【2020-2021学年】冀教版数学八年级第一学期 期末模拟测试卷（三）（附解析）

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2020-2021学年八年级数学第一学期期末模拟测试卷（三）
时间：120分钟
满分：120分
一、选择题（共16小题，1-10题各3分，11-16题各2分，共42分）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D
B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC
D．AC＝BD
3．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，其中|AB|＝|BC|，如果|a|＞|c|＞|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在（　　）
A．点A的左边
B．点A与点B之间
C．点B与点C之间
D．点C的右边
4．计算的结果在（　　）
A．4至5之间
B．5至6之间
C．6至7之间
D．7至8之间
5．下列说法中正确的是（　　）
A．近似数1.70与近似数1.7的精确度相同
B．近似数五百与近似数500的精确度相同
C．近似数4.70×104是精确到百位的数，它有三个有效数字，分别是4，7，0
D．近似数24.30是精确到百位的数，它有三个有效数字，分别是2，4，3
6．三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（　　）
A．3
B．2.4
C．4
D．4.8
7．计算：x（1﹣）÷的结果是（　　）
A．
B．x+1
C．
D．
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
9．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
10．若关于x的方程＝﹣1的解是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2
B．m＞﹣2
C．m＜﹣2且m≠4
D．m＞﹣2且m≠4
11．已知四条线段的长分别为9，5，1，x（x为正整数），用来拼成两个三角形，且AB、CD是其中的两条线段（如图），则x可以取值的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）
A．2
B．2.5或3.5
C．3.5或4.5
D．2或3.5或4.5
13．已知a是的平方根，b＝，c是﹣8的立方根，则a+b﹣c的值为（　　）
A．15
B．15或﹣3
C．9
D．9或3
14．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　）
A．6
B．3
C．2
D．1.5
15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC﹣AD的关系是（　　）
A．2MN＜BC﹣AD
B．2MN＞BC﹣AD
C．2MN＝BC﹣AD
D．MN＝2（BC﹣AD）
16．如图，已知等边△ABC，AB＝2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD＝CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE＝CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP＝60°；④EP＝1中，一定正确的是（　　）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①②④
二、填空题（共3小题，17题3分，18-19题各4分，共11分）
17．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a＝　
　．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　
　．
19．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
（1）如图1，若已经向右摆放了3根小棒，且恰好有∠A4A3A＝90°，则θ＝　
　．
（2）如图2，若只能摆放5根小棒，则θ的范围是　
　．
三、解答题（共7小题，共67分）
20．（8分）化简，求值：÷﹣1，其中a＝﹣．
21．（9分）已知：y＝+﹣9，求xy的立方根．
22．（9分）某服装店春节后进行促销活动，每购买一件某款羽绒衣，客户可优惠40元，若同样用5000元所购买的此款羽绒衣的件数，促销活动后比促销活动前多10%，求这款羽绒衣促销前的售价．
23．（9分）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．
24．（10分）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD＝3m，CD＝8m．
（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处并标为点M，并说明理由；
（2）试用勾股定理有关知识求出最短路程是多少？
25．（10分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
26．（12分）（1）【操作发现】：
如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是　
　．
（2）【类比猜想】：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
（3）【深入探究】
图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论
试题解析
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
解题提示：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
解题提示：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．解：∵|a|＞|c|＞|b|，
∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，
又∵AB＝BC，
∴原点O的位置是在点B、C之间且靠近点B的地方．
故选：C．
解题提示：本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
4．解：
＝
＝2，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
解题提示：本题考查二次根式的混合运算、估算无理数的大小，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法，会估算无理数的大小．
5．解：A中，1.70精确到了百分位，1.7精确到了十分位，精确度不同，错误；
B中，5百精确到了百位，500精确到了个位，精确到的位数不同，错误；
C中，科学记数法中，有效数字的个数，只数前边的数字个数，正确；
D中，应是精确到了百分位，有4个有效数字，错误．
故选：C．
解题提示：近似数精确到了某一位，即看这个数字实际在哪一位；有效数字即从左边不是0的数字起，所有的数字．
6．解：∵三角形三边长分别是3，4，5，
∴32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，
它的最短边上的高为4，
故选：C．
解题提示：本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能得出三角形是直角三角形是解此题的关键．
7．解：原式＝?
＝．
故选：C．
解题提示：此题主要考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题关键．
8．解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，
∴∠BCD＝80°，
∵△EDC≌△ABC，
∴∠DCE＝∠BCA，
∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，
∴∠DCB＝∠ECA，
∴∠ECA＝80°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
故选：A．
解题提示：本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．
9．解：在Rt△ABC中，AB＝，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10
∵AC＝8
∴CE＝AE﹣AC＝2
即CE的长为2
故选：B．
解题提示：此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．
10．解：由方程，解得：x＝
∵解是负数，且x≠﹣2
∴＜0且≠﹣2
∴m＞﹣2且≠4
故选：D．
解题提示：本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．
11．解：根据条件不妨设：AB＝9，CD＝5．而AC，BD中有一个长是1，另一个是x．
作DE∥AB，则AE＝DB．
在△ECD中，三角形的三边关系可得：
x+1+5＞9，且x+1＜9，
即x+1＞4，x＞3，x＜8
解得3＜x＜8
∴x的正整数值为4，5，6，7．
故选：B．
解题提示：通过审题把题目中的条件进行转化，把四条线段转化为同一个三角形的三边关系，是解题的关键．
12．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4（cm），
∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），
若∠BED＝90°，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝（cm），
∴t＝3.5，
当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．
若∠BDE＝90°时，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，
∴∠BED＝30°，
∴BE＝2BD＝2（cm），
∴t＝4﹣2＝2，
当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选：D．
解题提示：此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
13．解：∵a是的平方根，b＝，c是﹣8的立方根，
∴a＝3或﹣3，b＝4，c＝﹣2，
当a＝3，b＝4，c＝﹣2时，a+b﹣c＝3+4﹣（﹣2）＝9，
当a＝﹣3，b＝4，c＝﹣2时，a+b﹣c＝﹣3+4﹣（﹣2）＝3，
则a+b﹣c＝9或3，
故选：D．
解题提示：此题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
14．解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠FCD＝∠ECG．
在△FCD和△ECG中，，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF＝GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG＝DF＝CD＝．
故选：D．
解题提示：本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF＝GE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
15．解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，
连接PM、PN，
∵∠B+∠C＝90°
∴∠P＝90°
∵AD∥BC
∴∠PAD＝∠B，
而M，N分别是AD，BC的中点
∴AM＝MP，BN＝PN
∴∠B＝∠BPN，∠PAD＝∠APM
∴∠APM＝∠BPN
∴P、M、N三点共线
∵M是AD的中点，∠P＝90°
∴PM＝AD
同理：PN＝BC
∵PN﹣PM＝（BC﹣AD）
∴MN＝（BC﹣AD）
∴2MN＝BC﹣AD．
故选：C．
解题提示：本题考查直角三角形的中线定义，关键要懂得：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，解题时还要注意选择适宜的辅助线．
16．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠GCF，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°．
在△DEB和△FGC中，
，
∴△DEB≌△FGC（AAS），
∴BE＝CG，DE＝FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
，
∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；
∴PE＝PG，
∠EDP不一定等于60°，当PD⊥AB时，∠EDP＝60°，故③错误；
∵PG＝PC+CG，
∴PE＝PC+BE．
∵PE+PC+BE＝2，
∴PE＝1．故④正确．
正确的有①②④，
故选：D．
解题提示：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
17．解：∵是最简二次根式，且它与是同类二次根式，而＝4，
∴a+9＝2，
∴a＝﹣7，
故答案为：﹣7．
解题提示：本题主要考查了同类二次根式，判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
18．解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，
解得，x＝10，
∴BD＝10，
∵AB＝，
∴AE＝BE＝AB＝4，
∴DE＝，
∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，
分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，
∴PF＝5，PF∥CD，
∴△APF∽△ADC，
∴，即，
∴；
②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，
∴PG＝5，PG∥AC，
∴△DPG∽△DAC，
∴，即，
∴DP＝，
∴AP＝10﹣，
综上，AP的长为或．
解题提示：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
19．
解：（1）根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠1＝2∠θ，则∠2＝3∠θ，∠3＝4∠θ，
因为∠A4A3A＝90°，
则∠θ＝90°÷4＝22.5°．
（2）由题意得：，
解得15°≤θ＜18°．
故答案为：22.5°；15°≤θ＜18°．
解题提示：本题需先根据已知条件，列出不等式，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．解答：本题主要考查解一元一次不等式、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数等．
20．解：原式＝?﹣1
＝﹣1
＝﹣．
当a＝﹣时，则原式＝﹣2．
解题提示：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
21．解：∵与都有意义，
∴，
解得：x＝3，
则y＝﹣9，
故xy＝﹣27的立方根为：﹣3．
解题提示：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
22．解：设这款羽绒衣促销活动前的售价为x元/件，
由题意得方程：（1+10%）＝．
解得x＝440．
经检验，x＝440是原方程的根．
故这款羽绒衣促销活动前的售价为440元/件
解题提示：本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
23．解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点B作MN∥AC，
∵MN∥AC，
∴∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠MBA+∠ABC+∠NBC＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
（3）∵＝，
∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
解题提示：本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．
24．解：（1）如图，点M即为所求，
∵MA＝MA′，
∴MA+MB＝MA′+MB＝A′B，
∵两点之间线段最短，
∴此时MA+MB即为最小值；
（2）∵AC＝BD＝3m，且AC∥BD，AC⊥CD，
∴四边形ACBD是矩形，
∴AB＝CD＝8m，∠A′AB＝90°，
∵AA′＝6m，
∴A′B＝＝＝10（m），
∴最短路程是10m．
解题提示：本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短及勾股定理的应用．
25．（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG，
（2）解：BE＝CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．
解题提示：本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．
26．解：（1）∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCF﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF＝BD；
（2）结论依然成立．
理由如下：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCF+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF＝BD；
（3）AF+BF′＝AB．
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF，
同理可证，△BCF′≌△DCA（SAS），
∴BF′＝AD，
∴AF+BF′＝AB．
解题提示：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
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精品试卷·第
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