冀教版数学八上 期末总复习 高频考点专项训练01 分式和分式方程 轴对称和中心对称（附解析）

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专项训练01
分式和分式方程
轴对称和中心对称
一、选择题
1．如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1
B．x＞﹣1
C．全体实数
D．x＝﹣1
2．不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（　　）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3．如图所示，△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝9，AB的垂直平分线交BC于点D，则△ACD的周长是（　　）
A．11
B．14
C．15
D．20
4．计算a÷×的结果是（　　）
A．a
B．a2
C．
D．
5．如果正数x、y同时扩大10倍，那么下列分式中值保持不变的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．4张扑克牌如图1所示放在桌子上，小明将其中一张旋转180°后得到如图2所示，那么他所旋转的牌从左起是（　　）
A．第一张
B．第二张
C．第三张
D．第四张
7．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（　　）
解分式方程：，
解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2…①
x﹣3+x＝x﹣2…②
x+x﹣x＝﹣2+3…③
x＝1…④
经检验：x＝1是原方程的解
A．①②
B．②④
C．①③
D．③④
8．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（　　）
A．1种
B．2种
C．4种
D．无数种
9．下列四个图案中，既可以用旋转来分析整个图形的形成过程，又可以用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．甲乙丙丁四个同学玩接力游戏，合作完成一道分式计算题，要求每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如下所示，接力中出现错误的是（　　）
＝
甲
＝乙
＝x﹣3﹣（x+1）丙
＝﹣2丁
A．只有乙
B．甲和丁
C．丙和丁
D．乙和丁
11．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2400元
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（　　）
A．2cm、2cm、2cm
B．3cm、3cm、3cm
C．4cm、4cm、4cm
D．2cm、3cm、5cm
二、填空题
13．如图，M为矩形纸片ABCD的边AD的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处．若∠A1MD1＝40°，则∠BMC的度数为　
　．
14．若关于x的分式方程＝﹣2有非负数解，则a的取值范围是　
　．
15．，则A、B的值为　
　．
16．如图是两张全等的图案，它们是轴对称图形，其中的三角形是正三角形，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转　
　度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
17．如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为　
　．
18．已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝…yn＝，请计算y2018＝　
　．（用含x的代数式表示）
三、解答题
19．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a、b满足式子|a﹣2|+（b﹣）2＝0．
20．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
21．如图所示，在△ABC中，D为AB边的中点，AC＝4，BC＝6．
（1）作出△CDB关于点D成中心对称的图形；
（2）求CD的取值范围．
22．OM和ON是两条公路，点A和点B是两个村镇，现要修建一座加油站P（P在∠MON内部），要求加油站P到公路OM和ON的距离相等，同时要求到村镇A和B的距离也相等，请用尺规作图法作出点P的位置（保留作图痕迹，不写作图过程）．
23．佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
24．小学我们在学习分数加减法时，有这样的一种简便算法：
例如：在计算+++…+的值时，我们通常会逆用分数加减法法则，即＝1﹣…，这样，原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，从而达到简便运算的目的，请类比分数的简便运算，解决下面问题：
（1）计算：++；
（2）一个容器装有一升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升水的，第3次倒出的水量是升水的，第4次倒出的水量是升水的，…第n次倒出的水量是升水的，…按照这种倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？
25．如图①﹣③所示，在△ABC中，BD平分∠ABC．
（1）如图①，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求证：BD垂直平分EF．
（2）如图②，当有一点G从D点向B点运动时，GE⊥AB于E，GF⊥BC于F，此时（1）中的结论是否成立？请证明；
（3）如图③，当G点沿BD方向从D点沿BD延长线运动时，GE⊥AB于E，GF⊥BC（或其延长线）于F，此时（1）中的结论是否成立，不需证明．
试题解析
1．解：由题意可知：x+1≠0，
x≠﹣1，
故选：A．
总结：本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．解：如图所示：是中心对称图形．
故选：B．
总结：此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．
3．解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC＝14，
故选：B．
总结：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．解：a÷×
＝a××
＝．
故选：C．
总结：此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．解：A、，故A错；
B、，故B错；
C、，故C错；
D、＝原式，故D正确．
故选：D．
总结：此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．
6．解：图一中第一、二、三张扑克牌旋转180度后，其中的六个图形不能和原来的图形重合，而第四张旋转180度后正好与原图重合．
故选：D．
总结：本题考查的是中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
7．解：根据等式基本性质的是①③，
故选：C．
总结：此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．解：∵正方形是中心对称图形，
∴经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，
则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，
故选：D．
总结：本题考查的是中心对称，掌握正方形是中心对称图形以及中心对称图形的性质是解题的关键．
9．解：图形1可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形2可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形4不可以旋转得到，只可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．
故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有3个．
故选：C．
总结：考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应角相等．
10．解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝，
因此出现错误的是丙和丁．
故选：C．
总结：本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
11．解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：
，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
总结：考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
12．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×6×8＝OF×10+OE×6+OD×8，
∴5x+3x+4x＝24，
∴x＝2，
即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2．
故选：A．
总结：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了勾股定理．
13．解：∵∠A1MD1＝40°，
∴∠A1MA+∠DMD1＝180°﹣40°＝140°，
根据折叠的性质，得∠A1MB＝AMB，∠D1MC＝∠DMC，
∴∠BMC＝140°×+40°＝110°．
故答案为：110°．
总结：此题主要是根据折叠得到相等的角，结合平角定义进行求解．
14．解：分式方程去分母得：2x＝3a﹣4（x﹣1），
移项合并得：6x＝3a+4，
解得：x＝，
∵分式方程的解为非负数，
∴≥0且﹣1≠0，
解得：a≥﹣且a≠．
故答案为：a且a．
总结：此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x﹣1≠0这个隐含条件．
15．解：+＝＝，
可得A（x﹣2）+B＝Ax+B﹣2A＝x+3，即A＝1，B﹣2A＝3，
解得：A＝1，B＝5，
故答案为：1，5
总结：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．解：正三角形要想变成和正偶数边形有关的多边形，边数最少也应是6边形，而六边形的中心角是60°，所以至少旋转60°角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
总结：注意：在讨论正多边形的对称性的时候，所有的正多边形都是轴对称图形，只有偶数边的正多边形同时是中心对称图形．
17．解：∵△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，
∴∠FBQ＝∠EBP＝30°，
∴在直角△BFQ中，BQ＝BF?cos∠FBQ＝2×＝，
又∵QF是BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2．
∵直角△BPE中，∠EBP＝30°，
∴PE＝BP＝．
故答案是：．
总结：本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形的性质和三角函数，正确求得BQ的长是关键．
18．解：∵y1＝，
∴y2＝＝＝，
y3＝＝＝2﹣x，
y4＝＝，
∴这列式子的结果以，，2﹣x为周期，每3个数一循环，
∵2018÷3＝672…2，
∴y2018＝y2＝，
故答案为：．
总结：本题主要考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及数列的循环规律．
19．解：÷（a﹣），
＝÷，
＝?，
＝，
∵|a﹣2|+（b﹣）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣＝0，
解得a＝2，b＝，
所以，原式＝＝2+．
总结：本题考查了分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
20．解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
总结：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．解：（1）如图所示，△ADE即为所求；
（2）由中心对称的性质可得CD＝DE＝CE，AE＝BC，
∵AC＝4，BC＝6，
∴6﹣4＜CE＜6+4，
即2＜CE＜10，
∴1＜CD＜5．
总结：本题考查了旋转变换的性质，三角形的三边关系，根据中心对称的性质找出点B、C的对称点是解题的关键．
22．解：作∠MON的平分线OC，连接AB，作线段的垂直平分线与OC交于点P，则点P加油站．
总结：本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是这里玩基本知识，属于中考常考题型．
23．解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，
依题意，得：＝（1﹣10%），
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60．
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．
总结：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．解：（1）原式＝
＝；
（2）不论倒水的次数n有多大，水是倒不完的，
∵倒n次水的总量为，
∴倒n次水的总量小于1，水是倒不完的．
总结：此题考查分式的加减法，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．
25．证明：（1）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∵DE＝DF，
∴BD⊥EF，且平分EF，
即BD垂直平分EF．
（2）BD垂直平分EF．
∵BD是∠ABC的平分线，GE⊥AB于E，GF⊥BC于F，
∴GE＝GF，
在Rt△BGF和Rt△BGE中，
，
∴Rt△BGF≌Rt△BGE（HL），
∴BE＝BF，
∴BD⊥EF，且平分EF，
即BD垂直平分EF．
（3）此时（1）中的结论仍然成立．
BD垂直平分EF．
∵BD是∠ABC的平分线，GE⊥AB于E，GF⊥BC于F，
∴GE＝GF，
在Rt△BGF和Rt△BGE中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△BGE（HL），
∴BE＝BF，
∴BD⊥EF，且平分EF，
即BD垂直平分EF．
总结：此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，利用三线合一是解决问题的关键．
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精品试卷·第
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