3.3.2 均匀随机数的产生
[目标]
1.会求几何概型的概率；2.知道均匀随机数产生的方法及在几何概型中的应用；3.能利用几何概型估计不规则图形的面积．
[重点]
几何概型的概率的求解及几何概型的应用．
[难点]
均匀随机数的产生及应用．
知识点
均匀随机数的产生
[填一填]
1．均匀随机数
如果X是区间[a，b]上的任何一点，且是等可能的，那么称X服从[a，b]上的均匀分布，X称为[a，b]上的均匀随机数．
2．均匀随机数产生的方法
(1)[0,1]上均匀随机数的产生：
①利用计算器产生均匀随机数；②利用计算机产生均匀随机数(主要利用Excel软件)．
(2)[a，b]上均匀随机数的产生：
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND.
然后利用伸缩和平移变换x＝(b－a)x＋a，就可以得到[a，b]上的均匀随机数．
[答一答]
1．X是[a，b]上的均匀随机数的含义是什么？X的取值是连续的，还是离散的？
提示：X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的．
2．随机数的产生还有哪些方法？
提示：随机数的产生还可以通过人工操作．例如，抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时费力．用计算机可产生大量的随机数，又可以自动统计试验结果，同时可以在短时间内多次重复试验，方便快捷．因此，我们现在主要是通过计算器或计算机来产生随机数．
类型一
用随机模拟法估计长度型几何概型的概率
利用均匀随机数进行模拟试验，先要把实际问题转化为可以用随机数模拟试验结果的概率模型，可从以下几个方面考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数．如长度型、角度型(一维)只用一组，面积型(二维)需要用两组．
(2)由所有基本事件对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．
[变式训练1] 在长为14
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，试求正方形的周长介于20
cm与28
cm之间的概率．
类型二
用随机模拟法估计面积型几何概型的概率
[变式训练2] 现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．
解：方法1(利用几何概型的公式)：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的，且结果有无限多个，所以是几何概型．阴影部分的面积为S1＝××＝，又正方形的面积S＝4.∴飞镖落在阴影部分的概率为P＝＝.
方法2(利用随机模拟的方法)：
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1，b1(共N组)．
(2)经过伸缩变换，a＝(a1－0.5)
2，b＝(b1－0.5)
2.
(3)统计出满足不等式b<2a－，即6a－3b>4的数组数N1.
(4)所求概率P≈.
N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，∴≈，S≈即为阴影部分面积的近似值．
利用几何概型的模拟方法可以计算平面不规则图形的面积．其关键是选择合适的对应图形和由几何概型正确计算概率，其实质是几何概型概率公式的逆用，计算机(计算器)的作用是利用随机模拟的方法产生概率的近似值．
[变式训练3] 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝log2x与y轴及y＝±1围成的图形)的面积．
解：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1，b1.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，
∴≈，S≈即为阴影部分面积的近似值．
1．几何概型中的试验结果是( A )
A．无限多个
B．有限个
C．非等可能的
D．不能确定
解析：几何概型中的试验结果有无限多个，故选A.
2．几何概型的随机模拟试验中，得到阴影内的样本点数为N1，试验次数为N，则下列说法正确的是( B )
A．N1与N的大小无关
B.是试验中的频率
C.是试验中的概率
D．N越大，应越小
解析：是试验中的频率，是试验中的概率的近似值．故选B.
3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为.
解析：由3a－1<0，得a<.∵0≤a≤1，∴0≤a<.
根据几何概型知所求概率为＝.
4.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为.
解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设落在阴影区域内为事件A，则事件A构成的区域为阴影部分，设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则P(A)＝，∴＝，即S＝.
5．取一根长为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1
m的概率有多大？
解：方法1：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．
方法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝即为概率P(A)的近似值．
——本课须掌握的两大问题
1．利用随机模拟的方法求概率，其实质是求频率，用频率近似代替概率．其关键是设计好“程序”或者“步骤”，并找到各数据满足的条件，把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．找到随机数的取值范围后，有时需对随机数进行平移、伸缩变换，可以利用解析几何知识，根据两曲线“长度”的方程进行．随着试验次数N的增加，得到的概率近似值的精度会越来越高．
2．在应用均匀随机数进行几何概型的概率计算时，应从以下几方面考虑：
①确定需产生的随机数组，如长度型、角度型(一维)只需产生一组均匀随机数，面积型(二维)需要产生两组均匀随机数，体积型(三维)则需要产生三组均匀随机数；
②由所有基本事件总数(基本事件空间)对应的区域确定产生随机数的范围；
③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
PAGE3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
[目标]
1.了解几何概型与古典概型的区别；2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率．
[重点]
几何概型的特点及概念的理解．
[难点]
应用几何概型的概率公式求概率．
知识点一
几何概型的概念
[填一填]
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
几何概型的特点如下：
(1)无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；
(2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的．
[答一答]
1．古典概型和几何概型有何异同点？
提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．
2．下面两个事件是几何概型吗？
(1)一个人骑车到路口，恰好红灯；
(2)一个人种一颗花生，发芽．
提示：(1)满足无限性和等可能性，是几何概型；(2)种一颗花生所有可能出现的结果只有两种，发芽和不发芽，不满足无限性，发芽与不发芽的概率不相等，不满足等可能性，故不是几何概型．
知识点二
几何概型的概率公式
[填一填]
在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝.
[答一答]
3．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？
提示：几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．
4．概率为0的事件是否一定是不可能事件？
概率为1的事件是否一定会发生？
提示：在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．
类型一
几何概型的判断
[例1] 判断下列概率模型，为几何概型的是________．
①在区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②在区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③在区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4
cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1
cm的概率．
[解析] ①中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]有无限多个点，且区间内每个数被取到的机会相等；②中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③中概率模型不是几何概型，因为在区间[－10,10]内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④中概率模型是几何概型，因为在边长为4
cm的正方形和半径为1
cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等，故满足无限性和等可能性．
[答案] ①②④
判断一个概率模型是否为几何概型，通常只需要考虑所给的试验中基本事件的个数是否是无限的即可，这与古典概型的考查点不一样，同时要注意，基本事件的“等可能性”的判断也是不能忽视的.
[变式训练1] 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由．
(1)明天某个市区降水的概率；
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与之连接，求弦长超过半径的概率．
解：(1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；
(2)是几何概型，因为其具有无限性与等可能性，符合几何概型的特征．
类型二
几何概型的概率计算
命题视角1：“长度型”几何概型
[例2] (1)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
(2)公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．
[分析] 乘客在0～10分钟之间的每一时刻到达，都是一个基本事件，基本事件有无穷多个，而每一个基本事件的发生都是等可能的，符合几何概型的条件．
[解析] (1)由几何概型知：＝?m＝3.
(2)解：乘客在0～10分钟之间的任何一个时刻到达车站是等可能的，因此本题属于几何概型．设事件A为“乘客候车时间不超过6分钟”，汽车每隔10分钟一趟，若事件A发生，则乘客必须在[4,10]时间段内到达汽车站，所以P(A)＝＝.
[答案] (1)3 (2)见解析
解答此类问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解.此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.
[变式训练2] 在区间[－π，π]上随机选取一个实数x，则事件“sinx≥”发生的概率为.
解析：解三角不等式sinx≥在区间[－π，π]的解集为：[，]，设“在区间[－π，π]上随机选取一个实数x，则事件‘sinx≥’”事件为A，则此事件为几何概型中的线段型，则P(A)＝＝.
命题视角2：“角度型”几何概型
[例3] 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM
[解] 在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝＝67.5°.
设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，∴P(A)＝＝.
在解答本题的过程中，易出现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程.
[变式训练3] 如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
解：设事件A为“∠AOC和∠BOC都不小于30°”，
则事件A表示的区域角度为30°，所有可能结果的区域角度为90°，所以P(A)＝＝.
命题视角3：“面积型”几何概型
[例4] (1)已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为________．
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．
[解析] (1)根据几何概型得：取到的点P到M的距离小于1的概率为＝＝＝.
(2)解：在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，
所以P＝＝.
[答案] (1) (2)见解析
解与面积有关的几何概型的关键是找出或构造出随机事件所对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，进而将事件的概率转化为面积的比值.
[变式训练4] (1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2＝4，圆的面积为π×12＝π，图中黑色部分的面积为，则此点取自黑色部分的概率为＝.
(2)如图，矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒500粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为230粒，由此可以估计出阴影部分的面积约为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由几何概型的概率公式，得＝，所以阴影部分的面积约为，故选C.
命题视角4：“体积型”几何概型
[例5] 已知半径为1的球在棱长为3的正方体内运动，求正方体内任一点可作为球心的概率．
[解] 如图所示，正方体的棱长为3，P，Q，R，S分别是所在棱的三等分点．
一个半径为1的球在这个正方体内运动，当球与正方体的侧面BCC1B1相切时，球心在截面PQRS上，向右不可能再超过这个截面了．正方体共有六个侧面，球心可以到达的位置都是这种情况．
球心的变化区域是以正方体A1B1C1D1?ABCD的对称中心为对称中心、六个面分别与正方体A1B1C1D1?ABCD的六个面平行的正方体，其棱长为1.
所以所求概率为P＝＝.
求解与体积有关的几何概型问题，应分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少以及所求的事件占有的几何体是什么形状，并计算出体积.
[变式训练5] (1)在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为0.005.
(2)已知半径为2的球内有一内接正方体，若在球内任取一点，则该点在正方体内的概率为.
解析：(1)大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
(2)设内接正方体的棱长为a，则有a＝4，
∴a＝4，由题意得概率为＝＝.
1．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( D )
A. B. C. D.
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A，射线OA落在直角坐标系的每个位置的可能性是一样的，因为周角是360°，∠xOT＝60°，所以P(A)＝＝.故选D.
2．已知FH是圆O的直径，点G是圆O上不同于F、H的动点，将一颗豆粒随机地扔到圆内，用A表示事件“豆子落到三角形GFH内”，则P(A)的最大值等于( B )
A.
B.
C．2
D.
解析：设圆O的半径为R，当△GFH为等腰直角三角形时面积最大，为(R)2＝R2.所以P(A)的最大值为.故选B.
3．在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( D )
A.
B.π
C.
D.
解析：由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
4．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为.
解析：若方程有实根，则Δ＝1－4n≥0，即n≤，
又n∈(0,1)，所以所求概率为＝.
5．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率．
解：
由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝.
——本课须掌握的两大问题
1．几何概型的判定
判断一个概率模型是不是几何概型，只需看其是否具备几何概型的两个基本特征：一是试验包含有无穷多个基本事件；二是每个基本事件发生的可能性是相同的，即在几何区域内的每个点出现的机会都是均等的．
2．几何概型计算公式注意点
(1)公式中的长度并不是实际意义上的长度，有些书上称之为测度，测度的意义依试验的结果构成的区域而定，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的测度应分别是长度、面积和体积．
(2)当试验的全部结果所构成的长度一定时，事件A的概率只与构成事件A的区域长度有关，而与A的位置和形状无关．
PAGE3．2.2 (整数值)随机数的产生
[目标]
1.知道随机数的意义，了解随机数的产生方法；2.能用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率；3.巩固古典概型概率的求法．
[重点]
用模拟方法估计概率，古典概型概率的求法．
[难点]
随机数及随机数产生方法的理解．
知识点一
随机数的概念
[填一填]
1．随机数
要产生1～n(n∈N
)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
[答一答]
1．掷硬币、掷骰子可以产生怎样的随机数？
提示：掷硬币时，会出现反面表示0，出现正面表示1，可产生0,1两个随机数．掷骰子可产生1,2,3,4,5,6六个随机数．
2．用计算机模拟试验有什么优点？
提示：可以短时间内做大量的重复试验，从而快速地用频率估计出概率．
知识点二
随机数的产生
[填一填]
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．
[答一答]
3．哪些概率问题可以用随机模拟来估计概率？
提示：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．
(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题，应考虑用随机模拟方法来估计概率．
类型一
随机数的产生
[例1] 用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”的随机数．
[分析] 利用计算机产生随机数．
[解] 利用计算机统计频数和频率，用Excel演示．
(1)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY
(A1：A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数．
(2)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率．
利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书．
[变式训练1] 利用计算器产生10个1～100之间的取整数值的随机数．
解：按键过程如下：
反复按键10次，就可得到10个1～100之间的取整数值的随机数．
类型二
利用随机模拟法估计概率
[例2] 在一次抽奖活动中，中奖者必须从一个箱子中取出一个数字来决定他获得什么奖品.5种奖品的编号如下：①一次欧洲旅行；②一辆摩托车；③一台高保真音响；④一台数字电视；⑤一台微波炉．用模拟方法估计．
(1)他获得去欧洲旅行的概率是多少？
(2)他获得高保真音响或数字电视的概率是多少？
(3)他不获得微波炉的概率是多少？
[分析] 5种奖品被抽得的可能性相同，这是古典概型问题，我们可以用抽签法、随机数表法或用计算机产生整数随机数模拟．
[解] 设事件A“他获得去欧洲旅行”；设事件B“他获得高保真音响或数字电视”；设事件C“他不获得微波炉”．
(1)用计算器的随机函数RANDI(1,5)，或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,5)产生1到5之间的整数随机数表示它获得的奖品号码；
(2)统计试验总次数N及其中1出现的总次数N1，出现3或4的总数N2，出现5的总次数N3；
(3)计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，fn(C)＝1－，即分别为事件A，B，C的概率的近似值．
本题中也可利用对立事件的概率公式求“他不获得微波炉”的概率.
[变式训练2] 某种饮料每箱装12听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率有多大？
解：利用计算器或计算机产生1到12之间的整数值的随机数，用1,2，…，9,10表示合格，用11,12表示不合格，两个随机数一组(每组两个随机数不同)．统计随机数总组数N及含有11或12的组数N1，则频率即为检测出不合格品的概率的近似值．
1．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( D )
A. B. C. D.
解析：只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.
2．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：所有子集共8个，?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为.
3．从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人作班长与副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是.
解析：可能的选举结果为：甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共6种．至少有一个是女生的有5种，故所求概率为.
4．通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为.
解析：因为表示三次击中目标分别是3013,2604，5725，6576，6754，共5个数，随机总数为20个，因此所求的概率为＝.
5．用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一列．
解：方法1：(1)把a，b，c，d，e五位同学进行编号，依次为1,2,3,4,5；
(2)用计算器的随机函数RANDI(1,5)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之间的整数随机数(如果有一个重复，重新产生一个)，即依次作为5个位置上的同学的号码．
方法2：(1)用计算器的随机函数RANDI(1,5)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之间的整数随机数(如果有一个重复，重新产生一个)，即依次为a，b，c，d，e五位同学的编号；
(2)按照编号由小到大的顺序排成一列．
——本课须掌握的两大问题
1．用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．可以从以下方面考虑：
(1)试验的基本事件等可能时，基本事件总数就是产生随机数的范围，每个随机数字代表一个基本事件．
(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数．
2．随机模拟试验估计概率的步骤
(1)建立概率模型．
(2)进行模拟试验(可用计算器或计算机进行模拟试验)．
(3)统计试验结果．
学科素养培优精品微课堂
随机模拟的易错点
开讲啦
做整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果：(1)试验的基本结果的
可能性相等时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；(2)研究等可能性事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．
[典例] 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为30%，用随机模拟的方法进行试验，由1,2,3表示下雨，由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0～9之间随机整数的20组数据如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上数据可知三天都不下雨的概率近似为( )
A．0.05
B．0.35
C．0.4
D．0.7
[解析] 由题意知利用计算器模拟求三天都不下雨①的概率，产生的20组随机模拟数据中代表三天都不下雨的随机数，应该由4,5,6,7,8,9,0中的三个组成，这样的随机数有：907,966,458,569,556,488,989②，共7组随机数，
所以所求概率为＝0.35，故选B.
[答案] B
[针对训练] 假定某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为50%.现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4,5表示命中靶心，6,7,8,9,0表示未命中靶心．再以每两个随机数为一组，代表两次投掷飞镖的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率为( A )
A．0.50
B．0.45
C．0.40
D．0.35
解析：20组随机数中代表事件“运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心”的随机数有93,28,85,73,93,02,75,56,48,30，共10组，所以所求事件的概率为＝0.50.
PAGE3．2 古典概型
3．2.1 古典概型
[目标]
1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法．
[重点]
古典概型的概率及其概率计算．
[难点]
应用列举法求古典概型的概率．
知识点一
基本事件
[填一填]
1．基本事件的定义
在一次试验中，列举出试验完成可能发生并且不能再细分的随机事件；其他事件(不可能事件除外)都可以用它们来表示．这样的随机事件叫这个试验的基本事件．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
[答一答]
1．基本事件是最简单的随机事件吗？
提示：基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．
知识点二
古典概型
[填一填]
1．古典概型的特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
对任何事件A，P(A)＝.
[答一答]
2．在区间[2
013,2
014]上任取一个实数的试验，是不是古典概型？
提示：不是，因为在区间[2
013,2
014]上任取一个实数，是无限的．不符合试验结果有有限个的古典概型特点．
3．掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点②.
4．如何用集合的观点理解古典概型的概率公式？
提示：
在一次试验中，等可能出现的n个结果可以组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素．各个基本事件都对应着集合I的只含1个元素的子集，包含m个结果的事件A就对应着集合I的包含m个元素的子集A′.从集合的角度看，如图所示，事件A的概率就是子集A′的元素个数card(A′)与集合I的元素个数card(I)之比，即P(A)＝＝.
类型一
古典概型的判断
[例1] 判断下列试验是否为古典概型：
(1)在数学的标准化考试中，选择题都是单选题，一般从A，B，C，D四个选项中选择一个正确的答案．若一位考生碰到一道题，他能肯定地排除一个选项，他必须从其他的三个选项中选出正确的答案；
(2)连续投掷一枚硬币两次．基本事件为：两次都是正面朝上，一次正面朝上一次反面朝上，一次反面朝上一次正面朝上，两次都是反面朝上；
(3)同时投掷两枚完全相同的骰子，所有可能的结果记为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)共21个基本事件．
[解] (1)不是，因为四个选项被选出的概率不同．被排除的选项被选取的概率为0，另外三个选项被选取的概率为；
(2)是；
(3)不是，因为构造的21个事件不是等可能事件，如事件(1,1)，(1,2)的概率分别为，.
判断一个试验是否是古典概型必须满足两个条件：试验中所有可能出现的基本事件是有限个；每个基本事件发生的可能性相等，两个条件缺一不可，特别是第二个条件很容易被忽视.
[变式训练1] 一个长为2
m，宽为1
m的纱窗，由于某种原因，纱窗上有一个半径为10
cm的小孔，现随机向纱窗投一粒沙子，求小沙子恰好从孔中飞出的概率，问此试验是否属于古典概型，为什么？
解：不是古典概型，原因是随机向纱窗投一粒沙子，沙子可以击在纱窗的任一位置，试验结果有无限多种可能，不满足古典概型的条件①，即不满足试验的可能结果是有限的．故不是古典概型．
类型二
简单的古典概型的问题
[例2] 有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件，
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
[解] (1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的基本事件有{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6种，∴P(B)＝＝.
根据古典概型概率公式P(A)＝＝进行解题．
[变式训练2] 抛掷两颗骰子，求点数之和大于或等于9的概率．
解：将抛掷两颗骰子的所有结果列表如下：
可知基本事件共有6×6＝36个．
记“点数之和大于或等于9”的事件为A，则从表中可以得出，事件A包含的基本事件有10个，即(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，故P(A)＝＝.
类型三
较复杂的古典概型问题
[例3] 某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率．
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解] 用数对(x，y)表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与奖励情况如下：
显然，基本事件总数为16.
(1)xy≤3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率＝.
(2)xy≥8情况有6种，所以获得水杯的概率＝＝.
所以小亮获得饮料的概率＝1－－＝<，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．
[变式训练3] 某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率．
(2)求中奖的概率．
解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)；两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖概率为P(B)＝＝.
1．下列不是古典概型的是( C )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：C中每种结果出现的可能性不相等，故选C.
2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率P＝＝.故选B.
3．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为.
解析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法：甲乙丙、甲丙乙、乙丙甲、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲，其中甲、乙相邻的有4种．故所求概率P＝＝.
4．将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是.
解析：先后抛掷一枚硬币的所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共四个基本事件，“恰好出现一次正面”包含2个基本事件，∴P＝＝.
5．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝＝.
——本课须掌握的两大问题
1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的．
2．求某个随机事件包含的基本事件数是求古典概型概率的基础和关键．应做到不重不漏，常用方法有列举法、列表法、画树状图等．
PAGE3．1.3 概率的基本性质
[目标]
1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念；3.掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率．
[重点]
事件的关系、运算及概率的基本性质．
[难点]
概率的基本性质的应用．
知识点一 事件的关系与运算
[填一填]
[答一答]
1．下列说法正确吗？
(1)在掷骰子的试验中{出现1点}?{出现的点数为奇数}；
(2)不可能事件记作?，显然C??(C是任一事件)；
(3)事件A也包含于事件A，即A?A.
提示：以上说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．
2．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生．
3．事件A与事件B互斥的含义是什么？
提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．
4．互斥事件与对立事件的关系是怎样的？
提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
知识点二 概率的几个基本性质
[填一填]
1．概率的取值范围为[0,1]．
2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
3．概率加法公式：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
[答一答]
5．若P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B是否一定对立，试举例说明．
提示：事件A与事件B不一定对立．例如：抛掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不对立．
6．(1)若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝0.3.
(2)甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，则甲获胜的概率为0.3.
解析：(1)因为A，B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
(2)设“甲胜”为事件A，“和棋”为事件B，其发生的概率分别是P(A)，P(B)，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，
所以P(A)＝0.8－P(B)＝0.8－0.5＝0.3.
故甲获胜的概率是0.3.
类型一 互斥事件与对立事件的判断
[例1] 一位射击手进行一次射击．
事件A：命中的环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中的环数小于6环；
事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环．
判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)事件A与B.
(2)事件A与C.
(3)事件C与D.
[解] (1)不是互斥事件，更不可能是对立事件．
理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即A∩B＝{命中环数为10环}．
(2)是互斥事件，但不是对立事件．
理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环不可能同时发生，但A∪C＝{命中环数为1,2,3,4,5,8,9,10环}≠I(I为全集)．
(3)是互斥事件，也是对立事件．
理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环不可能同时发生，且C∪D＝{命中环数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10环}＝I(I为全集)．
互斥事件、对立事件的判断方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝?；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.
[变式训练1] 从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，下列事件：
①“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”；
②“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
③“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”；
④“取出3个红球”与“取出3个白球”．
其中是对立事件的有( D )
A．①④
B．②③
C．③④
D．③
解析：从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出的3个球中至少有1个白球”包含“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”三种情况，故“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”是对立事件．故选D.
类型二 事件的运算
[例2] 掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
[解] (1)A∩B＝?，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，
B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
C＝BC＝{出现2点}；
∪C＝A∪C＝{出现1,2,3或5点}；
＋＝{出现1,2,4或5点}．
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
[变式训练2] 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球．
记事件A：“取出一个球是白球”；
事件B：“取出一个球是黑球”；
事件C：“取出一个球是红球”；
事件D：“取出一个球是白球或黑球或红球”．
说出A∪B，A∩B，A∪D，B∩D，C∩D各为什么事件．
解：A∪B表示“取出一个球为白球或黑球”．
A∩B表示“取出一个球既是白球又是黑球”．
A∪D表示“取出一个球为红球或白球或黑球”．
B∩D表示“取出一个球为黑球”．
C∩D表示“取出一个球为红球”．
类型三 互斥事件与对立事件的概率
命题视角1：互斥事件概率加法公式的应用
[例3] 掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ∵P(A)＝，P(B)＝＝，事件A与B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
[答案] B
解决这类问题的关键是要抓住?1?一次试验中可能出现的不同结果，由这些结果分别构成不同的事件；?2?这些事件中的任何两个事件都构成互斥事件；?3?互斥事件Am，An构成的事件A的概率P?A?＝P?Am?＋P?An?；?4?推广到由两两互斥的n个事件Ai?其中i＝1，2，…，n?构成的事件A，P?A?＝P?A1?＋P?A2?＋P?A3?＋…＋P?An?.
[变式训练3] 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”，已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率．
解：设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B得：
P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
∴出现1点或出现2点的概率是.
命题视角2：对立事件概率的应用
[例4] (1)根据统计资料，甲射击一次中靶的概率是0.45，那么甲射击一次不中靶的概率为________．
(2)一名射手在某次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：
①射中10环或7环的概率；
②射中的环数低于7环的概率．
[解析] (1)P(甲射击一次不中靶)＝1－P(甲射击一次中靶)＝1－0.45＝0.55.
(2)解：①设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
由于在这次射击训练中，事件A与事件B不可能同时发生，
故事件A与事件B是互斥事件，
“射中10环或7环”的事件为A∪B.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
所以射中10环或7环的概率为0.49.
②“射中的环数低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“射中的环数低于7环”的反面是“射中的环数大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件转化的方法处理．设“射中的环数低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．
又“射中7环”，“射中8环”，“射中9环”，“射中10环”彼此互斥．
故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
所以射中的环数低于7环的概率为0.03.
[答案] (1)0.55 (2)见解析
应用对立事件解题的注意点
(1)找准对立事件．
(2)要有应用对立事件求概率的意识，当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即“正难则反”思想的应用．
[变式训练4] 学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1
000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生祼眼视力在0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上，问：
(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少？
(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？
解：(1)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.6～1.0)为互斥事件，所以事件C(视力不足1.0)的概率为P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝0.65.
(2)事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝0.35.
所以该学校在校生眼睛合格的概率为0.35.
1．许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( B )
A．至多做完三套练习题
B．至多做完二套练习题
C．至多做完四套练习题
D．至少做完四套练习题
2．高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则( A )
A．甲与丙互斥
B．任何两个均互斥
C．乙与丙互斥
D．任何两个均不互斥
解析：从高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，在A中，事件甲与丙是互斥事件，故A正确；在B中，事件乙和丙有可能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，事件乙和丙有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，事件甲与丙是互斥事件，故D错误．故选A.
3．若事件A，B互斥，P(A)＝3P(B)，P(A＋B)＝0.8，则P(A)＝0.6.
解析：∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
又P(A)＝3P(B)，
∴P(A＋B)＝3P(B)＋P(B)＝4P(B)＝0.8.
∴P(B)＝0.2，P(A)＝0.6.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数不大于4的概率为.
解析：向上的点数为5或6的概率为＋＝，
又向上的点数不大于4的对立事件为向上的点数为5或6.
所以所求概率为1－＝.
5．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
解：分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)方法1：小明考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法2：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是P(考试及格)＝1－0.07＝0.93.
——本课须掌握的三大问题
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
PAGE3．1.2 概率的意义
[目标]
1.通过实例，进一步理解概率的意义；2.会用概率的意义解释生活中的实例；3.了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律．
[重点]
概率的意义及应用．
[难点]
概率意义的理解．
知识点一 概率的正确理解
[填一填]
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．
[答一答]
1．掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率是，那么在掷一百次试验中，是否一定有50次正面向上？
提示：不一定，但正面向上的次数应是50次左右．
知识点二 游戏的公平性
[填一填]
尽管随机事件发生具有随机性，但是当大量重复这一过程时，它又呈现出一定的规律性，因此利用概率知识可以解释和判断一些游戏规则的公平性、合理性．
[答一答]
2．在生活中，有时要用抽签的方法来决定一件事情，这样做是否公平呢？
提示：我们看到在抽签时虽然有先有后，但每个抽签者中签的概率是相等的，也就是说，不会因为抽签的顺序影响其公平性．例如，在n张相同的票中只有1张奖票，n个人依次从中各抽1张，那么每个人抽到奖票的概率都是，也就是说，抽到奖票的概率与抽票的顺序无关．
知识点三 决策中的概率思想
[填一填]
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，是决策中的概率思想．
[答一答]
3．如果掷一枚硬币100次，结果只有两次正面向上，如果只考虑硬币是否均匀，你的判断更倾向于什么？
提示：更倾向于硬币不均匀．如果硬币是均匀的，那么出现正面向上或反面向上的次数应相差不大．
知识点四 天气预报的概率解释
[填一填]
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
[答一答]
4．某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，请你结合概率的意义作出正确的解释．
提示：“明天本地降水概率为70%”是指本地降水的可能性是70%，而不是本地70%的区域会降水．当然，降水是一个随机事件，随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生，因此降水概率为70%是指降水的可能性为70%，本地不一定下雨，也不一定不下雨．天气预报是气象专家根据观测到的气象资料和经验，经过分析推断得到的．如果本地不下雨，并不能说天气预报是错误的．
知识点五 试验与发现及遗传机理中的统计规律
[填一填]
概率知识在科学发展中起着非常重要的作用，奥地利遗传学家孟德尔利用杂交豌豆所做的试验中，得到了显性与隐性的比例接近3?1，分析找出了遗传规律，成为近代遗传学的奠基人．可见，利用概率统计知识，对数据加以分析，有时可以得到意想不到的结论．
[答一答]
5．孟德尔试验得到的显性与隐性的比例是多少？其遗传机理是什么？
提示：当这两种豌豆杂交时，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征，于是第一代收获的豌豆的特征是Yy.以此类推，第二代收获的是YY，Yy，Yy，yy，如图，Y是显性因子，y是隐性因子，当显性因子与隐性因子组合时，表现出显性因子的特征，即YY，Yy呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特征，即yy呈绿色．由于下一代的两个特征是从父母辈中各随机选取的，因此在第二代中的YY，yy出现的概率都是，Yy出现的概率是
，所以黄色豌豆(YY或Yy)?绿色豌豆(yy)≈3?1.
类型一 概率的正确理解
[例1] 下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
[解析] 一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
[答案] D
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识.
[变式训练1] 每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”这句话( B )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
解析：解答一个选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的结果选择正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确．
类型二 游戏的公平性
[例2] 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
[解] (1)可以选择B.猜“不是4的整数倍数”或C.猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，“是大于4的数”的概率为＝0.6，它们都超过了0.5，故应可以尽可能地获胜．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择A方案．方案A.猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，因而该游戏是公平的．
(3)可以设计为D.猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性(答案不唯一)．
利用概率的意义可以制定游戏的规则，在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说游戏是否公平只要看获胜的概率是否相等.如体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才公平.再如每个购买彩票的人中奖的概率应是相等的，这样对每个人才是公平的.
[变式训练2] 元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．
解：其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1、2、3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：
从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．
类型三 极大似然法的应用
[例3] 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，要从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球从哪一个箱子中取出？
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知试验的结果与试验过程大致情况；
②由试验结果推断具体的试验过程
.
解答本题可利用极大似然法．
[解] 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是.乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．
在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据.因此，在分析、解决有关试验问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策.
[变式训练3] 深入研究之后，人们发现英文中各个字母被使用的频率相当稳定，例如，下面就是一份统计表.
试举例说明这一研究的重要用途是什么？
解：在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母，从表中我们可以看出，空格的使用频率最高，鉴于此，这一研究在键盘的设计、信息的编码、密码的破译等方面都是十分有用的．比如，人们在设计键盘时，在方便的地方安排使用频率较高的字母键，空格键不仅所占面积最大，而且放在使用最方便的位置．
1．已知某种彩票中奖率为，某人买了1
000份该彩票，则其( D )
A．一定中奖
B．恰有一份中奖
C．至少有一份中奖
D．可能没有中奖
解析：彩票中奖是一个随机事件，中奖率是中奖的可能性，并非一定中奖．
2．下列说法一定正确的是( D )
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若他罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万张彩票一定会中奖
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
3．某医院治疗某种疾病的治愈率为1‰
.在2008年医院收治的398个病人中，无一治愈，那么2009年该医院收治的第一个病人可能被治愈．(填“可能”或“不可能”)
4．利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的同学有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是0.615.
解析：根据频率与概率的关系及概率的意义知，这名学生戴眼镜的概率为＝0.615.
5．李东是高一(18)班的一名学生，该班有学生55人，在将要举行的“五四”晚会上，每班要随机抽一名同学作为嘉宾参与电视台节目录制，李东认为他被抽到的概率为，你认为有道理吗？
解：有道理，因为从55位同学中抽取一名同学作为嘉宾，这是一个随机事件，因此，李东被抽到的概率为.
——本课须掌握的两大问题
1．概率是从数量上反映随机事件发生的可能性大小的一个数学概念．对大量重复试验来说存在的一种统计规律性，对单次试验来说，随机事件发生与否是随机的．
2．生活中的概率
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，游戏是否公平只要看每人获胜的概率是否相等即可．
(2)正确理解随机事件概率的意义，掌握日常生活中偶然事件发生的规律，用概率的意义来解释一些日常生活中偶然事件即随机事件发生的概率，可以澄清日常生活中的一些错误认识．但是在用概率思想指导实践活动时，要注意概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并不说明一个事件一定发生或一定不发生，因此应当抱着一种平常的心态对待它．
(3)如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法称为极大似然法．
PAGE第三章 概率
3.1 随机事件的概率
3．1.1 随机事件的概率
[目标]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性以及频率与概率的区别；2.通过实例，正确理解概率的意义，体会概率思想方法及应用价值．
[重点]
正确理解频率与概率的关系，以及概率在实际中的应用．
[难点]
概率的意义的正确理解及随机试验结果的随机性与规律性的关系．
知识点一 事件的分类
[填一填]
1．确定事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．
2．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．
3．事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
[答一答]
1．定义中的“条件S”是唯一的吗？
提示：这里的S可以是一个条件，也可以是一组条件(可以理解为一个条件的集合)，此处的定义与初中教材中的定义(在一定条件下)有所不同，新定义的表述更加简洁．
2．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
提示：由题意知：(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
知识点二 频率与概率
[填一填]
1．频率
在相同条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率，其取值范围是[0,1]．
2．概率
(1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为P(A)，其取值范围是[0,1]．
(2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
[答一答]
3．随机事件的频率具有相对的稳定性，在大量重复试验时，频率会在一个常数附近摆动．随机事件A在n次试验中发生了m次，则这个常数一定就是吗？
提示：不一定．当试验的次数n很大时，这个常数才近似地认为是.
4．频率与试验次数有关吗？概率呢？
提示：(1)频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．
频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同．
(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关．
比如，如果一个硬币是质地均匀的，则掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．
5．“小概率事件一定不发生，大概率事件一定发生”，这种说法对吗？
提示：不对．小概率(接近0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(接近1)事件经常发生，但不代表一定发生．
类型一 事件的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
[变式训练1] 下列事件中，随机事件的个数是( C )
①某地1月1日刮西北风；②当x是实数时，x2≥0；③一个电影院某一天的上座率超过50%.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①③是随机事件，②是必然事件．
类型二 试验结果分析
[例2] 下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
[解] (1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
[一题多变] (1)在例2(2)中，从集合A中任取2个元素组成A的子集，有哪些？
(2)在例2(2)中集合A换为A＝{a，b，c，d，e}，其他条件不变，则结果如何？
[解] (1)试验结果有6个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
(2)试验结果有10个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．
不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．
[变式训练2] 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
类型三 用频率估计概率
[例3] 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.
(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
[分析] 先根据频率的定义求出各试验的频率，再由频率去估算概率．
[解] (1)
(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
概率的确定方法
(1)理论依据：频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率．
(2)计算频率：频率＝.
(3)用频率估计概率．
[变式训练3] (1)从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据用频率分布估计总体分布的原理，该自动包装的食盐质量在497.5
g～501.5
g之间的概率约为0.25.
解析：由频率估计概率，食盐质量在497.5
g～501.5
g之间的频率是＝0.25，故所求概率约为0.25.
(2)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是16个．
解析：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1－15%－45%＝40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
1．有下列现象：①掷一枚硬币，出现正面向上；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则b其中是随机现象的是( B )
A．② B．① C．③ D．②③
解析：①掷一枚硬币，可能出现反面向上，所以①是随机现象，②③均为必然现象．故选B.
2．下面的事件，是不可能事件的有( B )
①在标准大气压下，水加热到80
℃时会沸腾；
②a，b∈R，则ab＝ba；
③一枚硬币连续掷两次，两次都出现正面向上．
A．②
B．①
C．①②
D．③
解析：①在标准大气压下，水只有加热到100
℃时才会沸腾，所以①是不可能事件；②是必然事件；③为随机事件．故选B.
3．下列说法正确的是( C )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B、D混淆了频率与概率的概念，故错误．
4．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两个朝上的面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：公平．
解析：两枚硬币落地的结果有正反，反正，正正，反反，因此两种情况各占，是公平的．
5．某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1
500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1
500小时的频率是＝0.6，即灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
——本课须掌握的两大问题
1．概率的性质
(1)必然事件的概率为1.
(2)不可能事件的概率为0.
(3)随机事件A的概率为0≤P(A)≤1.
必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形．
2．“频率”和“概率”的区别和联系
(1)区别：频率反映的是某一随机事件出现的频繁程度，是随机的，而概率是一个客观常数，它反映了随机事件发生的可能性的大小，是一个稳定值．
(2)联系：
①概率是频率的科学抽象，是某一事件的本质属性，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，概率可看作频率理论上的期望值；
②频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即概率可以用频率作近似代替，可以说，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
③只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；
④实践中常用“大量重复试验的前提下的频率值”来估计事件的概率．
PAGE