第14章 勾股定理单元达标检测卷（含答案）

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华东师大版八年级数学上册
第14章
达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(　　)
A．1，2，3
B．2，3，4
C．4，5，6
D．1，，
2．在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．±5
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M表示的数为(　　)
A．2.1　　
B.－1　　　
C.　
D.＋1
4．以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆形，若有两个半圆形的面积分别为10π和18π，则第三个半圆形的面积为(　　)
A．8π
B．28π
C．8π或28π
D．无法确定
5．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为(　　)
A．12
B．7＋
C．12或7＋
D．以上都不对
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC交AB于点D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为(　　)
A．4
B．8
C．12
D．18
8．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少应为(　　)
A．5米
B．7米
C．8米
D．12米
9．如图，长方体的底面邻边长分别是5
cm和7
cm，高为20
cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(点B为棱的中点)，那么所用细线最短为(　　)
A．20
cm
B．24
cm
C．26
cm
D．28
cm
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．2
二、填空题(每题3分，共18分)
11．已知两条线段长分别为5
cm，12
cm，则当第三条线段长的平方为________时，这三条线段能构成直角三角形．
12．如图，一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处，则树断裂前高________米．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点且BE＝1，P为对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3
cm，AC＝5
cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________cm.
15．如图，阴影部分是一个等腰直角三角形，则此等腰直角三角形的面积为________cm2.
16．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为________．
三、解答题(17，18题每题8分，19题7分，20题9分，其余每题10分，共52分)
17．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，则△ABC的形状是什么？
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝AC＝13，BD＝1.
(1)求CD的长；
(2)求BC的长．
19．如图，某港口A有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个方向以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34海里．你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
20．如图，小文和她的同学在荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B距地面0.6
m，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1＝2.4
m，距地面1.4
m，求秋千AB的长．
21．平面直角坐标系中，点P(x，y)的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P(x，y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x，y)的勾股值，记为
：?P?，即?P?＝|x|＋|y|(其中“＋”是四则运算中的加法)．
(1)求点A(－1，3)，B(＋2，－2)的勾股值?A?，?B?；
(2)求满足条件?N?＝3的所有点N围成的图形的面积．
22．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2.若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：
如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.
在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；
在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2.
∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0，
∴a2＋b2＞c2.
故当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.
所以小明的猜想是正确的．
请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你的猜想．
答案
一、1.D　2.C　3.B　4.C
5．C　6.A　7.B　8.B　9.C　10.B
二、11.119或169　12.24　13.6
14．7　15.12.5　16.()n－1
三、17.解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，
∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．
点拨：本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．
18．解：(1)∵AB＝13，BD＝1，
∴AD＝13－1＝12.
在Rt△ACD中，CD＝＝＝5.
(2)在Rt△BCD中，BC＝
＝＝.
19．解：由题意知，AM＝8×2＝16(海里)，AP＝15×2＝30(海里)．
因为两岛相距34海里，
所以MP＝34海里．
因为162＋302＝342，
所以AM2＋AP2＝MP2，
所以∠MAP＝90°.
又因为∠NAM＝60°，
所以∠PAS＝30°.
所以乙船是沿南偏东30°方向航行的．
20．解：设AB＝AB1＝x
m，
∵BE＝1.4－0.6＝0.8(m)，
∴AE＝AB－BE＝(x－0.8)m.
在△AEB1中∠AEB1＝90°，
∴AB21＝AE2＋EB21，
∴x2＝(x－0.8)2＋2.42，
∴x＝4，
即秋千AB的长为4
m.
21．解：(1)?A?＝|－1|＋|3|＝4.
?B?＝|＋2|＋|－2|＝＋2＋2－＝4.
(2)设N(x，y)，∵?N?＝3，
∴|x|＋|y|＝3.
①当x≥0，y≥0时，x＋y＝3，
即y＝－x＋3；
②当x＞0，y＜0时，x－y＝3，即y＝x－3；
③当x＜0，y＞0时，－x＋y＝3，即y＝x＋3；
④当x≤0，y≤0时，－x－y＝3，即y＝－x－3.
如图，满足条件?N?＝3的所有点N围成的图形是正方形，面积是18.
22．解：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为：a2＋b2＜c2.
证明：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD＝x.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＝AC2－DC2＝b2－x2；
在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋x)2，
∴b2－x2＝c2－(a＋x)2，
整理，得a2＋b2＝c2－2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，
∴a2＋b2＝c2－2ax＜c2，
∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.
点拨：阅读理解探究型题的解题思路：(1)遵循题目范例或给定提示进行理解；(2)联想学习过的相关定义、性质、法则等进行探究分析．本题中，通过作高将钝角三角形转化为直角三角形是解题的关键．
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精品试卷·第
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