5.2.1 三角函数的概念-课件（14张）

(共14张PPT)
第5章
三角函数
5.2.1
三角函数的概念
人教A版2019高中数学必修第一册
教材引入&任意角的三角函数定义
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【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个
问题.如图，以单位圆的圆心为原点，
以射线OA为
轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P
射线OA从
轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向
旋转角α，终止位置为OP.
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【探究】当
时，点P的坐标是什么？当
或
时，点P的坐标又是什么？给
定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
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教材引入&任意角的三角函数定义
【分析】利用勾股定理可以发现，当
时，点P的坐标是
；当
或
时，点P的坐标分别是
和
，它们都是唯一确定的(如图).
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【结论】一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无
论是横坐标
还是纵坐标
，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标
和
纵坐标
都是角α的函数.
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教材引入&任意角的三角函数定义
【定义】设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P
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（1）把点P的纵坐标
叫做α的正弦函数，记作sinα，即
=sinα
（2）把点P的横坐标
叫做α的余弦函数，记作cosα，即
=cosα
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值
叫做α的正切，记作tanα，即
=tanα
(
).
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可以看出，当
时，α的终边始终在y轴上，这时
，即此时tanα无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称
为正切函数.
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=tanα
(
)
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
（3）正切函数：
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角
实数
(角的弧度)
三角
函数值
【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数
（2）
是自变量，离开自变量
的sin,con,tan是没有意义的
（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的
位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.
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【1】求
的正弦、余弦和正切值.
【解】在坐标系中作出∠AOB=
，易知∠AOB的
终边与单位圆的
交点坐标为
，所以
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常见角的三角函数值
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无
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牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！
三角函数的定义域和函数值的符号
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【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
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因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
Y轴的负半轴重合；
又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0，
cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
诱导公式一
由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.
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公式一：
其中k∈Z
【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？
【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系：
即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；
反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因.
【启发】做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算.
【1】已知角α、β的顶点在原点，始边在
轴的正半轴上，终边关于
轴对称，
若角α的终边上有一点的坐标为
，则tanβ的值是多少？
【解】易知sinα=
，cosα=
.
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因为角α和角β的终边关于y轴对称，则
它们的正弦值相等，即sinα=sinβ
同时角α和角β的余弦值相反，
即cosβ=-cosα
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β
α
所以sinβ=
，cosβ=
，所以tanβ=
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【2】填表.
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【3】选择适当的条件填空
①sinθ＞0
②sinθ＜0
③cosθ＞0
④
cosθ＜0
⑤tanθ＞0
⑥tanθ＜0
(1)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
(2)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
(3)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
(4)角θ为第一象限角的充要条件是
_________________________________
①③或①⑤或③⑤或①③⑤
①④或①⑥或④⑥或①④⑥
②④或②⑤或④⑤或②④⑤
②③或②⑥或③⑥或②③⑥
THANKS
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