北师大版数学九年级上册：6.3.2 反比例函数与一次函数综合 导学案（含答案）

北师大版九年级数学上册第六章
6.3.2
反比例函数与一次函数综合
导学案
一、预习目标
1．点在函数图象上?点的坐标满足函数表达式．
2．两函数图象的交点?两函数表达式组成的方程组的解．
二、课堂精讲精练
【例1】　函数y＝与y＝kx－k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(A)
A
B
C
D
【跟踪训练1】　函数y＝kx＋b与y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)
A
B
C
D
【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋3的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，6)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P在x轴上，连接AP，BP，若△ABP的面积为18，求满足条件的点P的坐标．
解：(1)把A(m，6)代入y＝－x＋3，得－m＋3＝6，解得m＝－2，则A(－2，6)．
把A(－2，6)代入y＝，得k＝－2×6＝－12.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
联立解得或
∴B点坐标为(4，－3)．
(2)设y＝－x＋3与x轴的交点为C，则C(2，0)，
设P(t，0)，∵S△APC＋S△BPC＝S△ABP，
∴×|t－2|×6＋×|t－2|×3＝18，
解得t＝6或t＝－2，
∴P点坐标为(6，0)或(－2，0)．
【跟踪训练2】　如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n)．
(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围；
(2)求这两个函数的表达式；
(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标．
解：(1)x＜－1或0＜x＜4.
(2)把A(－1，4)代入y＝，得4＝，解得k2＝－4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
∴B(4，－1)．
把A(－1，4)，B(4，－1)代入y＝k1x＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3.
(3)设AB与y轴交于点C.
∵点C在直线y＝－x＋3上，∴C(0，3)．
∵S△AOB＝OC·(|xA|＋|xB|)＝×3×(1＋4)＝7.5，S△AOP∶SBOP＝1∶2，∴S△AOP＝2.5.
∵S△AOC＝×3×1＝1.5，∴S△COP＝2.5－1.5＝1.
又∵OC＝3，∴×3·xP＝1，xP＝.
把xP＝代入y＝－x＋3，得yP＝.
∴P(，)．
三、课堂巩固训练
1．如图，一次函数y＝kx－3的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，其中A点坐标为(2，1)，则k，m的值为(C)
A．k＝1，m＝2
B．k＝2，m＝1
C．k＝2，m＝2
D．k＝1，m＝1
2．如图，一次函数y1＝ax＋b和反比例函数y2＝的图象交于A(－2，m)，B(1，n)两点．若y1＜y2，则x的取值范围是(D)
A．x＞－2
B．x＜－2或x＞1
C．－2＜x＜1
D．－2＜x＜0或x＞1
3．如图，已知点A(4，a)，B(－10，－4)是一次函数y＝kx＋b图象与反比例函数y＝图象的交点，且一次函数与x轴交于C点．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接AO，BO，求△AOB的面积．
解：(1)∵点A(4，a)，B(－10，－4)是一次函数y＝kx＋b图象与反比例函数y＝图象的交点，
∴－4＝.∴m＝40.
∴反比例函数的表达式为y＝.
把A(4，a)代入y＝，得a＝＝10，∴A(4，10)．
把A(4，10)，B(－10，－4)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋6.
(2)在y＝x＋6中，令y＝0，得x＝－6，
∴C(－6，0)．
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×6×10＋×6×4＝42.
课堂总结
1．解决反比例函数与一次函数的综合问题，通常联立两个函数表达式，求方程组的解来确定交点坐标，也可将交点坐标代入两个表达式，求表达式中的待定系数．
2．在同一平面直角坐标系中，利用图象可以直观地比较几个函数值的大小，函数图象的相对位置高低与函数值的大小等价，图象在上方的，函数值较大．
3．解决反比例函数与一次函数图象交点个数问题，应联立两个函数表达式，构造一元二次方程，根据根的判别式判断交点情况，具体如下：①当Δ>0时，两个函数图象有两个交点；②当Δ＝0时，两个函数图象有且只有一个交点：③当Δ<0时，两个函数图象没有交点．