AE＝BE＝9，则DE＝　5　．
解：延长ED至F，使BE＝EF，在BD上取点G，使FG＝FD．
∵∠BEF＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠FBE＝∠BFE＝60°，BF＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠FBD＝∠EBC，
∵AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
设∠A＝∠ABE＝x，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝120°﹣x，
∠BDE＝180°﹣∠ABE﹣∠BED＝180°﹣60°﹣x＝120°﹣x，
∴∠C＝∠BDE，
∵FG＝FD，
∴∠FDG＝∠FGD，
∵∠FDG+∠BDE＝180°，∠FGD+∠BGF＝180°，
∴∠BGF＝∠BDE，
∴∠C＝∠BGF，
在△BGF和△BCE中，
，
∴△BGF≌△BCE（AAS），
∴GF＝CE，
∵AC＝13，AE＝9，
∴CE＝13﹣9＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝9﹣4＝5．
故答案为：5．
三、解答题：（21--25每题8分，26、27每题10分，共60分.）
21．（8分）计算：
（1）3a（a2﹣2b）；
（2）（2m+n）（m﹣n）．
解：（1）原式＝3a3﹣6ab；
（2）原式＝2m2﹣2mn+mn﹣n2
＝2m2﹣mn﹣n2．
22．（8分）因式分解：
（1）2am2﹣18an2；
（2）（2a+b）x+（a+2b）x．
解：（1）2am2﹣18an2
＝2a（m2﹣9n2）
＝2a（m+3n）（m﹣3n）；
（2）（2a+b）x+（a+2b）x
＝x（2a+b+a+2b）
＝x（3a+3b）
＝3x（a+b）．
23．（8分）先化简，再求值：
（a2b+2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝2．
解：（a2b+2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），
＝a2+2ab﹣b2﹣（a2﹣b2）
＝a2+2ab﹣b2﹣a2+b2
＝2ab，
当a＝1，b＝2时，
原式＝4．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度．
（1）画出△DEF，使得△DEF与△ABC关于x轴对称；（点D、E、F的对称点分别是A、B、C）
（2）连接AD、CD，并直接写出△ACD的面积．
解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）S△ACD＝＝3．
25．（8分）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．
（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．
由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴AD＝，
∵AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE＝，
∴BD＝DE，
即△BDE为等腰三角形，
同理△DEC为等腰三角形．
∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
∴DE∥BC，
∴∠EBC＝∠DEB＝30°，
同理∠BCD＝∠EDC＝30°，
∴FB＝FC，DF＝EF．
即△DEF和△BFC都为等腰三角形．
26．（10分）如图，点E是四边形ABCD内一点，∠ACB＝∠DCE，CB＝CE，CA＝CD，连接BE、DE．
（1）如图1，求证：AB＝DE；
（2）如图2，延长BE交AD于点F，已知∠BFD﹣∠ACE＝90°，AD＝4，求△ACD的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下连接BD，过E作EG⊥AD于点G，EH⊥AC于点H，若CH＝2EH，EG＝0.5，求△BCD的面积．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）如图，设AC，BF的交点为H，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCE＝∠ACD，
又∵CB＝CE，CA＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB＝＝＝∠CAD＝∠CDA，
∵∠BFD＝∠CAD+∠AHF，∠AHF＝∠ACE+∠BEC，
∴∠BFD＝∠CAD+∠ACE+∠BEC，
又∵∠BFD﹣∠ACE＝90°，
∴∠CAD+∠BEC＝90°，
∴∠CAD＝∠BEC＝45°，
∴∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝45°，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴△BCE，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝4，
∴AC＝CD＝2，
∴△ACD的面积＝×2×2＝4；
（3）如图3，过点E作EN⊥CD于N，过点B作BM⊥CD交DC的延长线于M，
∵EH⊥AC，∠ACD＝90°，
∴EH∥CD，
又∵EN⊥CD，HC⊥CD，
∴CH＝EN＝2EH，
∵S△ACD＝S△ACE+S△CDE+S△ADE，
∴4＝×2×EH+×2×2EH+×4×0.5，
∴EH＝，
∵∠BCM+∠BCH＝90°＝∠BCH+∠ECH，
∴∠BCM＝∠ECH，
在△BCM和△CEN中，
，
∴△BCM≌△CEN（AAS），
∴BM＝EH＝，
∴△BCD的面积＝×2×＝1．
27．（10分）已知：点A、C在y轴上，纵坐标分别为a、c，且满足|a+3c|+（a+c﹣2）2＝0，点B在x轴正半轴上，满足∠ABO＝45°．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）点P在线段AB上（点P不与A、B重合），设点P的纵坐标为t，请用含t的式子表示△PCB的面积，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如果x轴上存在一点E，使得△EPC是等腰直角三角形，求点E坐标．
解：（1）∵|a+3c|+（a+c﹣2）2＝0，
又∵|a+3c|≥0，（a+c﹣2）2≥0，
∴，
∴，
∴A（0，3），C（0，﹣1），
∴OA＝3，OC＝1，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝OB＝3，
∴B（3，0）．
（2）如图1中，过点P作PH⊥AC于H．
∵点P的纵坐标为t，PH⊥AO，
∴∠AHP＝90°，OH＝t，AH＝3﹣t，
∵∠PAH＝45°，
∴∠PAH＝∠APH＝45°，
∴PH＝AH＝3﹣t，
∴S△PCB＝S△ACB﹣S△PAC＝×4×3﹣×4×（3﹣t）＝2t．
（3）如图2﹣1中，当∠PEC＝90°，EP＝EC时，过点P作PT⊥OB于T．
∵∠PTE＝∠EOC＝∠PEC＝90°，
∴∠PET+∠OEC＝90°，∠OEC+∠OCE＝90°，
∴∠PET＝∠ECO，
∵EP＝EC，
∴△PTE≌△EOC（AAS），
∴OC＝ET＝1，OE＝PT，
∵∠PBT＝∠BPT＝45°，
∴PT＝BT，
∴OE＝BT，
∴OT＝BE＝1，
∴OE＝OT+TE＝2，
∴E（2，0）．
如图2﹣2中，当∠CPE＝90°，PC＝PE时，过点P作PT⊥OB于T，PG⊥OA于G．
同法可证，△PTE≌△PGC（AAS），
∴PG＝PT，CG＝ET，
∵∠PBT＝∠BPT＝45°，
∴PT＝BT，
∵∠PGO＝∠GOT＝∠POT＝90°，
∴四边形PGOT是矩形，
∴PG＝OT＝BT＝，
∴ET＝CG＝，
∴OE＝OT+TE＝4，
∴E（4，0）．
如图2﹣3中，当∠ECP＝90°，CE＝CP时，过点P作PG⊥OA于G，同法可得，E（﹣3，0）．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（2，0）或（4，0）或（﹣3，0）．