北师大版数学九年级上册：第六章 反比例函数 复习学案（无答案）

反比例函数知识点归纳和典型习题
基础知识梳理：
（一）反比例函数的概念
　　1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
　　2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
　　3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
　　1．函数解析式：（）
　　2．自变量的取值范围：
　　3．图象：
　　（1）图象的形状：双曲线．
　　 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　越小，图象的弯曲度越大．
　　（2）图象的位置和性质：
　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
　　当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
　　当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
　　（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
　　4．k的几何意义
　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
　　 　　　　　　　　　　　　
　　 　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
　　5．注意：
　　（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
　　（2）直线与双曲线的关系：
　　 　当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
　
（四）实际问题与反比例函数
　　1．求函数解析式的方法：
　　（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
　　2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的理解和研究上．
（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
反比例函数自身就是一种几何与代数知识的结合，因而在进行反比例函数解题的时候要尽可能多的利用数形结合思想，将代数的准确性以及几何的直观性都充分地表现出来，从而促进数学解题思路的拓展与提升，从而将数学问题的难度降低，帮助学生更轻松、更直观地进行解题。
典型题目
　　1．反比例函数的概念
　　例：下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
　　A．y=3x 　　　B．　　　　 C．3xy=1 　　　　D．
解析：明确反比例函数的三种表示方式：（）；可以写成：也可以写成xy=k的形式；
故而C答案符合要求。
　　典型习题
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
　　A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．
（2）如果函数是反比例函数，那么m的值是( )．
A、2, B.1 C.-1 D.
（3）请写出下列各题中变量与的关系，并判断y是x的反比例函数的有几个？
（1）一个矩形的面积是20，相邻的两条边长分别为 （cm）和 （cm）；
（2）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买千克大米时，花费为元；
（3）京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，所需的时间为（h），行驶的平均速度为（km/h）；
（4）一个圆柱的体积为120，它的高（cm）与底面半径（cm）
A.1 B.2 C.3 D.4
2、图象和性质
例：（1）对于函数，下列说法错误的是( )．
【A】这个函数的图象位于第二、第四象限
【B】当x＜0时，y随x的增大而减小
【C】这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
【D】当x＞0时，y随x的增大而增大
解析：本题目考察能够用文字语言解释反比例函数的性质.对于的图像是双曲线，这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，k=-2<0所以图像位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。所以B选项错误。
例（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
解析：本题目是一次函数与反比例函数综合利用数形结合解决问题，可以借助图像进行，一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，所以a<0,b>0，于是ab<0 ,所以函数的图象位于第二、四象限．
典型习题：
（1）对于反比例函数，当x＞1时，y的取值范围是( )．
【A】y＞3或y＜0 【B】y＜3 【C】y＞3 【D】0＜y＜3
（2）已知函数是反比例函数，
　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（3）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）.
【A】该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
【B】该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
【C】若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
【D】当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
（4）.已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（　　）.
【A】【B】【C】【D】
（5）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
　　
　　 　　 A． 　　　　　　B．　　　　　　 C． 　　　　　　　D．
3.函数的增减性
　　例：已知反比例函数，若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在其图象上，且x1＞x2＞0＞x3，用“＞”连接y1、y2、y3为 .
解析：此题目解法比较多。
典型习题：
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．
　　A．正数 　　　　B．负数　　　　　 C．非正数　　　　　 D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．
　　A．＜＜　　　B．＜＜　　　　　C．＜＜　　　D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
　　　　 y随x的增大而减小的函数有（ ）．
　　A．0个　　　　 B．1个 　　　　　C．2个 　　　　　D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而　　　　（填“增大”或“减小”）．
（5）.已知反比例函数，若该反比例函数的图象与直线y＝kx＋4（k≠0）只有一个公共点，则函数y=kx2－2x＋1的最大值是y= .
　4．解析式的确定
例：已知y与x之间的关系满足下表：
x … -2 -1 1 2 3 …
y … 6 12 -12 -6 -4 …
则y与x之间的函数关系式为 ；当x=4时，y= .
【答案】；-3.
　　
典型习题：
（1）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
　 （2）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x ，3）．
　　①求x 的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
　（3）某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系：
月产销量y（个） … 160 200 240 300 …
每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 …
求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式.
　　5．面积计算
　　例：如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且，求m的值．
　　解：根据反比例函数k的几何意义的m=2S△AOB=2×3=6
典型习题：
如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（ ）．
　　A．　　　　B．　　　　
C．　　　　D．
　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　
　第（1）题图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（2）题图
　　（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．
　　A．S=1 　　　　B．1＜S＜2　　　 C．S=2 　　　　　D．S＞2
　　（3）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．
　　　　 　　　　　　　　　　　　　
　　 　　　　　　　　
（4）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2= .
（5）.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//轴点P是轴上的任意一点，则△PAB的面积为 .
（6）.如图，点A、B是x轴上的点，分别过点A、B作x轴的垂线交反比例函数的图象于C、D两点，若OB=AB，则BD与AC的比值为 .
（7）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3，…是x轴正半轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…，分别过点A1、A2、A3，…作y轴的平行线，交反比例函数（x＞0）的图象于点B1、B2、B3，…，则△AnBnBn+1的面积等于 ( )．
【A】 【B】 【C】 【D】
6反比例函数与一次函数
例：已知正比例函数y=ax与反比例函数y=的图象有一个公共点A（1，2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在给出的网格中画两个函数的图象，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

解：（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2，
所以正比例函数解析式为y=2x；
把A（1，2）代入y=得b=1×2=2，
所以反比例函数解析式为y=.
（2）﹣1＜x＜0或x＞1.


典型习题
：（1）、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点．
①试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
②求的面积．
③根据图像直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围。
7.用反比例函数的建立数学模型解决实际问题.
例：某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x（元/双） 200 240 250 300
销售量y（双） 30 25 24 20
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
（3）若要每天销售这种运动鞋的利润率不低于25%，则每天的销量最多是多少双？
解：（1）由表中数据得：xy=6000，
∴y=.
（2）由题意得：（x﹣120）y=3000，
把y=代入得：（x﹣120）?=3000，
解得：x=240；
经检验，x=240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
（3）由题意得：x≥（1+25%）×120， 即：x≥150
∵y=，k=6000＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴y≤40.
答：每天的销量最多是40双.
典型习题：
（1） 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
（2）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加热前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
1.分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x间的函数关系式；
2.根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）某厂 2015年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，某产品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：
年度 2015 2016 2017 2018
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
（1）请认真分析表中数据，从所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中，确定哪种函数能表示其变化规律？说明你确定的理由，并求出y与x之间的关系式；
（2）按照这种变化规律，若2020年投入技改资金5万元，预计届时生产成本每件比2018年降低多少万元？
（4）心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB,BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?