冀教版数学八上 期末总复习 高频考点专项训练02 实数和二次根式（附解析）

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高频考点专项训练02
实数和二次根式
一、选择题
1．的立方根是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．带根号的数是无理数
B．无限小数都是无理数
C．无理数不能写成分数
D．不能在数轴上表示的数是无理数
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜
B．x≤
C．x＞
D．x≥
4．下列各式正确的是（　　）
A．＝±4
B．±＝4
C．＝﹣4
D．＝﹣3
5．估算﹣2的值的范围是（　　）
A．在1，2之间
B．在2，3之间
C．在3，4之间
D．在4，5之间
6．下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
7．下列说法错误的是（　　）
A．0.350是精确到0.001的近似数
B．3.80万是精确到百位的近似数
C．近似数26.9与26.90表示的意义相同
D．近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205
8．化简二次根式（a＜0）得（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
9．当是有理数时，一定有（　　）
A．N是负有理数
B．N是一个非正数
C．N是完全平方数
D．N是一个完全平方数的相反数
10．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：﹣﹣的结果是（　　）
A．1﹣a
B．﹣a﹣1
C．a﹣1
D．a+1
11．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（　　）
A．（2﹣）
B．（2﹣）2
C．2
D．2（2﹣）
12．若a＝1﹣，b＝﹣，则a与b的关系是（　　）
A．互为相反数
B．相等
C．互为倒数
D．互为有理化因式
二、填空题
13．已知5是x+8的算术平方根，则x＝　
　．
14．将化为最简二次根式的结果为　
　．
15．已知无理数1+2，若a＜1+2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为　
　．
16．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝　
　．
17．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行sm，一般地有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s＝12m，则这辆汽车刹车前的速度v＝　
　km/h．
18．规定运算：a☆b＝﹣，a※b＝+，其中a，b为实数，则（3☆5）（3※5）＝　
　．
三、解答题
19．计算：
（1）×﹣（）﹣2+|1﹣|；
（2）（3﹣2+）÷；
（3）﹣；
20．已知+＝b+8．
（1）求a、b的值；
（2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根．
21．嘉琪准备完成题目“计算：（■）﹣（）”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，他把“■”处的数学猜成3，请你计算（3）﹣（）．
22．（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．
（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）
23．利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；
例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．
请你参考黑板中老师的讲解，运用平方差公式简便计算：
（1）×；
（2）（2018+2018）（﹣）．
24．课堂上，老师出了一道题，比较与的大小．
小明的解法如下：
解：﹣＝＝，因为42＝16＜19，所以＞4，所以﹣4＞0．
所以＞0，所以＞，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：
①若a﹣b＞0，则a　
　b；
②若a﹣b＝0，则a　
　b；
③若a﹣b＜0，则a　
　b．
（2）利用上述方法比较实数与的大小．
25．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为900m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，球场的四周必须至少留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
26．先阅读，后解答：
像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1）的有理化因式是　
　；的有理化因式是　
　．
（2）将下列式子进行分母有理化：
①＝　
　；②＝　
　．
③已知，比较a与b的大小关系．
（3）观察下列各式，﹣，，，…
①化简以上各式，并计算出结果；
②以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果；
③用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
试题解析
1．解：的立方根是为．
故选：C．
总结：本题考查了立方根：熟练掌握立方根的定义，一个实数的立方根只有一个．
2．解：A、开方开不尽的数为无理数，故本选项错误；
B、无限不循环小数都是无理数，故本选项错误；
C、分数不是无理数，故本选项正确；
D、无理数可以在数轴上表示，故本选项错误．
故选：C．
总结：本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得x≥．
故选：D．
总结：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．解：A、＝4，故本选项错误；
B、＝±4，故本选项错误；
C、＝4，故本选项错误；
D、正确；
故选：D．
总结：本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根．
5．解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴3﹣2＜﹣2＜4﹣2，
即1＜﹣2＜2，
故选：A．
总结：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．解：A、＝3，和3不是同类二次根式，故本选项错误；
B、＝2，＝3，故和是同类二次根式，故本选项正确；
C、＝3，与不是同类二次根式，故本选项错误；
D、＝，与不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：B．
总结：本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
7．解：A、0.350是精确到0.001的近似数，所以A选项的说法正确；
B、3.80万是精确到百位的近似数，所以B选项的说法正确；
C、近似数26.9精确到十分位，26.90精确到百分位，所以C选项的说法错误；
D、近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205，所以D选项的说法正确．
故选：C．
总结：本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
8．解：当a＜0时，b≤0，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
总结：本题主要考查了二次根式的化简，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
9．解：A、N不一定是负有理数，例如N＝0，故选项错误；
B、N不仅是一个非正数，故选项错误
C、N是完全平方数，例如N＝4，被开方数为负数，根式没有意义，故选项错误；
D、N是一个完全平方数的相反数，被开方数为正数，且﹣N为完全平方数，故选项正确．
故选：D．
总结：本题考查的知识点为：一个数的算术平方根是有理数，那么这个数是完全平方数．
10．解：由数轴可得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
则﹣﹣＝﹣a﹣b﹣（1﹣b）
＝﹣a﹣1．
故选：B．
总结：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
11．解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，
∴两个正方形的边长分别是
2，，
∴阴影部分的面积＝（2﹣）×＝2﹣2．
故选：A．
总结：本题要能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长．
12．解：b＝﹣＝﹣（﹣1）＝﹣+1，
而a＝1﹣，
所以a＝b．
故选：B．
总结：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
13．解：∵5是x+8的算术平方根，5是25的算术平方根，
∴x+8＝25，
∴x＝17，
故答案为：17．
总结：本题考查了算术平方根的定义，熟记算术平方根的定义是解题的关键．
14．解：原式＝＝，
故答案为：；
总结：本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
15．解：∵1＜＜2，
∴4＜1+2＜5，
∴a＝4，b＝5，
∴ab＝20．
故答案为：20．
总结：此题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是本题的关键，是一道基础题．
16．解：根据题意可得，
解得：a＝5、b＝，
则a+b＝，
故答案为：．
总结：本题主要考查同类二次根式，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．
17．解：把s＝12m代入s＝，得
＝12，
所以v2＝3600，
所以v＝60（负值舍去），
故答案为：60．
总结：本题考查的是算术平方根．掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根是解题的关键．
18．解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣）×（+）＝3﹣5＝﹣2，
故答案为：﹣2
总结：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．解：（1）原式＝﹣4+﹣1
＝﹣4+﹣1
＝2﹣5；
（2）原式＝（6﹣+4）÷
＝÷
＝；
（3）原式＝﹣
＝
＝；
（4）去分母得1+（1﹣x）＝﹣3（x﹣2），
解得x＝2，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解．
总结：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式方程．
20．解：（1）由题意得a﹣17≥0，且17﹣a≥0，得a﹣17＝0，
解得a＝17，
把a＝17代入等式，得b+8＝0，
解得b＝﹣8．
答：a、b的值分别为17、﹣8．
（2）由（1）得a＝17，b＝﹣8，
±＝±＝±15，
＝＝＝1．
答：a2﹣b2的平方根为±15，
a+2b的立方根为1．
总结：本题考查了二次根式有意义的条件、平方根、立方根，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
21．解：（3）﹣（）
＝3×﹣×3﹣+4×
＝﹣2﹣+2
＝﹣．
总结：本题考查的是二次根式的加减法，掌握二次根式的性质、二次根式的加减法法则是解题的关键．
22．解：（1）原式＝1
＝﹣3；
（2）去括号，得4x+5≤2x+2
移项合并同类项得，2x≤﹣3
解得x．
总结：此题考查了实数的运算和一元一次不等式的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．解：（1）原式＝（20﹣1）（20+1）＝（202﹣12）＝（400﹣1）＝；
（2）原式＝2018（+）（﹣）＝2018（3﹣2）＝2018．
总结：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
24．解：（1）①若a﹣b＞0，则a＞b；
②若a﹣b＝0，则a＝b；
③若a﹣b＜0，则a＜b．
故答案为：＞，＝，＜；
（2）﹣
＝
＝
＝，
∵192＝361＞198，
∴19＞，
∴19﹣＞0．
∴＞0，
∴＞．
总结：考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法．
25．解：设篮球场的宽为x
m，那么长为
x
m，
根据题意，得
x?x＝420，
所以
x2＝225，
因为x为正数，所以：x＝15，
又因为
（x+2）2＝（×15+2）2＝900（m2），
所以能按规定在这块空地上建一个篮球场．
总结：此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题关键．
26．解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是﹣2；
故答案为：，﹣2；
（2）①＝＝；
②＝＝＝3﹣；
故答案为：；3﹣；
③∵a＝＝2﹣，
∴a＝b；
（3）①﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
②由题可得，第5个式子为﹣＝﹣5；
③由题可得，第n个式子为﹣＝﹣n；
证明：左边＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣n，
∴左边＝右边，
∴﹣＝﹣n成立．
总结：本题主要考查了分母有理化的运用，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
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精品试卷·第
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