2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章 图形的相似》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是（m2+1，﹣2020），则点P的位置在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知，则下列式子不一定成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．3y﹣5＝5（x﹣1）
3．若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（　　）
A．形状
B．周长
C．面积
D．斜边
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（　　）
A．5
B．5.5
C．6
D．6.5
5．如图，以点O为位似中心，画一个四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
B．点C，O，C′三点在同一直线上
C．＝
D．OB＝OB′
6．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．AB2＝AC2+BC2
D．BC2＝AC?BA
7．如图，若l1∥l2∥l3，且＝，则正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
8．如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（　　）
A．28cm2
B．27cm2
C．21cm2
D．20cm2
9．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（　　）
A．1：3
B．1：9
C．2：1
D．9：1
10．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
二．填空题
11．点P（m﹣2，3）在第一象限且到x轴和y轴的距离相等，则m＝　
　．
12．在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）在第　
　象限．
13．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是　
　．
14．△ABC中，各边中点围成的三角形周长是3cm，则△ABC的周长为　
　．
15．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为　
　cm．
16．已知一个梯形的中位线长为5cm，其中一条底边的长为6cm，那么该梯形的另一条底边的长是　
　cm．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AC＝8，AE＝6，AB＝12，则BD等于　
　．
18．将一根2m的绳子黄金分割，分割后较长绳子的长约是　
　m（精确到0.01m）．
19．如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，位似中心是点O，已知，则＝　
　．
20．如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC＝20cm，高AD＝12cm，则内接正方形的边长EF＝　
　cm．
三．解答题
21．如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
22．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．
23．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；
（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
24．如图，DE∥AB，EF∥BC，AF＝5cm，FB＝3cm，CD＝2cm，求BD的长．
25．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为（2m+3，m﹣1）．
（1）若点M在x轴上，求m的值；
（2）已知点N的坐标为（﹣3，2），且直线MN⊥x轴，求线段MN的长．
26．已知如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10．求证：△ADE∽△ACB．
27．平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点A2的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴点P（m2+1，﹣2020）的位置在第四象限．
故选：D．
2．解：∵，
∴＝＝，
故A成立；
当x＝3，y＝5时，
则，
＝＝，
∴≠，
故B不一定成立；
∵，
∴＝＝﹣，
故C
成立；
∵，
∴3y＝5x，
∴3y﹣5＝5x﹣5，
∴3y﹣5＝5（x﹣1），
故D成立；
故选：B．
3．解：∵直角三角形的两直角边之比为2：3，
∴虽不能确定两直角边的值，但能确定其比值，
∴能确定该直角三角形的形状，
故选：A．
4．解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵AD＝DC，CE＝EB，
∴DE＝AB＝6.5，
故选：D．
5．解：∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，
∴四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，A选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，
∴点C，O，C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，位似比为，
∴＝，C选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，位似比为，
∴AB∥A′B′，
∴＝＝，
∴OB＝OB′，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
6．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴＝＝，
∴选项A符合题意，
AC2＝BC?AB，
∴选项D不符合题意；
∵＝＝，
∴选项B不符合题意；
∵AB2≠AC2+BC2，
∴选项C不符合题意；
故选：A．
7．解：∵l1∥l2∥l3，且＝，
∴＝，
∴＝；
故选：C．
8．解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形AEFB，
则，
设AE＝x（cm），得到：
，
解得：x＝4.5，
则截取的矩形面积是：6×4.5＝27（cm2）．
故选：B．
9．解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，
∴两相似三角形的相似比为1：3，
∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，
故选：A．
10．解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°．
设DP的长为x，则CP长为6﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，
即x：（6﹣x）＝3：4，
解得：x＝
②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，
即x：4＝3：（6﹣x），
整理得：x2﹣6x+12＝0，
∵△＜0，
这种情形不存在，
∴满足条件的点P的个数是1个，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵点P（m﹣2，3）在第一象限且到x轴和y轴的距离相等，
∴m﹣2＝3，
解得：m＝5．
故答案为：5．
12．解：∵x2≥0，
∴x2+2＞0，
∴点P（x2+2，﹣3）的位置在第四象限．
故答案为：四．
13．解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，
∴这两个多边形的面积比是52：22，
即这两个多边形的面积比是25：4，
故答案为：25：4．
14．解：∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴AB＝2EF，AC＝2DF，BC＝2DE，
∵△DEF的周长为3，
∴DE+DF+EF＝3，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（DE+DF+EF）＝6（cm），
故答案为：6cm．
15．解：设另一个三角形的最长边为xcm，
∵两个三角形相似，
∴＝，
解得，x＝，
则另一个三角形的最长边为cm，
故答案为：．
16．解：设梯形的另一条底边为xcm，
由题意得：6+x＝2×5，
解得x＝4．
即梯形的另一条底边的长为4cm．
故答案为：4．
17．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AC＝8，AE＝6，AB＝12，
∴＝，
∴AD＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣9＝3．
故答案为：3．
18．解：分割后较长绳子的长约为：（m），
故答案为：1.24．
19．解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，
∴FG∥BC，
∴△OFG∽△OBC，
∴，
∵，
∴＝，
故答案为：．
20．解：设EF＝xcm，则HG＝MD＝xcm，
∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴，
∵BC＝20cm，高AD＝12cm，
∴AM＝（12﹣x）cm，
∴，
解得x＝7.5，
即EF的长为7.5cm，
故答案为：7.5．
三．解答题
21．解：当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
解得x＝1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
22．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
23．解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．
24．解：∵DE∥AB，EF∥BC，AF＝5cm，FB＝3cm，CD＝2cm，
∴，
∴＝，
∴，
解得：BD＝cm．
25．解：（1）由题意得：m﹣1＝0，
解得：m＝1；
（2）∵点N（﹣3，2），且直线MN⊥x轴，
∴m﹣1＝﹣3，
解得
m＝﹣2．
∴M（﹣3，﹣3），
∴MN＝2﹣（﹣3）＝5．
26．证明：∵AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
27．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（2，4）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，A2（3，6）．