四 柱坐标系与球坐标系简介
课后篇巩固探究
A组
1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为
( )
A.(3,0,0)
B.(0,3,0)
C.(0,0,3)
D.(3,3,0)
解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).
答案B
2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
解析设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.
答案C
3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的( )
A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面
B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面
C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面
D.以原点为球心,半径为3的球面
答案D
4.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为( )
A.2
B.
C.2
D.4
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),
因为(r,φ,θ)=,
所以
即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.
答案A
5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A.
B.
C.
D.
解析由点P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.
答案A
6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是 .?
答案
7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|= .?
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.
答案3
8.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为 ,OM与平面xOy所成的角为 .?
答案2
9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.
解以正方体的顶点O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.
则有O(0,0,0),A,B,
C,D(1,0,0),E,
F,
G.
10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:
P,Q.
(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:
A,B,C.
解(1)设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),
则x1=ρcosθ=cos,y1=ρsinθ=sin,z1=,
故点P的直角坐标为.
设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3,
故点Q的直角坐标为(-2,2,-3).
(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=rsinφcosθ=4sin×cos=4×1×=2,y1=rsinφsinθ=4sinsin=4×1×=-2,z1=rcosφ=4×cos=0,故点A的直角坐标为(2,-2,0).
设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sincosπ=8××(-1)=-4,y2=8sinsinπ=0,z2=8cos=8×=-4.
故点B的直角坐标为(-4,0,-4).
设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0).
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.
解建立如图所示的空间直角坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.
因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.
过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=.
故点M的直角坐标为.
由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,∠ECN=,
故点M的柱坐标为.
B组
1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示( )
A.圆
B.与xOy平面垂直的平面
C.球面
D.与xOy平面平行的平面
答案D
2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有( )
A.φ=
B.θ=
C.φ=
D.θ=
解析由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=.
答案D
3.在柱坐标系中,满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为 .?
解析根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr2h=2π.
答案2π
4.在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为 .?
解析由题意知长方体的长、宽、高分别为8,6,10,则其外接球的半径为5.
故其外接球的体积为×(5)3=.
答案
5.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积.
解过点P作PP'垂直于底面,垂足为P',
因为P,
所以点P'的柱坐标为.
因此圆柱的底面半径为6,高为5.
故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.
6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200
m,每相邻两排的间距为1
m,每层看台的高度为0.7
m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出来.
解以圆形体育场中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.
所以点A的柱坐标为.
7.建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.
分析建系以尽量过最多点为宜,找到相应坐标.
解以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的柱坐标系.
过点A作AA'垂直于平面BCD,垂足为A',连接BA',
则|BA'|=3×,
|AA'|=,∠A'Bx=,
则A,B(0,0,0),C,D.三 简单曲线的极坐标方程
课后篇巩固探究
A组
1.在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是
( )
A.ρ=2
B.θ=
C.ρcos
θ=1
D.ρsin
θ=
解析极坐标为的点的直角坐标为(1,),过该点且与极轴平行的直线的直角坐标方程为y=,其极坐标方程为ρsinθ=,故选D.
答案D
2.极坐标方程sin
θ=(ρ≥0)表示的曲线是( )
A.余弦曲线
B.两条相交直线
C.一条射线
D.两条射线
答案D
3.在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcos
θ=2的距离是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析点A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcosθ=2化为直角坐标方程为x=2.
因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离为3.
答案C
4.若极坐标方程ρ=ρ(θ)满足ρ(θ)=ρ(π-θ),则ρ=ρ(θ)表示的图形( )
A.关于极轴对称
B.关于极点对称
C.关于直线θ=对称
D.不确定
解析由ρ(θ)=ρ(π-θ)可知ρ=ρ(θ)表示的图形关于直线θ=对称.
答案C
5.在极坐标系中,点F(1,0)到直线θ=(ρ∈R)的距离是
( )
A.
B.
C.1
D.
解析因为直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,
即x-y=0,点F(1,0)的直角坐标也为(1,0),
所以点F(1,0)到直线x-y=0的距离为.
答案A
6.两条直线ρsin=2
016,ρsin=2
017的位置关系是 .(填“垂直”“平行”或“斜交”)?
解析两条直线方程化为直角坐标方程分别为x+y=2016,y-x=2017,故两条直线垂直.
答案垂直
7.在极坐标系中,若曲线C1:ρcos
θ=1与C2:ρ=4cos
θ的交点分别为A,B,则|AB|= .?
解析依题意知两条曲线相应的直角坐标方程分别是x=1与x2+y2=4x,而圆x2+y2=4x的圆心坐标是C2(2,0)、半径是2,圆心C2(2,0)到直线x=1的距离为1,因此|AB|=2=2.
答案2
8.在极坐标系中,过点A引圆ρ=4sin
θ的一条切线,则切线长为 .?
解析先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,将点的极坐标转化为直角坐标,再利用解直角三角形求其切线长.圆的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,点A的直角坐标为(0,-4),点A与圆心的距离为|-4-2|=6,所以切线长为=4.
答案4
9.在极坐标系中,直线l的方程是ρsin=1,求点P到直线l的距离.
解点P的直角坐标为(,-1).
直线l:ρsin=1可化为ρsinθ·cos-ρcosθ·sin=1,
即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.
则点P(,-1)到直线x-y+2=0的距离为d=+1.
故点P到直线ρsin=1的距离为+1.
10.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解连接OP,PC,在ρsin=-中,
令θ=0,得ρ=1,
则圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P,
所以圆C的半径
|PC|==1,
于是圆C过极点,
所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
11已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;
(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.
解(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程分别为C:ρ=2,l:ρ(cosθ+sinθ)=2.
(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ)(ρ≠0),(ρ2,θ),则由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=(ρ≠0).
又ρ2=2,ρ1=,
所以=4(ρ≠0).
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0).
B组
1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是
( )
A.两个圆
B.两条直线
C.一个圆和一条射线
D.一条直线和一条射线
解析由(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0),得ρ=1或θ=π,其中ρ=1表示以极点为圆心,半径为1的圆,θ=π(ρ≥0)表示以极点为起点与Ox反向的射线.
答案C
2.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是
( )
A.ρ=2cos
B.ρ=2sin
C.ρ=2cos(θ-1)
D.ρ=2sin(θ-1)
解析如图所示,设圆心C(1,1),P(ρ,θ)为圆上除极点外的任意一点,连接OP,CP,过点C作CD⊥OP于点D.
∵|CO|=|CP|,
∴|OP|=2|DO|.
在Rt△CDO中,∠DOC=|θ-1|,
∴|DO|=cos(θ-1).
∴|OP|=2cos(θ-1),
因此ρ=2cos(θ-1).
∵极点适合上述方程,
∴圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ-1).
答案C
3.在极坐标系中,圆O:ρ2+2ρcos
θ-3=0的圆心到直线ρcos
θ+ρsin
θ-7=0的距离是 .?
解析先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,再由点到直线的距离公式求距离的大小.圆的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4,圆心为(-1,0),直线的直角坐标方程为x+y-7=0,所以圆心到直线的距离为=4.
答案4
4.在极坐标系中,曲线ρ=2sin
θ与ρcos
θ=-1的交点的极坐标为 .(ρ>0,0≤θ<2π)?
解析由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,其直角坐标方程为x2+y2=2y,ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1.
联立解得
点(-1,1)的极坐标为.
答案
5.在极坐标系中,A,B分别是直线3ρcos
θ-4ρsin
θ+5=0和圆ρ=2cos
θ上的动点,则A,B两点之间距离的最小值是 .?
解析由题意得直线的直角坐标方程为3x-4y+5=0,圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,则圆心(1,0)到直线的距离d=,所以A,B两点之间距离的最小值为d-1=-1=.
答案
6.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴、y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标;
(2)设线段MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解(1)由ρcos=1,
得ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y-2=0.
当θ=0时,ρ=2,所以点M的极坐标为(2,0);
当θ=时,ρ=,
所以点N的极坐标为.
(2)因为点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为,所以点P的直角坐标为,
则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈R.
7.求过点A,且极轴到直线l的角为的直线l的极坐标方程.
解如图所示,设M(ρ,θ)是直线l上除点A外的任意一点,连接OM.
∵A,∴|OA|=3,∠AOB=.
由已知得∠MBx=,
∴∠OAB=.∴∠OAM=π-.
又∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中,根据正弦定理,得.
①
∵sin=sin,将sin展开,化简①式得ρ(sinθ+cosθ)=.
显然点A的坐标适合该式.
故过点A且极轴到直线l的角为的直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=.
8.在极坐标系中,从极点O作直线与另一条直线l:ρcos
θ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.
(1)求点P的轨迹的极坐标方程;
(2)设R为l上任意一点,试求|RP|的最小值.
解(方法一)(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ≠0),则点M为(ρ0,θ).
因为|OM|·|OP|=12,
所以ρ0ρ=12,即ρ0=.
因为点M在直线ρcosθ=4上,
所以ρ0cosθ=4,即cosθ=4,ρ=3cosθ.
于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹的极坐标方程.
(2)由于点P的轨迹的极坐标方程为ρ=3cosθ=2×cosθ(ρ>0),
所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉极点).
又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知|RP|的最小值为1.
(方法二)(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,
设点P(x,y)(x>0)为轨迹上的任意一点,
点M(4,y0),由,得y0=(x>0).
又|OM|·|OP|=12,则|OM|2·|OP|2=144,
所以(x2+y2)=144,
整理得x2+y2=3x(x>0),
化为极坐标方程为ρ=3cosθ(ρ>0).
故点P的轨迹的极坐标方程为ρ=3cosθ(ρ>0).
(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).
又点R在直线l:x=4上,所以|RP|的最小值为1.二 极坐标系
课后篇巩固探究
A组
1.在极坐标系中,点(-2,-2)的一个极坐标可以是( )
A.
B.
C.
D.
解析ρ==2,tanθ=1,且点在第三象限,可取θ=,故极坐标可以是.
答案D
2.下列的点在极轴所在直线的上方的是( )
A.(3,0)
B.
C.
D.
解析由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,点在极轴所在直线的下方,点在极轴所在直线的上方,故选D.
答案D
3.将点的直角坐标(-2,2)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是( )
A.(3,4)
B.(4,3)
C.(3,5)
D.(5,6)
解析x=ρcosθ,y=ρsinθ,对选项A来说,x=3cos4<0,y=3sin4<0,满足在第三象限,故选A.
答案A
5.若A,B两点的极坐标分别为A(4,0),B,则线段AB的中点的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意知点A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2).
由ρ2=x2+y2,得ρ=2.
因为tanθ==1,且点(2,2)在第一象限,所以θ=.故线段AB的中点的极坐标为.
答案A
6.在极坐标系中,点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是 .?
解析依题意知所求的点满足ρ=3,θ=,所以所求极坐标是.
答案
7.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,则极坐标M表示的点在第 象限.?
解析由于x=ρcosθ=2016cos=1008,y=ρsinθ=2016sin=-1008,故点(1008,-1008)在第四象限.
答案四
8若点M的极坐标为,则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的直角坐标为 .?
解析∵点M的极坐标为,
∴x=6cos=6×=3,
y=6sin=6×=-3,
∴点M的直角坐标为(3,-3).
故点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).
答案(-3,-3)
9.将下列各点的极坐标化成直角坐标:
(1);(2);(3)(5,π).
解(1)x=·cos=1,y=·sin=1,
所以点的直角坐标为(1,1).
(2)x=6·cos=3,y=6·sin=-3,
所以点的直角坐标为(3,-3).
(3)x=5·cosπ=-5,y=5·sinπ=0,
所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).
10.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
(1)(,3);(2)(-3,0).
解(1)ρ==2,tanθ=.
又因为点在第一象限,所以θ=.
所以点(,3)的极坐标为.
(2)ρ==3,由题易知极角为π,
所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).
11.在极坐标系中,B,D,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).
解由B,D,知|OB|=|OD|=3,极角的终边关于极轴对称.
所以点B,D关于极轴对称.
设点B,D关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=,θ2=,故E,F即为所求.
B组
1.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在( )
A.x轴上
B.y轴上
C.射线Ox上
D.射线Oy上
答案C
2.在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A,B,则顶点C的坐标可能是( )
A.
B.
C.(2,π)
D.(3,π)
解析如图所示,由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.
设点C的极坐标为(ρ,θ),
又|AB|=4,△ABC为等边三角形,
所以ρ=|OC|=2.
因为∠AOC=,所以在[0,2π)内点C的极角θ=或θ=,即点C的极坐标为.
答案B
3.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为 .?
解析∵点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ==2.
又tanθ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=.
因此,点P的极坐标为.
答案
4.如图,点P的极坐标为 .?
解析如图所示,连接OP.
∵OQ是圆的直径,∴∠OPQ=90°.
又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ=.
∴|OP|=|OQ|cos=2×.
故点P的极坐标为.
答案
5.在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P,将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标,并判断M,N,P三点是否在同一条直线上.
解∵点M的极坐标为,
∴点M的直角坐标为,
即为M(1,-).
同理可得点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,).
∵kMN=,kPN=,∴kMN=kPN.
∴M,N,P三点在同一条直线上.
6已知两点的极坐标A,B,求:
(1)A,B两点间的距离;
(2)△AOB的面积;
(3)直线AB与极轴正方向所成的角.
解如图所示,
∵|OA|=|OB|=3,∠AOB=,
∴△AOB为等边三角形.
(1)A,B两点间的距离为3.
(2)△AOB的面积S=×3×3×sin.
(3)直线AB与极轴正方向所成的角为π-.
7.已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,点M是线段PQ的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定|OM|的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.
解以O为极点,OB为极轴建立如图所示的极坐标系.
设P,Q(ρ2,0),M(ρ,θ),则由题意知ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.
因为S△POM=ρρ1sin=4,
S△QOM=ρρ2sinθ=4,
所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sinsinθ=64.
所以ρ2=.当且仅当cos=1,即θ=时,ρ2取到最小值8.
故|OM|的最小值为2.第一讲DIYIJIANG坐标系
一 平面直角坐标系
课后篇巩固探究
A组
1.若点P(-2
015,2
016)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )
A.1
B.-1
C.2
016
D.-2
016
解析因为点P(-2015,2016),所以将其代入y'=,得k=x'y'=-1.
答案B
2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为( )
A.49x2+128y2=1
B.49x2+64y2=1
C.49x2+32y2=1
D.x2+y2=1
解析将伸缩变换代入x'2+8y'2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线C的方程为49x2+128y2=1.
答案A
3.曲线y=sin经过伸缩变换后的曲线方程是( )
A.y'=5sin
B.y'=sin
C.y'=5sin
D.y'=sin
解析由伸缩变换
将其代入y=sin中,
得y'=sin,
即y'=5sin.
答案C
4.已知平面内有一条固定的线段AB,|AB|=4.若动点P满足|PA|-|PB|=3,点O为线段AB的中点,则|OP|的最小值是( )
A.
B.
C.2
D.3
解析以AB的中点O为原点,
AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.
∵2c=4,∴c=2.∵2a=3,
∴a=.∴b2=c2-a2=4-.
∴点P的轨迹方程为=1.
由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.
答案A
5.点(2,3)经过伸缩变换后得到的点的坐标为 .?
解析由伸缩变换公式即变换后的点的坐标为(1,9).
答案(1,9)
6.到直线x-y=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为 .?
解析设动点的坐标为(x,y),则依题意有,整理得x2+6xy-y2=0.
答案x2+6xy-y2=0
7.将椭圆=1按φ:变换后的曲线围成图形的面积为 .?
解析设椭圆=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后对应的点的坐标为P'(x',y'),由φ:将其代入椭圆方程,得=1,即x'2+y'2=1.因为圆的半径为1,所以圆的面积为π.
答案π
8.已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是 .?
解析如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),F.
设C(x,y),则E,
所以kBE=-,kCF=.
由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,
即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2],
整理得2y2=(2x-c)(2c-x).
所以kBE·kCF==-1.
所以BE与CF互相垂直.
答案垂直
9.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,求证:|AC|=|BD|.
证明取BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(-a,h),B(-b,0),
则D(a,h),C(b,0).
所以|AC|=,
|BD|=.
所以|AC|=|BD|.
10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)5x+2y=0;
(2)x2+y2=2.
解(1)由伸缩变换
得
将其代入5x+2y=0,得10x'+6y'=0,
即5x'+3y'=0.
故经过伸缩变换后,直线5x+2y=0变成了直线5x'+3y'=0.
(2)将代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是=2,即=1.
故经过伸缩变换后,圆x2+y2=2变成了椭圆=1.
11.在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.
(1)曲线y=2sin变换为正弦曲线y=sin
x;
(2)圆x2+y2=1变换为椭圆=1.
解(1)将变换后的曲线方程y=sinx改写为y'=sinx'.
设满足题意的伸缩变换为将其代入y'=sinx'得μy=sinλx.
将其即y=sinλx,与原曲线的方程比较系数得
所以满足题意的伸缩变换为
即先使曲线y=2sin上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sinx,再将其纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到正弦曲线y=sinx.
(2)将变换后的椭圆方程=1改写为=1.
设满足题意的伸缩变换为
将其代入=1,
得=1,
即x2+y2=1.
将其与x2+y2=1比较系数得
即
所以满足题意的伸缩变换为
即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到椭圆=1.
B组
1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.正方形、菱形或矩形
解析正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则变换后的图形可能是菱形或正方形;若顶点在象限内,则变换后的图形可能是矩形或正方形.
答案D
2.到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是
( )
A.椭圆
B.抛物线
C.圆
D.直线或圆
解析以两定点A,B所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).设A(-a,0),B(a,0),P(x,y),|PA|=k|PB|.显然当k=1时,点P的轨迹是直线(即线段AB的中垂线);当k≠1,且k≠0时,代入两点间的距离公式化简可知点P的轨迹为圆.
答案D
3.在同一平面直角坐标系中,在伸缩变换φ:的作用下,仍是其本身的点的坐标为 .?
解析设点P(x,y)在伸缩变换φ:的作用下得到点P'(λx,μy),依题意得因为λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1,所以x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案(0,0)
4.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上的一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,则点M的轨迹E的方程是 .?
解析如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.
因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x轴的负半轴上.设M(x,y),
①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4(x≥-1).
②当M在x轴的负半轴上时,y=0(x≤-1).
综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).
答案y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1)
5.已知B村庄位于A村庄的正西方向1
km处,原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l,但在A村庄的西北方向400
m处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100
m内的范围划为禁区.试问,埋设地下管线l的计划需要修改吗?
解以A为坐标原点,正东方向和正北方向分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,0),B(-1000,0).
由W位于A的西北方向及|AW|=400,
得W(-200,200).
由直线l经过点B且倾斜角为90°-60°=30°,得直线l的方程是x-y+1000=0.
点W到直线l的距离为
d=
=500-100()≈114>100,
所以埋设地下管线l的计划不需要修改.
6.圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为,在压缩过程中,圆上的点的横坐标保持不变.
(1)求压缩后的曲线方程.
(2)过圆C上一点P()的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系?
解设圆上一点P(x,y),压缩后的点为P'(x',y'),
则
(1)将其代入x2+y2=4,得(x')2+(2y')2=4,
即x'2+4y'2=4,
则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.
(2)因为点P()满足()2+()2=4,
所以点P在圆上.
故过点P的切线方程为x+y=4,
压缩后变为x'+×2y'=4,即x'+2y'=2,
即压缩后的方程为x+2y=2.
由联立得x2-2x+2=0,
由Δ=8-4×2=0,
得直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.
7.由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6
km处,丙舰在乙舰北偏西30°,两舰相距4
km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远,因此4
s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1
km/s.若甲舰赶赴救援,则行进的方位角应是多少?
解设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.
以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
由题意,得|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=-,线段BC的中点D(-4,),
所以直线PD的方程为y-(x+4).
①
又因为|PB|-|PA|=4,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为=1(x≥2).
②
联立①②,解得点P的坐标为(8,5).
所以kPA=.
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
