冀教版数学八上 期末总复习 高频考点专项训练03 全等三角形和特殊三角形（附解析）

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专项训练03
全等三角形和特殊三角形
一、选择题
1．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（　　）
A．两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°
D．内角和等于180°
2．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC＝EC，得△ABC≌△EDC的根据是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
4．下列判断正确的是（　　）
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
5．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长
D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
6．小明在AB＝AC的等腰三角形中，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点D，得到如图所示的图形．则下列结论中一定正确的是（　　）
A．AD＝CD
B．AD＝BD
C．∠ABD＝∠CBD
D．∠BAD＝∠CBD
7．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
8．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，正确结论的个数是（　　）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
9．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3．则AB的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（　　）
A．BD＝CE
B．AD＝AE
C．DA＝DE
D．BE＝CD
11．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，且∠DAE＝45°，现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处，连接DE′和EE′，则下列结论中
①AB⊥DE′②∠ADE＝∠BAE③△AEE′是等腰直角三角形
④AD⊥EE′⑤BD2+CE2＝DE2正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
13．如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
14．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（　　）
A．24米2
B．36米2
C．48米2
D．72米2
15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（　　）
A．44°
B．66°
C．88°
D．92°
二、填空题
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AB，垂足为E，EF交BC于F，BC＝12cm，则EF＝　
　．
17．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（　　）
A．10﹣15
B．10﹣5
C．5﹣5
D．20﹣10
18．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过　
　m．
19．尺规作图：（要求：不写作法，但要保留作图痕迹）
如图，已知∠a和线段a，
求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝∠a，BC边上的中线AD＝a．
20．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线和BC相交于点D，和∠BAC的平分线AE相交于点E，AE和BC相交于点F．求证：DE＝BC．
21．已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF．
三、解答题
22．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC；
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（3）在（2）的前提下，若，，求S△BFD．
23．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由；
（3）若∠BAC＝α，其他条件与（2）相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？
24．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点H
（1）求证：AD＝BE．
（2）连接CH，求证：CH平分∠AHE．
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）．
试题解析
1．解：A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意；
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；
D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意．
故选：B．
总结：本题主要考查了三角形的性质，等腰三角形与直角三角形的性质的区别．
2．解：根据各类三角形的概念可知，A可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：A．
总结：考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．
3．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DCA＝∠2+∠DCA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中
，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
故选：A．
总结：本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是找到证明△ABC和△ECD全等的三个条件，题目比较好，培养了学生运用定理进行推理的能力．
4．解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；
B、30°角没有对应关系，不能成立；
C、如果这个角是直角，此时就不成立了；
D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．
故选：D．
总结：本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．
5．解：A、满足SSA，不能判定全等；
B、AC＝EF不是对应边，不能判定全等；
C、符合SSS，能判定全等；
D、满足AAA，不能判定全等．
故选：C．
总结：本题考查了全等三角形的判定方法，在应用判定方法做题时找准对应关系，对选项逐一验证，而AAA，SSA不能作为全等的判定方法．
6．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，
∴BD＝BC，
∴∠ACB＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠DBC，
故选：D．
总结：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
7．解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
总结：本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△DCB（SAS）；∴①正确；
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠ACD，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠NDC＝∠CAM，
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM＝CN，AM＝DN，∴②正确；
∵△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，
∠ADC＝∠ACD，
∵∠AMC＞∠ADC，
∴∠AMC＞∠ACD，
∴AC＞AM，
即AC＞DN，∴③错误；
故选：B．
总结：本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，
∴CE＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，
设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，
故选：D．
总结：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
10．解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
C、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意；
D、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意．
故选：C．
总结：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD，∠BAE＝∠DAE+∠BAD，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝∠BAE；
（2）∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处，
∴AE＝AE′，∠EAC＝∠DAE′，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAE＝90°，
∴∠DAE′+∠BAE＝90°，
∴△AEE′是等腰直角三角形；
（3）∵∠DAE＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝45°，
∵∠EAC＝∠BAE′，
∴∠DAE′＝∠EAD＝45°，
∵△AEE′是等腰直角三角形，
∴AD⊥EE′，
（4）∵∠C＝∠E′BA＝∠ABD＝45°，
∴∠E′BD＝90°，
∵EC＝E′B，
∴BD2+CE2＝DE2，
∴②③④⑤项正确．
故选：D．
总结：本题主要考查旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形等相关的性质定理，关键在于逐项分析解答，正确的运用相关的性质定理进行分析．
12．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
总结：本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．
13．解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故选：C．
总结：本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEB≌△ADC是本题的关键．
14．解：连接AC，则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．
这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB?BC+AC?DC＝（3×4+5×12）＝36米2．
故选：B．
总结：此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
15．解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，
故选：D．
总结：本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
16．解：如图所示，连接AF，过点A作AD⊥BC，
△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°
∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∠BAF＝∠B＝30°，
又∵AD⊥BC，EF⊥AB，
∴AD＝AB＝AE，
∴△AEF≌△ADF，
∴FD＝EF
∵BC＝12cm，∴CD＝6cm
在Rt△ADC中，AC＝2AD，由勾股定理可得3AD2＝36，AD2＝12
，在Rt△AFD中，AF＝2FD，由勾股定理可得3FD2＝12，解之得，FD＝2cm
∴EF＝2cm．
总结：熟练掌握等腰三角形的性质及判定，能够运用勾股定理求解一些简单的计算问题．
17．解：∵AE＝ED
在Rt△EDC中，∠C＝60°，ED⊥BC
∴ED＝EC
∴CE+ED＝（1+）EC＝5
∴CE＝20﹣10．
故选：D．
总结：本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60度．
18．解：设平板手推车的长度不能超过x米，
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形．
连接EF，与BC交于点G．
∵直角走廊的宽为1.5m，
∴EF＝m，
∴GE＝EF﹣FG＝﹣1（m）．
又∵△CBE为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CG＝2GE＝3﹣2（m）．
故答案为：（3﹣2）．
总结：本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形．
19．解：如图所示：
．
总结：此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法，以及过一点作已知直线的垂线的方法．
20．证明：连接AD．（1分）
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴DA＝DC＝BC．（1分）
∴∠1＝∠C．（1分）
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF＝45°．（1分）
∴∠2＝45°﹣∠1．（1分）
又∵∠3＝∠FAC+∠C
＝45°+∠C，
∵DE⊥BC于点D，
∴∠E＝90°﹣∠3
＝90°﹣（45°+∠C）
＝45°﹣∠C
∴∠2＝∠E．
∴DE＝AD．
∴DE＝BC．
总结：本题考查了直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，是基础题目比较简单．
21．证明：连接AC，
在△ACD和△ACB中，
∵，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACE＝∠ACF，
∵BC＝DC，E，F分别是DC、BC的中点，
∴CE＝CF，
在△ACE和△ACF中，
∵，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF．
总结：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△ACB和△ACE≌△ACF是解题的关键．
22．（1）证明：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM，
∵S△AED＝AE?DF，S△DGC＝CG?DM，
∴＝，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE＝2tcm，CG＝tcm，
∴＝2，
即＝2，
∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC．
（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．
EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t
∴10﹣2t＝4﹣t，
∴t＝6（不合题意，舍去）；
②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．
EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，
∴10﹣2t＝t﹣4，
∴t＝；
综上，t＝．
综上所述当t＝时，△DFE与△DMG全等．
（3）解：∵t＝，
∴AE＝2t＝（cm），
∵DF＝DM，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，
∵AC＝14cm，
∴AB＝（cm），
∴BF＝AB﹣AF＝﹣10＝（cm），
∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝：，S△AED＝28cm2，
∴S△BDF＝（cm2）．
总结：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．
23．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACB＝40°，
∵BD＝BA，
∴，
∵CE＝CA，
∴，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝120°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝50°；
（2）不改变，
设∠CAE＝x°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝x°，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝2x°，
∵在△ABC中，∠BAC＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝80°﹣2x°，
又∵BD＝BA，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（100°+x°）﹣（50°+x°）＝50°；
（3），
∵BD＝BA，
∴，
∴，
∵CE＝CA，
∴，
∴＝．
总结：本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
24．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CH平分∠AHE；
（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AMC＝∠AMC，
∴∠AHB＝∠ACB＝α，
∴∠AHE＝180°﹣α．
总结：本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
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精品试卷·第
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