2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

第二章 平面向量
第七课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
【学习目标】:
1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.
3．通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
【学习重点】：平面向量数量积的定义
【学习难点】：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用
【学习过程】: 自主学习教材P103-105
㈠思考探究:（想一想,动一动）
任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？
㈡探求新知：
探究1:平面向量数量积的背景与含义
思考1：一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少
思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？零向量与任一向量的数量积呢？
思考3：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
思考4：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义呢？
探究2：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
思考4：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
思考5：运算律和运算紧密相连，对于实数乘法运算满足交换律，结合律，分配律；向量数量积有这些类似的运算律吗？请给出证明。
思考6：对于实数有,对于向量成立吗？
【自主学习检测】:
1.给出以下四个结论，其中正确的有 （写出所有正确答案）
①a⊥ba·b=0 ②若a·b=0，且a≠0则b=0
③若a≠0，b=0，则|a·b|=|a||b| ④当a与a反向时，a·b=-|a||b|
2.已知a∥b,| a|=1,| b|=2,则a·b= 。
3.已知|b|=3，a在b方向上的投影是，则a·b= 。
4.在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
㈢典型例题：
例1. 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
例2. 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直
例3． 已知三角形ABC中，，求的值.
(四)【知识提升】：（超出别人定是你的追求！）
设，且，又与是两个不同时为零的实数。
若垂直，求关于的函数
求函数的最小值
(五)练习达标：见学海导航
【归纳小结】
1.本节主要学面向量数量积的定义，向量的投影，性质及运算律，请归纳整理。
2.向量数量积运算源于物理中的功，抽象概括形成数学定义后，进一步探讨了数量积的性质，运算律，应用。请体会数学知识的形成过程，进一步认识数学定义的重要性。
【自我反思】：
【作业】: P108习题2.4A组T3,7