人教A版2019高中数学必修第一册5.1.2 弧度制-课件（21张）

(共21张PPT)
5.1.2
弧度制
第五章
三角函数
1.理解弧度制的概念；
2.熟练弧度制与角度制的转换
3.掌握弧长公式与扇形的面积公式。
学习目标
1、在平面几何中研究角的度量时，1°的
角是如何定义的？
周角的
叫做1度角,记为1°
复习回顾
2、角度制下弧长公式与扇形面积公式是
什么？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制
：
单位符号
：rad
读作弧度
定义：
我们把长度等于半径长的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，
这样的圆心角等于1rad。
?AOB=1rad
o
A
B
rad
1
O
l
=r
r
o
A
C
rad
2
O
r
r
l
2
=
?AOC=2rad
追问4　（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1
rad的角呢？
（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？
（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
在半径为r的圆中
；
类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
新知探究
得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1
rad（如图）；
新知探究
追问5　请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周
角的
；
新知探究
新知探究
新知探究
问题3　既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？
新知探究
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值．
（2）利用计算器有67°30′≈1.178
rad．
所以67°30′＝
rad＝
rad．
新知探究
例1　按照下列要求，把67°30′化成弧度：
解：（1）由于67°30′＝
，
新知探究
解：利用计算器有3.14
rad≈179.909°．
新知探究
例2　将3.14
rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）．
新知探究
角度
?
?
?
?
?
弧度
?
?
?
?
?
?
写出一些特殊角的弧度数
注意：今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略
如：3表示3rad
（1）
；
（2）
；
（3）
．
其中R是圆的半径，
α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：（1）由公式
可得
．
下面证明（2）（3）．
新知探究
例3　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
新知探究
其中R是圆的半径，
α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
，
将n°转换为弧度，
得
，
于是
．
将l＝αR代入上式，即得
．
新知探究
（1）
；
（2）
；
（3）
．
例3　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
新知探究
弧长公式与扇形面积公式
【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，
是扇形弧长，S是扇形面积.
则有：
?
?
?
?
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
?
?
?
?
（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
归纳小结
问题4　通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？
背景
引入弧度制的必要性
定义的合理性
弧度制
定义
表示
关系
应用
归纳小结
作业布置
作业A
1．第175页习题5.1
第1，2,3题．
课后作业
2．金版
P115-P116．
（1）22°30′；
（2）－210°；
（3）1
200°．
答案：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【1】把下列角度化成弧度：
P175练习
目标检测
（1）
；
（2）
；
（3）
．
答案：（1）15°；
（2）－240°；
（3）54°．
【2】把下列弧度化成角度：
P175练习
【3】用弧度表示：
（1）终边在
轴上的角的集合
（2）终边在
轴上的角的集合
【解】
?
?
?
?
P175练习
目标检测
答案：弧度数为1.2．
【5】已知半径为120
mm的圆上，有一条弧的长是144
mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数．
P175练习
例4
：已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1)
rad.
合(
)
?
扇形面积是