模块综合测评(B)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知点M的极坐标为,下列坐标中不能表示点M的是( )
A.
B.
C.
D.
2.曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上
B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上
D.在直线y=x+1上
3.已知点P的极坐标为(1,π),则过点P且垂直于极轴所在直线的直线方程是( )
A.ρ=1
B.ρ=cos
θ
C.ρ=-
D.ρ=
4.若a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )
A.-2
B.-
C.-3
D.-
5.在极坐标系中,曲线ρ=2cos
θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )
A.-1
B.-1
C.1
D.
6.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos
θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B.2
C.
D.2
7.若曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),则它的普通方程是( )
A.(x-1)2(y-1)=1
B.y=
C.y=-1
D.y=
8.极坐标方程ρ=cos
θ与ρcos
θ=对应的图形是( )
9.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
10.若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=
B.ρ=
C.ρ=cos
θ+sin
θ
D.ρ=cos
θ+sin
θ
11.经过点P(4,3),且斜率为的直线的参数方程为( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
12.已知曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin
=5.设点P,Q分别在曲线C1和C2上运动,则|PQ|的最小值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为 .?
14.参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是 .?
15.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .?
16.若直线(t为参数)与圆x2+y2=36交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为 .?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)参数方程(θ为参数)表示什么曲线?
18.(本小题满分12分)已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与半圆C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin
θ+cos
θ)=3,射线OM:θ=(ρ≥0)与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
20.(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
21.(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρ·cos+6=0,求:
(1)圆的直角坐标方程和参数方程;
(2)在圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值.
22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0)与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.
(1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(2)设当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.模块综合测评(B)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知点M的极坐标为,下列坐标中不能表示点M的是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
2.曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上
B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上
D.在直线y=x+1上
解析由已知得消去参数θ得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).
显然该点在直线y=-2x上.故选B.
答案B
3.已知点P的极坐标为(1,π),则过点P且垂直于极轴所在直线的直线方程是( )
A.ρ=1
B.ρ=cos
θ
C.ρ=-
D.ρ=
解析由点P的坐标可知,过点P且垂直于极轴所在直线的直线的直角坐标方程为x=-1,化成极坐标方程为ρcosθ=-1,故选C.
答案C
4.若a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )
A.-2
B.-
C.-3
D.-
解析不妨设(α为参数),则a+b=cosα+sinα=3sin(α+φ),其中tanφ=.
所以a+b的最小值为-3.
答案C
5.在极坐标系中,曲线ρ=2cos
θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )
A.-1
B.-1
C.1
D.
解析将ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),
则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即-1.
答案A
6.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos
θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B.2
C.
D.2
解析由题意得直线l的普通方程为x-y-4=0,
圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,半径r=2.
则圆心到直线的距离d=,故弦长为2=2.
答案D
7.若曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),则它的普通方程是( )
A.(x-1)2(y-1)=1
B.y=
C.y=-1
D.y=
解析由x=1-,得=1-x.由y=1-t2,得t2=1-y.所以(1-x)2·(1-y)=·t2=1,进一步整理得到y=.
答案B
8.极坐标方程ρ=cos
θ与ρcos
θ=对应的图形是( )
解析把ρcosθ=化为直角坐标方程,得x=.
又圆ρ=cosθ的圆心坐标为,半径为,故选项B正确.
答案B
9.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
解析设点M的直角坐标为(x,y,z),
则x=6sincos=6×,
y=6sinsin=6×=-,
z=6cos=6×=3.
故点M的直角坐标为.
答案B
10.若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=
B.ρ=
C.ρ=cos
θ+sin
θ
D.ρ=cos
θ+sin
θ
解析由x=ρcosθ,y=ρsinθ,y=1-x可得ρsinθ=1-ρcosθ,即ρ=.
再结合线段y=1-x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形,可知θ∈.
因此线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ=.故选A.
答案A
11.经过点P(4,3),且斜率为的直线的参数方程为( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析设倾斜角为α,则倾斜角α满足tanα=,
∴sinα=,cosα=.
∴所求的参数方程为(t为参数).
答案A
12.已知曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin
=5.设点P,Q分别在曲线C1和C2上运动,则|PQ|的最小值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
解析∵可化为=1,
整理可得x2+(y-1)2=2,其图象为圆,且圆心坐标为(0,1),半径为.
∴曲线C1的普通方程为x2+(y-1)2=2.
∵ρsin=5可化为=5,
∴ρsinθ+ρcosθ=5,即x+y=5.
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y=5,其图象为直线.
由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d==2,
∴|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即d-.
故选A.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为 .?
解析由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x+y-1=0,x2+y2=9,进而求出圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=<3,所以所求交点的个数为2.
答案2
14.参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是 .?
解析因为y2=(sinθ+cosθ)2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ=1+x,
又因为x=sin2θ∈[-1,1],
所以曲线的普通方程是y2=x+1(-1≤x≤1).
答案y2=x+1(-1≤x≤1)
15.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .?
解析由题意得曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,故直线l过曲线C的圆心(2,1),则直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.
答案ρ(cos
θ-sin
θ)=1
16.若直线(t为参数)与圆x2+y2=36交于A,B两点,则线段AB中点的坐标为 .?
解析把x=3-t,y=2t代入x2+y2=36中,得t2+3t-15=0.
设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-3.
故线段AB的中点对应的参数为t0=(t1+t2)=×(-3)=-,将t0=-代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)参数方程(θ为参数)表示什么曲线?
解∵x=cosθ·sinθ+cos2θ=,
∴x-.
∵y=sin2θ+sinθcosθ=,
∴y-.
∴
=.
∴原参数方程表示的曲线是圆心为,半径为的圆.
18.(本小题满分12分)已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与半圆C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解(1)由已知得点M的极角为,且点M的极径等于,故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为,A(1,0),
故直线AM的参数方程为
(t为参数).
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin
θ+cos
θ)=3,射线OM:θ=(ρ≥0)与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解(1)圆C的普通方程是(x-1)2+y2=1,
又x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ.
(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有
解得
设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有
解得
由于θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=2,所以线段PQ的长为2.
20.(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上的点(x,y),依题意,得
由=1,得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.
故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,
所求直线的斜率为k=,
于是所求直线的方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得
2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.
21.(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρ·cos+6=0,求:
(1)圆的直角坐标方程和参数方程;
(2)在圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值.
解(1)原方程可化为
ρ2-4+6=0,
即ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.
①
因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以①式可化为x2+y2-4x-4y+6=0,
即(x-2)2+(y-2)2=2.
故所求圆的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
设
所以所求圆的参数方程为(θ为参数).
(2)由(1)可知xy=(2+cosθ)·(2+sinθ)=4+2(cosθ+sinθ)+2cosθ·sinθ=3+2(cosθ+sinθ)+(cosθ+sinθ)2.
令t=cosθ+sinθ,
则t=sin,t∈[-].
所以xy=3+2t+t2=(t+)2+1.
故当t=-时,xy取最小值1;当t=时,xy取最大值9.
22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0)与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.
(1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(2)设当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
解(1)C1是圆,C2是椭圆.
当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0).
因为这两点间的距离为2,所以a=3.
当α=时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b).
因为这两点重合,所以b=1.
(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和+y2=1.
当α=时,射线l与C1的交点A1的横坐标为x=,与C2的交点B1的横坐标为x'=.
当α=-时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,
因此四边形A1A2B2B1为梯形,故四边形A1A2B2B1的面积为.
