模块综合测评(A)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.极坐标方程8ρ=sin
θ表示的曲线是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为
( )
A.y=x-1
B.y=x+1
C.y=x-1(-1≤x≤0)
D.y=x+1(-1≤x≤0)
3.将曲线x2+4y=0作如下变换:则得到的曲线方程为( )
A.x'2=-y'
B.x'=-y'2
C.y'=-x'2
D.y'2=-x'
4.极坐标方程ρ=4cos表示的图形的面积是
( )
A.4
B.4π
C.8
D.8π
5.已知点P1的球坐标是,P2的柱坐标是,则|P1P2|=( )
A.
B.
C.
D.4
6.已知A(4sin
θ,6cos
θ),B(-4cos
θ,6sin
θ),当θ为一切实数时,线段AB的中点的轨迹为( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
7.参数方程(θ为参数)表示的曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.2
8.若点M的极坐标是,则它关于直线θ=的对称点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos
θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=( )
A.
B.5
C.2
D.
10.设曲线C的参数方程为(t为参数),若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为( )
A.ρcos2θ-sin
θ=0
B.ρcos
θ-sin
θ=0
C.ρcos
θ-sin2θ=0
D.cos2θ-ρsin
θ=0
11.已知双曲线C的参数方程为(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①
③(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )
A.①③⑤
B.①⑤
C.①②④
D.②④⑤
12.若动点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为( )
A.
B.
C.+4
D.2b
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是 .?
14.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为 .?
15.将方程(t为参数)化为普通方程是 .?
16.在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆ρ=4sin
θ和直线ρsin
θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,求极点在直线l上的射影的极坐标.
18.(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin
θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin
θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标.
(2)设点P为C1的圆心,点Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R,t为参数),求a,b的值.
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos
θ,θ∈.
(1)求半圆C的参数方程;
(2)设点D在半圆C上,半圆C在点D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的直角坐标.
22.(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,3),底边BC在横轴上,|BC|=2,当BC在横轴上移动时,求:
(1)△ABC外接圆圆心的轨迹的普通方程;
(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为的直线方程.模块综合测评(A)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.极坐标方程8ρ=sin
θ表示的曲线是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
解析方程8ρ=sinθ可化为8x2+8y2-y=0,所以它表示圆.
答案B
2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为
( )
A.y=x-1
B.y=x+1
C.y=x-1(-1≤x≤0)
D.y=x+1(-1≤x≤0)
解析把cos2θ=y代入x=cos2θ-1,得x=y-1,即y=x+1.因为-1≤cos2θ-1≤0,所以-1≤x≤0.
答案D
3.将曲线x2+4y=0作如下变换:则得到的曲线方程为( )
A.x'2=-y'
B.x'=-y'2
C.y'=-x'2
D.y'2=-x'
解析由可得将其代入x2+4y=0得x'2+y'=0,即y'=-x'2.
答案C
4.极坐标方程ρ=4cos表示的图形的面积是
( )
A.4
B.4π
C.8
D.8π
解析因为ρ=4cos=4=4cosθ+4sinθ,所以ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ,即x2+y2=4x+4y,(x-2)2+(y-2)2=8,故方程表示的图形是圆,半径为2,其面积为8π.
答案D
5.已知点P1的球坐标是,P2的柱坐标是,则|P1P2|=( )
A.
B.
C.
D.4
解析点P1的直角坐标为(2,-2,0),点P2的直角坐标为(,1,1),由两点间的距离公式得|P1P2|=.
答案A
6.已知A(4sin
θ,6cos
θ),B(-4cos
θ,6sin
θ),当θ为一切实数时,线段AB的中点的轨迹为( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
解析设线段AB的中点为M(x,y),
则(θ为参数),
所以
消去参数θ,得(3x+2y)2+(3x-2y)2=144,整理得=1,它表示椭圆.
答案C
7.参数方程(θ为参数)表示的曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.2
解析由
所以-x2=1,即曲线为双曲线,其中a=2,b=1,
故c=,e=.
答案B
8.若点M的极坐标是,则它关于直线θ=的对称点的极坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析如图,描点时,先找到角-的终边,因为ρ=-2<0,所以再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点.
直线θ=就是极角为的那些点构成的集合.故点M关于直线θ=的对称点为M',但是选项中没有这样的坐标.又因为点M'还可以表示为,所以选B.
答案B
9.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos
θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=( )
A.
B.5
C.2
D.
解析直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,联立两方程,得解得所以直线l与曲线C的公共点的坐标为(1,2).
所以公共点的极径为ρ=.
答案A
10.设曲线C的参数方程为(t为参数),若以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为( )
A.ρcos2θ-sin
θ=0
B.ρcos
θ-sin
θ=0
C.ρcos
θ-sin2θ=0
D.cos2θ-ρsin
θ=0
解析把曲线C的参数方程化为普通方程是y=x2,把曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程是ρsinθ=ρ2cos2θ.由于曲线经过极点,则极坐标方程可简化为ρcos2θ-sinθ=0.故选A.
答案A
11.已知双曲线C的参数方程为(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①
③(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )
A.①③⑤
B.①⑤
C.①②④
D.②④⑤
解析由双曲线的参数方程知a=3,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,因此其渐近线方程是y=±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件.
答案A
12.若动点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为( )
A.
B.
C.+4
D.2b
解析设动点(x,y)的坐标为(2cosθ,bsinθ),将其代入x2+2y,得4cos2θ+2bsinθ=-+4+,当04时,(x2+2y)max=-+4+=2b.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是 .?
解析将参数方程化为普通方程为y2=4x,它表示开口向右,焦点在x轴正半轴上的抛物线,由2p=4?p=2,则焦点坐标为(1,0).
答案(1,0)
14.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为 .?
解析把直线和椭圆的参数方程分别化为普通方程为l:y=x-a,C:=1.椭圆的右顶点坐标为(3,0),将其代入l的方程得0=3-a,a=3.
答案3
15.将方程(t为参数)化为普通方程是 .?
解析由y==tan2t,将tant=x代入上式,得y=x2,即所求的普通方程为y=x2.
答案y=x2
16.在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆ρ=4sin
θ和直线ρsin
θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .?
解析由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,设圆心为点C,则圆心为C(0,2),半径r=2.
由ρsinθ=a,得直线的直角坐标方程为y=a.
由于△AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心.
设AB的中点为D(如图),连接CB.
则|CD|=|CB|·sin30°=2×=1,
即a-2=1,所以a=3.
答案3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,求极点在直线l上的射影的极坐标.
解把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,
得x+y-4=0,过极点且与l垂直的直线方程为y=x.
由得射影的直角坐标为(1,),
将其化成极坐标为.
故极点在直线l上的射影的极坐标为.
18.(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
解(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,
所以圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,
解得-2≤a≤2.
故实数a的取值范围为[-2,2].
19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin
θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.
解(1)由ρ=2sinθ,
得ρ2=2ρsinθ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
故☉C的直角坐标方程为x2+(y-)2=3.
(2)设P,
又C(0,),
所以|PC|=,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,点P的直角坐标为(3,0).
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin
θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标.
(2)设点P为C1的圆心,点Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R,t为参数),求a,b的值.
解(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为.
(2)由(1)可得,点P与点Q的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1.
所以解得
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos
θ,θ∈.
(1)求半圆C的参数方程;
(2)设点D在半圆C上,半圆C在点D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的直角坐标.
解(1)半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
由此可得半圆C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为半圆C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tant=,t=.
故点D的直角坐标为,
即.
22.(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,3),底边BC在横轴上,|BC|=2,当BC在横轴上移动时,求:
(1)△ABC外接圆圆心的轨迹的普通方程;
(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为的直线方程.
解(1)设B(t-2,0),C(t,0),AC的垂直平分线方程为y=,BC的垂直平分线方程为x=t-1,△ABC的外心为O',
则O'的轨迹方程是(t为参数),
O'的轨迹的普通方程为y=x2+.
(2)过点(0,2)的直线方程为y=kx+2,
联立
消去y,得x2-6kx-4=0.
设该方程的两根是x1,x2,则(x1-x2)2=36k2+16.
所以弦长的平方为(1+k2)(36k2+16)=,
解得k=±.
故所求直线方程为x-2y+4=0或x+2y-4=0.
