第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z＝－i2，则z的虚部为( )
A．－1
B．－i
C．0
D．1
2．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
6．设复数z满足(1＋i)z＝i2021，则复数的虚部为( )
A．－
B．
C．i
D．－i
7．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为( )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
8．已知a∈R，复数z＝，若＝z，则a＝( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( )
A．z的虚部为i
B．z的虚部为1
C．z＝－－i
D．z＝＋i
10．已知i为虚数单位，z为复数，则下列叙述不正确的是( )
A．z－为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1
D．2＋3i的虚部为3
11．设f(n)＝n＋n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有( )
A．2
B．0
C．－2
D．1
12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，下列运算正确的是( )
A．(z1＋z2)
z3＝(z1＋z2)
B.z1()＝z1(＋)
C(z1)＝z1(z3)
Dz1＝z2
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2018·江苏，2)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为（
）．
14．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有非零实数根，则实数m＝（
）．
15．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝（
）．
16．设复数z＝(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则在复平面内，复数i对应的点的坐标为（
）．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝，求f(1)＋f(2i)＋f＋f(3i)＋f＋f(4i)＋f的值．
19．(本题满分12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·的值．
20．(本题满分12分)已知复数z＝1－i．
(1)设w＝z(1＋i)－1－3i，求|w|；
(2)如果＝i，求实数a，b的值．
21．(本题满分12分)已知复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ＋i.求：
(1)z1＋z2；
(2)|z1＋z2|的最大值．
22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
PAGE第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z＝－i2，则z的虚部为( C )
A．－1
B．－i
C．0
D．1
[解析] z＝－i2＝1，∴z的虚部为0．
2．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．
故选D．
3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的( C )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 当(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数时，必有a－b＝0，即a＝b，但当a＝b时，(a－b)＋(a＋b)i不一定为纯虚数，例如a＝b＝0时．
4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，所以复数z对应的点Z(4，－2)在第四象限．
5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( C )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i．
6．设复数z满足(1＋i)z＝i2021，则复数的虚部为( A )
A．－
B．
C．i
D．－i
[解析] ∵i4＝1，∴i2021＝(i4)505·i＝i，
∴z＝＝＝
＝＝＋i，
∴＝－i，∴的虚部为－，故选A．
7．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为( B )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0．
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0．
而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2．
因为a1b2＋a2b1＝0?/
a1＝a2，b1＝－b2，
所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?＝a－bi＝a∈R，
所以p4为真命题，故选B．
8．已知a∈R，复数z＝，若＝z，则a＝( B )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
[解析] 复数z＝＝(a－1)－(a＋1)i，由＝z，可知a＋1＝0，即a＝－1．
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( BD )
A．z的虚部为i
B．z的虚部为1
C．z＝－－i
D．z＝＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
∴解得∴z＝＋i.∴z的虚部为1．
10．已知i为虚数单位，z为复数，则下列叙述不正确的是( ABC )
A．z－为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1
D．2＋3i的虚部为3
[解析] 当z为实数时，z－不为纯虚数，A错误；由i2＝－1，知B错误；由共轭复数的定义，知1＋i的共轭复数为1－i，C错误；D正确，故选ABC．
11．设f(n)＝n＋n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有( ABC )
A．2
B．0
C．－2
D．1
[解析] f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0.所以集合中共有－2,0,2这3个元素．
12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1、z2、z3，下列运算正确的是( AB )
A．(z1＋z2)
z3＝(z1][解析] ∵ω1]．
∴A中，左边＝(z1＋z2)3，
右边＝z1＋z2＝(z1＋z2)，左边＝右边，正确．
B中，左边＝z1()＝z1(＋)，右边＝z1＋z1＝z1(＋)，左边＝右边，正确．
C中，左边＝(z1)，右边＝z1(z2)＝z1(z3)，左边≠右边，不正确．
D中，左边＝z1，右边＝z2，左边≠右边，不正确，选AB．
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2018·江苏，2)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为__2__．
[解析] 由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，∴
z的实部为2．
14．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有非零实数根，则实数m＝__1__．
[解析] 设实数根为x0(x0≠0)，
则x＋(2－i)x0＋(2m－4)i＝0，
即(x＋2x0)＋(2m－4－x0)i＝0，
∴，
解得．
15．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝__－4i__．
[解析] 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，
则，∴.∴z＝－4i．
16．设复数z＝(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则在复平面内，复数i对应的点的坐标为__(1，－1)__．
[解析] 因为z＝＝－1＋i，
所以i＝(－1－i)i＝1－i，
其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解析] z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i．
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝，求f(1)＋f(2i)＋f＋f(3i)＋f＋f(4i)＋f的值．
[解析] 设a∈N＋，且a≥2，
∵f(ai)＋f＝＋＝－＝1，
∴所求式＝f(1)＋＋＋＝＋3＝．
19．(本题满分12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·的值．
[解析] (1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋(＋)i，
∵z1＋z2是纯虚数，
∴，解得m＝1．
(2)由(1)知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，∴＝－1－i，
∴z1＝(1＋i)·(－1－i)＝－1－i－i＋＝－－i．
20．(本题满分12分)已知复数z＝1－i．
(1)设w＝z(1＋i)－1－3i，求|w|；
(2)如果＝i，求实数a，b的值．
[解析] (1)∵z＝1－i，所以w＝(1－i)(1＋i)－1－3i＝1－3i．
∴|w|＝．
(2)由题意得z2＋az＋b＝(1＋i)i．
∵z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b＝a＋b－(2＋a)i，
(1＋i)i＝－1＋i，
∴，解得．
21．(本题满分12分)已知复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ＋i.求：
(1)z1＋z2；
(2)|z1＋z2|的最大值．
[解析] (1)z1＋z2＝(cosθ＋i)＋(sinθ＋i)＝sinθ＋cosθ＋2i＝sin(θ＋)＋2i．
(2)|z1＋z2|2＝22＋[sin(θ＋)]2＝4＋2sin2(θ＋)，
∵sin2(θ＋)的最大值为1，
∴|z1＋z2|2有最大值6．
故θ＝＋kπ，k∈Z时，|z1＋z2|max＝．
22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
[解析] (1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，
∴|z1|＝＝2．
(2)解法一：|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
＝．
当sin(θ－)＝1时，
|z－z1|取得最大值，
从而得到|z－z1|的最大值2＋1．
解法二：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．
∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝2＋1．
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