第24章 解直角三角形
24．2 直角三角形的性质
课题
24.2 直角三角形的性质
授课人
教学目标
知识技能
会利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半进行线段的计算和证明.2.能应用30°角所对的直角边等于斜边的一半进行计算和证明.
3.知道把非30°角的问题转化为30°角所对的直角边和斜边的关系进行计算．
数学思考
直角三角形除了有两锐角互余和勾股定理这两个性质外，还有斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
问题解决
通过直角三角形斜边上的中线和斜边的关系及边之间的关系的计算，进一步深入地理解和应用直角三角形的性质．
情感态度
通过角与边的关系的探究，拓展学生的思维，培养学生的转化意识和探究能力．
教学重点
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的应用．
教学难点
直角三角形的性质的推导.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1什么是直角三角形？2.
直角三角形的两锐角有啥关系？3.
直角三角形的三边有啥关系？[答案]
两锐角互余，两直角边的平方和等于斜边的平方
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境导入新课
【课堂引入】1.
在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数????
???
。2.如图，在△ABC中，∠ACB=90度，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有??
???
。（2）与∠A相等的角有???
。（3）与∠B相等的角有?????
。如图4
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。活动1：操作（1）画一画：请在纸上画一个直角三角形ABC，∠C=90°，作出斜
边AB边上的中线CD。（2）量一量：线段CD、AB、BD、AD的长度。（3）比一比：你发现了这些线段之间的哪些数量关系？你有什么发现？（4）想一想：请大家交流后，思考如何证明CD=
AB？图24－2－9[新知论证已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线求证：CD
=
AB新知概述性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。用几何语言表述：在Rt△ABC中，ACB=90°∵CD是斜边AB上的中线。CD=
。新知讲解例
在ABC中，AB=AC，AD是△BAC的高，E、F分别是AB，AC的中点。问DE、DF有什么大小关系？课堂练习1）
如图，△ABC中，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F，G分别为BC，DE的中点．则EF和DF有什么关系？图24－2－102）
如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于
点E，F，G分别为BC，DE的中点．若ED＝10，则FG的长为多少？
鼓励学生独立解决问题，让学生初步掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
活动二：实践探究交流新知
【探究1】1.
量一量：拿出你手中的三角板，量一量30度
的角所对的直角边的长度，在量一量斜边的长，你有何发现？2.
你还有什么方法得到以上结论（小组合作完成）将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?图24－2－12
通过回答探究1，回顾矩形的性质，很容易推导出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质.
活动二：实践探究交流新知
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言∵在Rt△ABC中∠A＝30°∴AC＝2BC课堂练习如图24－2－5，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，BE，CF交于点M.如果CM＝4，FM＝5，求BE的长．
练习
在△ABC中，
∠ACB=90
°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，若∠A=35°，那么∠ECB=
_________
练习
在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________练习
三角形三个内角之比为1：2：3，且最长边为4厘米，则最长边上的中线
厘米。？[活动总结]
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.教师深入到学生中对需要帮助的学生进行指导.
探究2注意引导学生复习等边三角形的性质，通过等边三角形的性质推导出“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”
活动三：开放训练体现应用
例2 如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么它的最短边与最长边之比为( A )
A.1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．2∶5
例1和例2主要考查学生直接应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”解决问题.
【拓展提升】例3 如图24－2－15，在△ABC中，BC＝18，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F，G分别为BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为(A)
A.2
B．9
C.10
D．无法确定
图24－2－15已知：如图24－2－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF＝4
cm.
图24－2－16求：(1)∠F的度数；(2)AB的长.
[答案]
(1)30° (2)8
cm
例3是一道选择题，但是解答时需要添加辅助线(如图24－2－17，连结EF，DF)，综合考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，有一定的难度.图24－2－17
活动四：课堂总结反思
【当堂训练】1.课本P104中的练习.
2.课本P104中的习题24.2.
3.补充练习题.[昆明中考]
如图24－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10
cm，若点D为AB的中点，则CD＝__5__
cm.图24－2－18
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】1.直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.图24－2－19图24－2－20
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思]
复习矩形的性质，并在此基础上推导出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，体现数学知识的前后紧密联系性及螺旋上升的思想.②[讲授效果反思]
先让学生完成探究1和探究2，对证明直角三角形的性质形成一定的思路，为证明做好铺垫，接着例题示范并由简单到复杂排列.
③[师生互动反思]
____________________________________________________
反思，更进一步提升.
A
C
B
D
A
B
C
D
1
2
A
C
B
D
E
C
B
A
D
D
B
C
A
E
F
∟
∟
B
A
C
D
C
A
B
E24.2
直角三角形的性质
教学目标
1.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的定理及应用.
2.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法.
教学重点及难点
1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.
2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.
教学流程设计
教学过程设计
一、复习引入
1、什么叫直角三角形？
2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
那么直角三角形还有其他什么性质呢？
二、探索新知
1、猜一猜
量一量
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？
2、证一证
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线.
求证：CD=AB（论证过程参照书本）
证明：延长CD到E，使DE=CD=
CE，连接AE，BE。
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=DB.
又∵CD=DE，
∴四边形AEBC是平行四边形
∵
∠ACB=Rt∠
∴四边形AEBC是矩形
∴CE=AB
∴CD=AB。
归纳总结
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【说明】想一想让学生通过等腰直角三角形这个特殊的直角三角形的斜边上中线与斜边的等量关系的研究，转入到对任意直角三角形斜边上的中线与斜边的等量关系的思考，即引导学生体会从“特殊到一般”的解决问题的策略，又帮助学生对任意直角三角形斜边上中线与斜边等量关系形成猜想，与老教材的“操作”归纳相比更注重解决问题的策略渗透.对于添加辅助线这一难点，由于在“证明举例”的学习中已有接触，教师稍加点拨后难点较易突破.
3、
应用
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90?，若∠A=30?那么BC与斜边AB有什么关系呢？
解：取线段AB的中点D，连接CD，即CD是Rt△ABC斜边上的中线.
则CD=AD=BD.
又∠A+∠B=90?，且∠A=30?，
∴∠B=60?，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=AB
归纳总结
定理：直角三角形中，30?角所对的直角边等于斜边的一半.
三、巩固新知，深化提高
1、在△ABC中，
∠ACB=90
°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB=
_________．
2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．
3、在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60?的方向，且与轮船相距海里，如图所示，该船保持航向不变，有触礁的危险吗？
练习：P
104
练习1、3
四、课堂小结
1、这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？
2、在解决具体问题中你有哪些收获？
应用定理
归纳定理
验证猜想
提出猜想
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