人教版数学九年级上册22.1.4用待定系数法求二次函数解析式 教案

用待定系数法求二次函数解析式
知识与技能
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
过程与方法
让学生经历观察，比较，归纳，应用及猜想，验证的学习过程，使学生掌握
类比，转化等数学方法，养成既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯。
情感、态度与价值观
让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴
趣。
教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式
教学难点：会根据不同的条件选择适当的解析式，用待定系数法求二次函数的解析式。
教学过程
1.创设情境导入激趣
正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),已知一个点的坐标，就可求出其解析式；一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),已知两个点的坐标，也可求出其解析式，那么二次函数的解析式是什么，又需知几个点的坐标，才可求出其解析式？
2.课前自主探究
求二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的解析式
(1)关键是求出待定系数____________的值．
(2)设解析式的三种形式：
①一般式：________________________________，当已知
抛物线上三个点时，用一般式比较简便；
②顶点式：________________________________，当已知
抛物线的顶点时，用顶点式较方便；
③交点式(两根式)：________________________，当已知
抛物线与
x
轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．
3.课堂互动
例1：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）（1,4）（2,7）三点，求这个函数的解析式？
点拨：用二次函数的一般式求。
例2：
已知抛物线的顶点为（－1，－4），与Y轴交点为（0，－5），求该抛物线的解析式.
点拨：用二次函数的顶点式求。
例3：已知抛物线与X轴交于A（－3，0），B（3,0）
并经过点M（0,9），求抛物线的解析式？
点拨：用二次函数的一般式、顶点式、交点式求。
思考：
1.用一般式怎么解？
2.用顶点式怎么求解？
3.用交点式怎么求解？
让学生分组练习，再交流自己的解题体会，从而熟练地掌握用三种表达式求二次函数的解析式。
4.一题多解，灵活应用
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
4
0
-2
-2
0
…
求这个二次函数关系式。
分析：因为已知三个点的坐标，所以可以用二次函数的一般式去求解
解法一:设这个二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知二次函数的图像经过(-2，4)
(-1，0)和(0，-2)三点
,
可得方程组｛
解得：a=1,b=-1,c=-2
∴这个二次函数的解析式为
分析：因为二次函数的图像与X轴的两个交点为（-1,0），
（2,0），所以可用交点式求其解析式.
解法二：设这个二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2)
根据题意可知
∵
点(0，-2)在二次函数的图像上，
∴-2=a(0+1)(0-2),
解得a=1
∴
这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-2),
即
y=x2-x-2.
分析：由二次函数的图像过点（0，-2），（1，-2）
可求其对称轴为x=
,故可用顶点式求其解析式.
解法三：设这个二次函数的解析式为y=a(x-
)2+k
将（0，-2），（2,0）代入，可得
｛
解得
，
，
这个二次函数的解析式为.
解后反思：通过以上三种不同的解法，比较一下，哪种方法较简便？你有何收获和感想？
用二次函数的一般式，顶点式，交点式分别展示，然后讨论得出结论：选用适当的形式去求解二次函数的解析式。
五．总结反思，突破重点
1、二次函数解析式常用的有三种形式：
（1）一般式：_______________
(a≠0)
（2）顶点式：_______________
(a≠0)
（3）交点式：_______________
(a≠0)
2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。
学生充分讨论、交流后，再全班交流、归纳、总结。
六.应用迁移，巩固提高
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是3，图
象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式。
2.已知抛物线过两点A(1,0),B(0,-3)且对称轴是直线x=2,求这个抛物线的解析式。
3.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点间距离为2，且过点(0,-2),(2,6),求这个抛物线的解析式。
点拨：设抛物线的解析式为，再把点（0，-2），（2,6）代入，求出的值。
让学生通过练习，熟练地，灵活地选用三种表达式求二次函数的解析式。
七.课堂总结，反思提高
求二次函数解析式的一般方法：
1.已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式。
2.已知图象的顶点坐标、对称轴和最值,通常选择顶点式。
3.已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
谈谈本节课学习收获与体会
八.当堂测评，反馈提升
1.根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)，
(1，-2)
，
(2，3)
三点；
(2)、图象的顶点(2，3)，
且经过点(3，2)
；
(3)、图象经过(0，0)，
(8，0)
，且最高点的纵坐标是3
。
2.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1,当x=-2与
时，y=0.求这个二次函数的解析式.
3.一个二次函数，当自变量x=
-3时，函数值y=2当自变量x=
-1时，函数值y=
-1，当自变量x=1时，函数值y=
3，求这个二次函数的解析式？
4.已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是　　、　，与Y轴交点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式？
九．课后检测，拓展提升
教学反思
由于本节课是如何求二次函数的解析式问题，重在通过学习求解析式的方法，因而本节课以自学探究和启发探究为主线进行教学活动，以学生自主动手动脑探究为主，同时辅以合作讨论与交流，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，以便达到不但使学生学会，而且使学生会学的目的。
1.精心设计问题，引导学生建立数学模型
在复习旧的知识后，以类比的方式导出怎样求二次函数的解析式，并比较有何异同，从而引出待定系数法的意义，并通过自主探究、课堂互动、一题多解等过程，让学生归纳、总结得出二次函数的解析式的三种求法，并体会运用何种方法去求二次函数的解析式较简便，从而达到举一反三、触类旁通的目的。
2.为学生提供足够的时间思考，培养学生分析问题、解决问题的能力
在互动课堂这一环节中的例3，很多同学运用一般式很快地求出抛物线的解析式后，鼓励学生继续思考能否用交点式求抛物线的解析式呢？很快，有学生求出来了。接着，继续提问运用顶点式又怎样求呢？留足时间让学生讨论交流后，先求抛物线的对称轴方程，即，所以点（0,1）是顶点坐标，进而求出该抛物线的解析式。同时，为了进一步加深学生对抛物线的解析式的三种方法的理解和运用，在一题多解的环节中，又给出例4，并鼓励学生独立地用三种方法进行求解，然后进行讨论与交流。学生发现三种方法求出的解析式不相同，产生了疑惑。此时，教师加以引导学生分析、讨论与交流，最后得出三种表达式虽不同，但可相互转化。通过例3和表格中的问题例4的解决，留足时间，让学生用三种不同的方法求出二次函数的解析式，并归纳总结得出抛物线的三种不同求法的适用特点与技巧，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。同时，通过由浅入深，由易到难，层层设疑，激发学生学习的求知欲，积极主动地参与教学活动，大大地提高课堂教学效率与课堂教学效果。
例4：已知二次函数
y＝ax2＋bx＋c
中的
x，y
满足下表：
C=-2
4a-2b+c=0
A-b+c=0