2020-2021学年上海市松江区九年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年上海市松江区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．（4分）下列各组线段中，能组成比例线段的（　　）
A．2，3，4，5 B．2，3，4，6 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
2．（4分）下列图形中一定相似的是（　　）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个正方形
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（　　）
A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝
4．（4分）已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．（4分）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（　　）
A．＝2 B．∥，∥ C．||＝|| D．＝，＝2
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（　　）．
A．S2＝2S1 B．S1＝S3 C．S2＝2S4 D．S3＝2S4
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）若＝＝≠0，则＝　 　．
8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是　 　千米．
9．（4分）已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是　 　．
10．（4分）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是　 　cm．
11．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝　 　cm．
12．（4分）如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝　 　．
13．（4分）如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝　 　．
14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝　 　．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝　 　．
16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝　 　．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝　 　．
18．（4分）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为　 　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．
20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．
求：（1）△ABC的面积；
（2）∠C的余弦值．
22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．
（1）求证；△ABF∽△ACE；
（2）求证：＝．
24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证：＝；
（2）如果CF2＝FG?FB，求证：CG?CE＝BC?DE．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．
（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．
参考答案
一、选择题（共6小题）.
1．（4分）下列各组线段中，能组成比例线段的（　　）
A．2，3，4，5 B．2，3，4，6 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6
解：A、2×5≠3×4，不成比例；
B、2×6＝3×4，成比例；
C、2×7≠3×5，不成比例；
D、3×6≠4×5，不成比例；
故选：B．
2．（4分）下列图形中一定相似的是（　　）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个正方形
解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．
故选：D．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（　　）
A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
由勾股定理得，AB＝＝13，
则tanA＝＝，A选项计算正确；
cotA＝＝，B选项计算错误；
sinA＝＝，C选项计算错误；
cosA＝＝，D选项计算错误；
故选：A．
4．（4分）已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，
即＝，＝，＝，
故B选项答案错误；
故选：B．
5．（4分）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（　　）
A．＝2 B．∥，∥ C．||＝|| D．＝，＝2
解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；
B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；
C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；
D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；
故选：C．
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（　　）．
A．S2＝2S1 B．S1＝S3 C．S2＝2S4 D．S3＝2S4
解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝＝＝，
∴S△BOC＝2S△AOB＝2S△ODC，S△DOC＝2S△AOD，＝（）2＝，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）若＝＝≠0，则＝　　．
解：设＝＝＝k≠0，则x＝2k，y＝5k，z＝4k，
则＝＝；
故答案为：．
8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是　30　千米．
解：根据题意，3÷＝3000 000厘米＝30千米．
即实际距离是30千米．
故答案为：30．
9．（4分）已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是　12　．
解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，
∴两相似三角形的相似比是2：3，
∴两相似三角形的面积比是4：9，
∵较大的三角形的面积为27，
∴较小的三角形的面积为：27×＝12，
故答案为：12．
10．（4分）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是　6　cm．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），
故答案为：6．
11．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝　（3﹣3）　cm．
解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，
∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，
故答案为：（3﹣3）．
12．（4分）如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝　4　．
解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GP，
∴AG：AP＝2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC＝6，
∴EF＝4．
13．（4分）如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝　5　．
解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，
∴FC：FD＝1：2，
∵FC＝2.5，
∴FD＝5．
故答案为5．
14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝　4　．
解：依题意画出图形，如图：
在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵DE：BC＝1：3，
∴＝，
∵AD＝2，
∴AB＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．
故答案为：4．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝　　．
解：∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴sinα＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝　12　．
解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，
而∠A公共，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB2＝AD?AC，
而AD＝9，CD＝7，
∴AC＝16，
∴AB＝12．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝　（+）　．
解：∵点F是CD的中点，
∴FC＝DC．
又∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，
∴＝，即＝＝，
∴AE＝AC．
∵＝，＝，
∴＝+＝+，
∴＝＝（+），
故答案是：（+）．
18．（4分）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为　　．
解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．
解：原式＝（）2﹣+（）2
＝﹣+3
＝．
20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
解：2（2﹣）﹣3（+）
＝4﹣2﹣3﹣
＝﹣3．
如图，即为所求．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．
求：（1）△ABC的面积；
（2）∠C的余弦值．
解：（1）作AD⊥BC于点D，
∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，
∴BD＝3，
∴AD＝3，
∴△ABC的面积是：；
（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，
∵BC＝8，
∴CD＝5，
∴AC＝2，
∴cos∠C＝．
22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得：x＝（cm），
即正方形BDEF边长为cm；
当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，
则MN∥CH，
AB＝＝＝10，
∵CH?AB＝AC?BC
∴CH＝＝（cm），
设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，
∵QM∥AB，
∴△CMQ∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得：x＝（cm），
即正方形BDEF边长为（cm）；
∵＝＞，
∴图1利用率高．
23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．
（1）求证；△ABF∽△ACE；
（2）求证：＝．
解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，
∴BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
又∵∠CAE＝∠BAF，
∴△ABF∽△ACE；
（2）证明：∵△ABF∽△ACE，
∴＝，
∴＝，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝①，∠AEF＝∠ACB，
∵AN是∠BAC的角平分线，
∴∠EAM＝∠CAN，
∴△EAM∽△CAN，
∴＝②，
由①②可得：
＝．
24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证：＝；
（2）如果CF2＝FG?FB，求证：CG?CE＝BC?DE．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴＝，＝，
又∵DE＝EF，
∴＝，
∴＝；
（2）∵CF2＝FG?FB，
∴＝，
又∵∠CFG＝∠CFB，
∴△CFG∽△BFC，
∴＝，∠FCE＝∠CBF，
又∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBF，
∴∠FCE＝∠EFG，
又∵∠FEG＝∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴＝＝，
∴＝，即CG?CE＝BC?DE．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．
（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．
解：（1）如图1，故点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，设tanB＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
则AH＝ABsinα＝20×＝12，BH＝16，则BC＝2BH＝32，
∵ED∥AB，则∠ADE＝∠BAD＝∠B＝α，
则△ABD为等腰三角形，
在△ABD中，过点D作DM⊥AB于点M，
则MD＝BDsinB，BM＝BDcosB＝AB，
即BD＝AB＝×20，解得BD＝，
∵DE∥BA，则，即，
解得：AE＝；
（2）如图2，
在△ABD中，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE，则，
其中，AB＝20，CD＝32﹣x，BD＝x，CE＝20﹣y，
故，
化简得：y＝x2﹣x+20（0＜x＜32）；
（3）①当AD＝DE时，此时点B、D重合，不符合题意；
②当AD＝DE时，
由（2）知则＝1，即＝1，
解得x＝12，即BD＝12；
③当AE＝DE时，
∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠C，
故△ADC为等腰三角形，
则AD＝CD＝32﹣x，
在△ABD中，BD＝x，AD＝32﹣x，如图1，
则AH＝12，AH＝16，
在△ADH中，AD＝32﹣x，DH＝16﹣x，AH＝12，
由勾股定理得：（32﹣x）2＝（16﹣x）2+122，
解得x＝19.5；
综上，BD的长度为12或19.5．