人教版高二数学（A版）选修2-2教学课件：3.1.1数系的扩充和复数的概念 （30张PPT）

(共30张PPT)
问题情题
思考：x2+1=0,在实数集R中无解,
联系从自然数系到实数系的扩充
过程，你能设想一种方法，使这
个方程有解吗？
自然数
整数
有理数
实数
负整数
分数
无理数
数的发展史
今天真顺，可是我现在
共捕了多少头野猪呢？
有办法了，用结绳来计数！
我真是天才！
该如何记出入账呢?
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
1
1
?
x2=2
《九章算术》
(东汉初年)
:
第二章“粟米”：粮食的按比例折换；
第三章“衰分”：比例分配问题；?
第六章“均输”：合理摊派赋税；
第八章
“方程”：解一次方程组.
无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是中国，比欧洲早1400年.
思考：现在我们要进行数系的再
一次扩充就是要解决什么问题？
怎么解决？
前车之鉴
负整数
分数
无理数
减法
除法（除数不为0）
非负数开方
？
？
0
1
2
=
+
x
2
2
=
x
1
2
=
x
0
1
=
+
x
减法运算
Z
Q
R
除法运算
对正数的开方运算
引入负整数
引入分数
引入无理数
0
1
=
+
x
x∈N
1
2
=
x
x∈Z
2
2
=
x
x∈Q
x∈R
0
1
2
=
+
x
思考：现在我们要进行数系的再
一次扩充就是要解决什么问题？
怎么解决？
N
对负数的开方运算
引入新的数
?
数集是按照某种“规则”不断扩充着：
前车之鉴
(3)在新的数集中，原有的运算及其
性质仍然适用．
(1)新数集都是在原有数集的基础上
“添加”了一种新的数得来的；
(2)解决了某些运算在原来数集中
不是总可以实施的矛盾；
i的引入
②实数可以与
进行四则运算，
进行四则运算时，原有的加
法、乘法运算律仍然成立.
①
意义建构
引入一个新数
i
,叫作虚数单位,并规定
a＋bi（a，b∈R）
根据实数可以与
i
进行四则运算，你能写出一些与i相关的数吗?
思考：虚数单位i与实数进行四则运
算，可以形成哪种一般形式的数？
意义构建
定义：把形如a+bi的数叫做复数
（a,b
是实数）
虚数
单位
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
a
b
实部
虚部
1.复数的概念
数学理论
阅读:复数概念的发展史
代数形式
1545年，卡尔丹引入负数的平方根；
1637年，笛卡儿给出“虚数”的名称；
1777年，欧拉首次使用符号i表示－1的平方根；
1831年，高斯主张用a＋bi表示复数；
…
高斯
Gauss
德国
卡尔丹
Cardano
意大利
笛卡尔
Descartes
法国
欧拉
Euler
瑞士
阅读：复数概念的产生
概念辨析
(2)
;
(4)
;
(1)4;
【概念辨析】指出下列复数的实部和虚部:
(3)
;
(5)0;
(6)
;
(7)
.
4
0
0
4
思考：实数集与复数集有什么关系？
（a,b?R）
实数
(b=0)
虚数
(b?0)
复数z=a+bi
(特别地当a
=0时为纯虚数).
4
0
实数
虚数
纯虚数
虚数
纯虚数
实数
复
数
2.复数的分类
a=0是z=a+bi
(a
∈
R、b
∈
R)为纯
虚数的　　　　　　
条件.
必要不充分
数学理论
自然数
整数
有理数
实数
？
负数
分数
无理数
复数
虚数
数系的扩充
……
3.两个复数相等的充要条件
每个复数都可以由实部和虚部这
两个实数惟一确定．
特别地，
数学理论
(a,b,c,d∈R)
理论迁移
实数m取什么值时，复数
z=m+1+(m-1)i
是（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
例1
理论迁移
例1
实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i
是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
解：
(1)当m-1=0即m=1时，复数z是实数；
(2)当m-1≠0即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0且m-1≠0即m=-1时，
复数z是纯虚数.
例2
理论迁移
m取何实数时，复数
(1)是实数？
(2)是虚数？
(3)是纯虚数？
z=
m2-m-6
m+3
(m2-2m-15)i
+
[分析]　在本题是复数的标准形式下，即z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可．
理论迁移
例2
m取何实数时，复数
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
z=
m2-m-6
m+3
(m2-2m-15)i
+
理论迁移
例2
m取何实数时，复数
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
z=
m2-m-6
m+3
(m2-2m-15)i
+
理论迁移
例2
m取何实数时，复数
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
z=
m2-m-6
m+3
(m2-2m-15)i
+
理论迁移
例2
m取何实数时，复数
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
z=
m2-m-6
m+3
(m2-2m-15)i
+
[评]　①判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的．
②对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之一．
理论迁移
已知(2x-1)+i
=y-(3-y)i
(x,y∈R)求x,y的值
解：由复数相等的充要条件，得方程组
解得
理论迁移
例3
复数相等
转化
求方程组的解的问题
一种重要的数学思想：转化思想
已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}
P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数
m的值．
理论迁移
例4
[分析]由M∪P＝P知，M是P的子集，从而可知(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或4i，利用复数相等的条件就可求得m的值．
已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}
P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数
m的值．
理论迁移
例4
已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}
P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数
m的值．
理论迁移
例4
复数
数系的扩充
复数的概念
复数相等
课堂小结
课后作业
1.课本P104习题
2，3
2.思考:复数可以比较大小吗？
3.预习:复数的几何意义
课堂小结
与君共勉
数学是无穷的科学。
问题是数学的心脏。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。