5.7 用二元一次方程组启动一次函数表达式（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版2020-2021学年度上学期八年级数学上册第五章二元一次方程组
5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
【知识清单】
待定系数法的一般步骤：
1.设，设出一次函数的一般形式：如y=kx+b(k，b为待定系数，k≠0)；
2.代，将已知条件代入解析式得出二元一次方程或二元一次方程组；
3.求，通过解二元一次方程或二元一次方程组求出待定系数k、b；
4.写，写出该函数的解析式.
【经典例题】
例题1、在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量x(千克)的一次函数．已知这根弹簧上挂7kg物体时弹簧长度为14cm，挂15kg物体时弹簧长度为18cm；
(1)试确定弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式．
(2)并求当所挂物体的质量为22千克时弹簧的长度．
【考点】一次函数的应用
【分析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；
(2)把x=22时代入解析式求出y的值即可．
【解答】(1)设y与x的函数表达式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴y与x的函数表达式为：y=x+10．
(2)当x=22时，
y=x+10=×22+10=21．
答：当所挂物体的质量为22kg时弹簧的长度为21cm．
【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
例题2、为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准：每月用电量x(千瓦时)与应付电费y(元)的关系如图所示．
?
(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；
(2)说明函数关系式中的x的系数的实际意义？
【考点】二元一次方程组确定一次函数表达式．?
【分析】(1)根据函数图象设出函数表达式，再把图象上
已知点的坐标代入即可求得y与x之间的函数关系式.
(2)根据函数图象中的数据，函数关系式中的x的系数的实际意义．
【解答】(1)当0≤x≤50时，设y与x的函数关系为y=kx，
将点(50，25)代入y=kx，得25=50k，
解得k=0.5，
所以当0≤x≤50时，设y与x的函数关系为y=0.5x；
当x>50时，设y与x的函数关系为y=ax+b，
将点(50，25)，(100，70)代入y=
ax+b，
得，解得，
所以当x>50时，设y与x的函数关系为y=0.9x20，
综上可得，y与x的函数关系为y=；
(2)0.5是当0≤x≤50时的电价，0.9是当x>50时的电价.
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是理解题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答即可．
【夯实基础】
1．一次函数y=kx+b满足x=3时，y=0；x=2时，y=10，则一次函数的解析式为
(
)
A．y=2x+6
B．y=2x+6
C．y=2x6
D．y=2x6
2．若点(5，18)、点(7，6)、点(a，12)在一条直线上，则a=(
)
A．16
B．12
C．10
D．8?
3．已知点P的横坐标与纵坐标的之和为7，且这点在一次函数的图象上，则点P的坐
标为
(
)
A．(6，1)
B．(8，1)
C．(10，3)
D．(4，3)
4．礼拜天，小华和爸爸去爬山，爸爸步行先走，小华在爸爸离开家一段时间后骑自行车出发，父子两人按相同的路线前往，他们所走的路程s(m)和时间t(min)的关系如图所示，则小华追上爸爸时所用的时间为(
)
A．12
min
B．
15min
C．18
min
D．20
min
5．已知点(7，15)在直线y=mx+n(m、n为常数，m≠0)上，则
．
6．若关系x、y二元一次方程3ax4by=6和5ax3by=19所对应的一次函数的图象的交点坐
标为(2，3)，则a=
，b=
.
7．如图所示，某航空公司托运行李费y(元)与托运行李质量x(千克)的关系为一次函数，
由
图象可知行李重量只要不超过??
千克就可免费托运.
8．如图，甲、乙两人的同一直道上骑行，其中甲骑摩托车，乙骑自行车，图中l1，l2分别表示
甲、乙两人骑自行车过程中，与甲的出发点的距离y(km)和甲的骑行时间x(h)之间的关系.
(1)求l1，l2对应的函数表达式；
(2)当乙开始骑行时，求甲、乙之间的距离；
(3)求甲追上乙所用的时间.
9．有一个附有进水管、出水管的水池，每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从
某时刻开始，6h内只进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间x(h)与水
量y(m3)之间的关系图(如图)．回答下列问题：
(1)进水管6h共进水多少？每小时进水多少？
(2)当0≤x≤6时，y与x有何关系？
(3)当x=14时，水池中的水量是多少？
(4)若6h后，只放水不进水，那么多少
小时可将水池中的水放完？
【提优特训】
10．“高高兴兴上班去，平平安安回家来”．小李下班后，17时从工厂出发，回家途中离家
的路程s(km)与所走的时间t(min)之间的函数关系如图所示，那么这天小李到家的
时间为(
)
A、17时15分
B、17时14分
C、17时12分
D、17时11分
11．如图，四边形ABCD的边长为的正方形，其顶点B、C分别在x的负半轴上和y的正半轴上，点B的坐标为(1，0)，则直线AD关于原点对称的函数解析式为
(
)
A．y=4x+21
B．y=4x21
C．y=4x21
D．y=4x21
12．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(-2，4)，B(4，2)，直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的取值范围是(
)
A．5
B．2
C．4
D．7
13．如图，直线与坐标轴相交于A、B两点，点C在y轴上将△ABC沿AC折叠点B的对称点，则直线与直线AB的交点坐标为(
).
A．
B．
C．
D．
14．科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)则y与x的函数关系式
；
(2)已知某山的海拔高度为1200米，则该山山顶处的空气含氧量约为
克/立方米.
15．某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是
元，当x＞2时，
y关于x的函数关系式
．
(2)某乘客有一次乘出租车的车费为32元，则这位乘客乘车的里程为
千米．
16．老李与老张两人骑摩托车分别从A、B两地同时出发相向而行，图中l1、l2分别表示两辆摩托车与A地的距离s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系．(1)甲、乙两辆摩托车速度差为
.(2)经过
h或
h两车相距6km．
17．如图，已知一次函数y=kx+3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数
的图象相交于点C，已知点C的纵坐标为1，下列结论：①关于x的方程kx+8=0的解为x=18；②过点AD的直线为；③四边形BOEC的面积为9；④方程组的的解为，其中正确的
.(填正确的序号)
18．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段y1，y2分别表示小东、小明离B地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系．
(1)试用文字说明：交点P所表示的实际意义．
(2)试求出A，B两地之间的距离．
19．某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．
(1)分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图的坐标系中作出这两个函数的图象；
(2)如何选择计费方式能使甲上网费更合算？
20．如图，l1表示某个公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系．
(1)当x=2时，销售收入=____万元；销售成本=___万元；
利润(收入成本)=___万元；
(2)求l1、l2对应的函数表达式；
(3)请写出利润与销售量之间的函数表达式；
并求出当销售量是多少时，利润为6万元．.
【中考链接】
21．(2020?江苏连云港)
快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y(km)与它们的行驶时间x(h)之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a=340；④快车先到达目的地．?其中正确的是(
)
A．①
③
③
B．②③
C．②④
D．①④?
22．(2020?西藏)如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是(
)
?
A.3
B.4
C.5
D.6
23．(2020?重庆A)A，B两地相距240km，甲货车从A地以40/kmh的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CDDEEF所示．其中点C的坐标是(0，240)，点D的坐标是(2.4，0)，则点E的坐标
.
24．(2020?金华、丽水)某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示．
?请根据图象解决下列问题：
?
(1)求高度为5百米时的气温；
?
(2)求T关于h的函数表达式；
?
(3)测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
参考答案
1、B
2、C
3、D
4、C
5、
6、1，
7、20
10、A
11、D
12、B
13、B
14、(1)
y=；(2)260.6
15、(1)6，y=2x+2
；(2)15
16、(1)8千米/小时，
(2)
，
17、①②③④
21、B
22、A
23、(4,160)
8．
解：(1)设l1对应的函数表达式为y=kx(k≠0).
把(6，180)代入，可得180=6k，
解得k=30，
所以l1对应的函数表达式为y=30x(x≥0).
设l2对应的函数表达式为y=mx+n(m≠0).
把(2，100)，(10，180)代入，
可得，解得，
所以l2对应的函数表达式为y=10x+80(x≥2).
(2)在y=30x中，当x=2时，y=30×2=60，
∴10060=40(km).
(3)解方程组，解得
∴甲追上乙所用的时间为4h.
9．
解：(1)由图象知，6h共进水24m3，
所以每小时进水量为4m3．
(2)y是x的正比例函数，设y=kx，
由于其图象过点(6，24)，
所以24=6k，k=4，即y=4x(0≤x≤6)．
(3)由图象可知：当x=14时y=12，
即水池中的水量为12m3．
(4)由于x≥6时，图象是一条直线，
所以y是x的一次函数，
设y=kx+b，由图象可知，该直线过点(6，24)，(14，12)．
∴，解得.∴y=x+33，
令y=0，则x+33，∴x=22．
226=16，所以6h后，只放水不进水，16h就可以把水池里的水放完．
18．解：(1)交点P所表示的实际意义是：经过3.5小时后，
小东与小明在距离B地10.5千米处相遇．
(2)设y1=kx+b(k≠0)，
∵线段y1经过点P(3.5，10.5)，(5，0)
，
∴，解得.
∴y1=7x+35，
当x=0时，y1=35.
故AB两地之间的距离为35千米．
19．
解：(1)方式A：y=0.1x(x≥0)，
方式B：y=0.06x+20(x≥0)，
两个函数的图象如图所示；
(2)解方程组，解得，
∴两图象交于点P(500，50)．
由图象可知：
当一个月内上网时间少于500分时，
选择方式A省钱；
当一个月内上网时间等于500分时，
选择方式A、方式B一样；
当一个月内上网时间多于500分时，
选择方式B省钱．
20．解：(1)x=2时，销售收入2万元，销售成本2万元，
盈利(收入成本)=22=0(万元)；
故答案为：2，2，0；
(2)设l2对应的函数表达式为：y2=kx+b(k≠0)，
∵函数图象经过点(0，1)，(2，2)，
∴，
解得：，
∴l2对应的函数表达式是y2=x+1，
设l1对应的函数表达式为：y1=ax，则2=2a，解得：a=1，
故l1对应的函数表达式为：y1=x；
(3)∵利润=y1y2=x(x+1)=6
解得：x=14，
∴当销售量是14件时，利润为6万元．
24．解：(1)由题意得，高度增加2百米，
则气温降低2×0.6＝1.2(℃)，
∴13.21.2＝12，
?∴高度为5百米时的气温大约是12℃；
?
(2)设T关于h的函数表达式为T＝kh+b，
?则：，
解得，
∴T关于h的函数表达式为T＝0.6h+15；
?
(3)当T＝6时，6＝0.6h+15，
?
解得h＝15．∴该山峰的高度大约为15百米．
第18题图
第4题图
第20题图
第20题图
第24题图
第19题图
第18题图
第9题图
第8题图
第24题图
第22题图
第10题图
第17题图
第16题图
第13题图
第23题图
第15题图
第19题图
第21题图
第11题图
第9题图
第8题图
第7题图
例题2图
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