人教版数学八年级上册13.4 最短路径问题课件（共19张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13.4 最短路径问题课件（共19张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 496.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-01 20:00:21 | ||
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文档简介
13.4课题学习 最短路径问题
人民教育出版社 八年级（上）
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
A
B
C
D
如图，点A关于直线l的对称点是点B，点C，D在直线l上，则CA与CB，DA与DB大小关系如何？理由是什么？
l
CA=CB
DA=DB
对称轴是对称点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
温故知新
如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
①
②
③
我选第②条路
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P
连接AB,线段AB与直线L交于点P 就是所求。
根据：两点之间线段最短.
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这就是我们这节课学习的内容——最短路径问题
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
B
·
·
A
l
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求．
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
A
B'
C
B
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
AB′＜AC′+C′B′，
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
即 AC +CB 最短．
在△AB′C′中，
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的
过程、借助什么解决问题的？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
利用了轴对称的有关知识，把两点在直线同侧问题转化为两点在直线异侧问题。从而用“两点之间，线段最短”
解决问题。
小试牛刀
如图，OM,ON是两条公路，在两条公路之间有一油库A，现在想在两条公路分别建一个加油站，为使运油的车从A出发先到一个加油站再到另一个加油站，最后回到油库A的路程最短，
问加油站应如何选址？
再试试
光华中学93班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的小明想先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
O
A
D
C
B
发现一个规律：
最短路径（最小值）问题一般回归到：
两点之间，线段最短。
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
B
C
D
E
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
?
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A·
B
M
N
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则A到B地的路程为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在MN处，A到B地的路程最短。
A·
B
M
N
E
C
D
人民教育出版社 八年级（上）
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
A
B
C
D
如图，点A关于直线l的对称点是点B，点C，D在直线l上，则CA与CB，DA与DB大小关系如何？理由是什么？
l
CA=CB
DA=DB
对称轴是对称点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
温故知新
如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
①
②
③
我选第②条路
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P
连接AB,线段AB与直线L交于点P 就是所求。
根据：两点之间线段最短.
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这就是我们这节课学习的内容——最短路径问题
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
B
·
·
A
l
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求．
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
A
B'
C
B
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
AB′＜AC′+C′B′，
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
即 AC +CB 最短．
在△AB′C′中，
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的
过程、借助什么解决问题的？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
利用了轴对称的有关知识，把两点在直线同侧问题转化为两点在直线异侧问题。从而用“两点之间，线段最短”
解决问题。
小试牛刀
如图，OM,ON是两条公路，在两条公路之间有一油库A，现在想在两条公路分别建一个加油站，为使运油的车从A出发先到一个加油站再到另一个加油站，最后回到油库A的路程最短，
问加油站应如何选址？
再试试
光华中学93班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的小明想先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
O
A
D
C
B
发现一个规律：
最短路径（最小值）问题一般回归到：
两点之间，线段最短。
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
B
C
D
E
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
?
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A·
B
M
N
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则A到B地的路程为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在MN处，A到B地的路程最短。
A·
B
M
N
E
C
D