用列举法求概率的条件是什么?
(1)试验的所有结果是有限个(n)
(2)各种结果的可能性相等.
温故:
问题1:某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率,应采取什么具体做法?
问题2:某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘,如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售柑橘时(去掉坏的),每千克大约定价为多少元?
上面两个问题,都不属于结果可能性相等的类型.移植中有两种情况活或死.它们的可能性并不相等, 事件发生的概率并不都为50%.柑橘是好的还是坏的两种事件发生的概率也不相等.因此也不能简单的用50%来表示它发生的概率.
当实验的所有结果不是有限个;
或各种可能结果发生的可能性不相等时.
又该如何求事件发生的概率呢?
一. 用频率估计概率
材料1:
思考:随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率的变化趋势有何变化?
材料:
在重复抛掷一枚硬币时,“正面向上”的频率在0.5左右摆动。随着抛掷次数的增加,一般地,频率呈现一定的稳定性:在0.5左右摆动的幅度会越来越小。这时,我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.
材料2:
则估计油菜籽发芽的概率为___
0.9
对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着实验次数的增加,一个事件出现的频率,总是在一个固定数附近摆动,显示出一定的稳定性.
一般地,在大量重复试验中,
如果事件发生的频率(m/n)
会稳定在某个常数 p 附近,
那么,事件发生的概率为 p.
概率的统计定义:
需要注意的是:
概率是针对大量重
复的试验而言的,
大量试验反映的规
律并非在每一次试
验中出现.
我们的发现:
更一般地,即使试验的所有可能的结果不是有限个,或各种可能的结果发生的可能性不相等,也可以通过试验的方法去估计一个随机事件发生的概率.只要试验次数是足够大的,频率 就可以作为概率p的估计值.
结 论:
(1)当试验的所有可能结果不是有限个
(2)或各种可能结果发生的可能性不相等时
我们一般还要通过统计频率来估计概率.
由频率可以估计概率
是由瑞士数学家雅各
布·伯努利(1654-
1705)最早阐明的,
因而他被公认为是概
率论的先驱之一.
利用频率估计概率
问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植的成活率,应采用什么具体做法?
下表是一张模拟的统计表,请补出表中的空缺,并完成表后的填空.
移植总数(n)
成活率(m)
成活的频率( )
10
8
0.80
50
47
270
235
0.871
400
369
750
662
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
9000
8073
14000
12628
0.902
二. 思考解答
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
从表可以发现,幼树移植成活的频率在_________左右摆动,并
且随着统计数据的增加,这种规律愈加越明显,所以估计幼树
移植成活率的概率为________
0.902
12628
14000
8073
9000
6335
7000
0.915
3203
3500
0.890
1335
1500
662
750
369
400
0.871
235
270
47
50
0.80
8
10
成活的频率( )
成活率(m)
移植总数(n)
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
0.9
0.9
问题2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克的柑橘,如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘,进行了“柑橘损坏率”统计,并把获得的数据记录在表中,请你帮忙完成此表.
51.54
500
44.57
450
39.24
400
35.32
350
30.93
300
24.25
250
19.42
200
15.15
150
0.105
10.5
100
0.110
5.50
50
柑橘损坏的频率( )
损坏柑橘质量(m)/千克
柑橘总质量(n)/千克
n
m
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
51.54
500
44.57
450
39.24
400
35.32
350
30.93
300
24.25
250
19.42
200
15.15
150
0.105
10.5
100
0.110
5.50
50
柑橘损坏的频率( )
损坏柑橘质量(m)/千克
柑橘总质量(n)/千克
n
m
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
从表可以看出,柑橘损坏的频率在常数_____左右摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐______,那么可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数.如果估计这个概率为0.1,则柑橘完好的概率为_______.
思 考
0.1
稳定
0.9
设每千克柑橘的销价为x元,则应有(x-2.22)×9 000=5 000
解得 x≈2.8
因此,出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元.
根据估计的概率可以知道,在10 000千克柑橘中完好柑橘的质量为
10 000×0.9=9 000千克,完好柑橘的实际成本为
概率伴随着我你他
1.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?
解:
根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125.
该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻.
问题
2.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾,一渔民通过多次捕获实验后发现:鲤鱼、鲫鱼出现的频率是0.31和0.42,则这个水塘里有鲤鱼_______尾,鲢鱼_______尾.
310
270
3.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋,但无法确定各种颜色的产量,于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生,并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率,绘制折线图如下:
(1)随着调查次数的增加,红色的频率如何变化?
(2)你能估计调查到10 000名同学时,红色的频率是多少吗?
估计调查到10 000名同学时,红色的频率大约仍是0.4左右.
随着调查次数的增加,红色的频率基本稳定在0.4左右.
(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量?
红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1:1:2 .
4,某农科所在相同条件下做了某作物种子发芽率的实验,结果如下表所示:
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
100
94
200
187
300
282
400
338
500
435
600
530
700
624
800
718
900
814
1000
900
一般地,1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的?
练 习
0.94
0.94
0.94
0.96
0.87
0.89
0.89
0.9
0.9
0.9
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
100
94
200
187
300
282
400
338
500
435
600
530
700
624
800
718
900
814
1000
900
0.94
0.94
0.94
0.96
0.87
0.89
0.89
0.9
0.9
0.9
一般地,1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的?
解答:这批种子的发芽的频率稳定在0.9即种子发芽的概率为0.9,不发芽的概率为0.1,机不发芽率为10%
所以: 1000×10%=100千克
1000千克种子大约有100千克是不能发芽的.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想:
用样本去估计总体
用频率去估计概率
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
升华:
结束寄语:
在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律
——————恩格斯