(共28张PPT)
9.2
一元一次不等式
课时1
不等式与不等式组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
什么叫一元一次方程？
只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
知识回顾
1.
去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘．
2.
去括号：注意括号前的系数与符号．
3.
移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项时注意要改变符号．
4.
合并同类项：把方程化成
ax
＝
b(a≠0)的形式．
5.
系数化为1：方程两边同时除以
x
的系数，得
x＝m
的形式.
解一元一次方程的一般步骤是什么？
学习目标
1.理解和掌握一元一次不等式的概念.
2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等
式.
课堂导入
我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质，本节我们将学习一元一次不等式及其解法.
新知探究
知识点1：一元一次不等式的概念
思考
观察下面的不等式：
x-7
>
26，3x
<
2x+1，x
>
50，
-4x
>
3
.
它们有哪些共同特征？
只有一个未知数.
未知数的次数是1.
不等号的两边都是整式.
新知探究
含有一个未知数，未知数的次数是
1
的不等式，叫做一元一次不等式.
一元一次不等式必须同时满足四个条件：
(1)不等式的两边都是整式；
(2)只含有一个未知数；
(3)未知数的次数是
1；
(4)未知数的系数不等于
0.
新知探究
一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点
一元一次不等式
一元一次方程
相同点
未知数的个数
未知数的次数
式子特点
不同点
表示关系
左、右两边均为整式
1
1
不相等
相等
跟踪训练
下列各式哪些是一元一次不等式？
(1)
4>1；
(2)
3x-24<4；
(3)
<2；
(4)
4x-3<2y-7；
(5)
x+1=6.
不含有未知数
不是整式
含有两个未知数
等式
新知探究
知识点2：解一元一次不等式
利用不等式的性质解不等式：
解：根据不等式的性质
1，不等式的两边加
7，不等号的方向不变，
所以
x-7+7>26+7，
即
x>33.
x-7>26
这个过程也可以看做“移项”
新知探究
例1
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)
2(1+x)
<
3
；
(2)
.
一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集.
解一元一次方程的依据和一般步骤，对你解一元一次不等式有什么启发？
新知探究
(1)
2(1+x)
<
3
；
解：(1)去括号，得
2+2x
<
3
.
移项，得
2x<3-2
.
合并同类项，得
2x<1
.
系数化为
1，得
x<
.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示
.
0
新知探究
(2)
.
解：(2)去分母，得
3(2+x)
≥
2(2x-1).
去括号，得
6+3x
≥
4x-2
.
移项，得
3x-4x
≥
-2-6
.
合并同类项，得
-x
≥
-8
.
系数化为
1，得
x
≤
8
.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示
.
0
8
新知探究
解一元一次不等式的步骤：
①
去分母
不等式两边同时乘各分母的最小公倍数.
依据：不等式的性质2，3.
②
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号).
依据：分配律、去括号法则.
新知探究
③
移项
把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都
移到不等号的另一边.
依据：不等式的性质
1.
④
合并同类项
系数相加，字母及字母的指数不变.
依据：合并同类项法则.
新知探究
⑤
系数化为
1
不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为
x
x>a(x≥a)的形式.
依据：不等式的性质2，3.
解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解.
一元一次方程
一元一次不等式
解法步骤
依据
解的个数
解(集)的形式
新知探究
解一元一次方程与解一元一次不等式的相同点和不同点
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.(对于解不等式，在去分母、系数化为1时，若两边同时乘(或除以)一个负数，则不等号的方向改变)
等式的性质
不等式的性质
只有一个解
一般有无数个解
x=a
xa(x≥a)
跟踪训练
解不等式
，并把解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得
6+2x≥30-3(x-2).
去括号，得
6+2x≥30-3x+6.
移项，得
2x+3x≥30+6-6.
合并同类项，得
5x≥30.
系数化为1，得
x≥6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
2
4
-1
0
1
3
5
6
7
8
9
随堂练习
1.若
(m+2)x|m|-1+2≤7
是关于
x
的一元一次不等式，则
m=____.
忽略未知数的系数不为
0
致错
本题的易错点是直接令
|m|-1=1
进行求解，忽略
m+2≠0
这一限制条件.
m+2≠0
|m|-1=1
m≠-2
M=±2
2
随堂练习
2.解不等式
，并把解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得
1.5(x-1)-(2x+1)≥18×0.75.
去括号，得
1.5x-1.5-2x-1≥13.5.
合并同类项，得
-0.5x-2.5≥13.5.
移项，得
-0.5x≥16.
系数化为1，得
x≤-32.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
0
-32
随堂练习
3.求不等式
的负整数解.
解：去分母，得
2(2x-1)-(9x+2)≤12.
去括号，得
4x-2-9x-2≤12.
移项，得
4x-9x≤12+2+2.
合并同类项，得
-5x≤16.
系数化为1，得
x≥-3.
所以原不等式的负整数解是-3，-2，-1.
随堂练习
求一元一次不等式的特殊解的一般步骤
对于此类问题，一般先求出不等式的解集，然后在不等式的解集中找出满足限制条件的某些特殊解.解题时一定要注意端点值的取舍，要做到不重不漏，也可以借助数轴的直观性求解，如下图所示.
1
-1
-4
-3
-2
0
负整数解
课堂小结
含有一个未知数，未知数的次数是
1
的不等式，叫做一元一次不等式
一元一次不等式
概念
解法
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
拓展提升
1.已知不等式
(x-m)>3-m
的解集为
x>1，则
m
的值为___.
去分母
x-m>3(3-m)
9-2m=1
m=4
x-m>9-3m
去括号
x>9-2m
移项、合并同类项
4
拓展提升
2.解不等式
并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得
2(x-2)-5(x+4)>-30，
去括号，得
2x-4-5x-20>-30，
移项，得
2x-5x>-30+4+20，
合并同类项，得
-3x>-6，
两边都除以
-3，得
x<2.
将不等式的解集表示在数轴上如图所示.
0
2
拓展提升
3.已知关于
x
的不等式
3(x-1)<2(x+a)-5
只有三个正整数解，则
a
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
拓展提升
解：对于一元一次不等式
3(x-1)<2(x+a)-5，
去括号，得
3x-3<2x+2a-5，
移项，得
3x-2x<2a-5+3，
合并同类项，得
x<2a-2.
∵
不等式
3(x-1)<2(x+a)-5
只有三个正整数解，
∴
2a-2>3
且
2a-2≤4，
∴
a>
且
a≤3，
∴
a
的取值范围是
.
课后作业
请完成课本后习题第1、2、3题.(共24张PPT)
不等式与不等式组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
9.2
一元一次不等式
课时2
知识回顾
用一元一次方程解决实际问题的基本过程：
1.审：审清题意，找出题中的数量关系，分清题中的已知量、未知量.
2.设：设未知数，用未知数表示其他未知量.
3.列：根据题中的相等关系，列出一元一次方程.
4.解：解所列出的一元一次方程.
5.验：检验所得的解是否符合题意.
6.答：写出答案(包括单位名称).
知识回顾
解一元一次不等式的步骤：
①
去分母
②
去括号
③
移项
④
合并同类项
⑤
系数化为
1
学习目标
1.会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程.
2.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用．
课堂导入
有些实际问题中存在不等关系，本节我们将学习用不等式来表示这样的关系，然后把实际问题转化为数学问题，通过解不等式得到实际问题的答案.
新知探究
例1
去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到
60%，如果明年(365天)这样的比值要超过
70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
此实际问题中的不等关系是什么？
>70%
知识点：一元一次不等式的简单应用
新知探究
怎样设未知数表示问题中的不等关系呢？
设
x
表示明年增加的空气质量良好的天数，则明年空气质量良好的天数是
x+365×60%.
例1
去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到
60%，如果明年(365天)这样的比值要超过
70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
新知探究
解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了
x.
去年有
365×60%
天空气质量良好，明年有(x+365×60%)天空气质量良好，并且
.
去分母，得
x+219>255.5.
移项，合并同类项，得
x>36.5.
天数是整数，所以应该取
37.
这样就可以了吗？
新知探究
由
x
应为正整数，得
x≥37.
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加
37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的
70%．
在利用一元一次不等式解决实际问题时一定根据实际情况取值．
新知探究
设
x
表示明年空气质量良好的天数.
还有其他设未知数的方法吗？
例1
去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到
60%，如果明年(365天)这样的比值要超过
70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
新知探究
解：设明年空气质量良好的天数为
x.
根据题意，得
.
去分母，得
x>255.5.
由
x
应为正整数，得
x≥256.
256-365×60%=37.
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加
37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的
70%．
新知探究
你能根据例题的解题过程归纳出列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤吗？
①
审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的
关系.
②
设：设出适当的未知数.
③
列：根据题中的不等关系列出不等式.
新知探究
④
解：解不等式，求出其解集.
⑤
验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
⑥
答：写出答案.
你能根据例题的解题过程归纳出列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤吗？
某工程队计划在
10
天内修路
6
km.施工前
2
天修完
1.2
km
后，计划发生变化，准备至少提前
2
天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
跟踪训练
剩余
(6-1.2)km
剩余
6
天
6x≥6-1.2
解：设以后几天内平均每天至少要修路
x
km.
根据题意，得
6x≥6-1.2.
解得
x≥0.8.
答：以后几天内平均每天至少要修路
0.8
km.
随堂练习
1.某种商品的进价为每件
100
元，商场按进价提高
50%
后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于
20%，则至多可以打_____折.
100(1+50%)
实际售价：100(1+20%)
100(1+50%)100(1+20%)
x≥8
八
随堂练习
2.一种导火线的燃烧速度是
0.7
cm/s，一名爆破员点燃导火线后以
5
m/s
的速度跑到距爆破点
130
m
以外的安全地带，则导火线的长度至少应超过(
)
A.
18
cm
B.
18.2
cm
C.
18.5
cm
D.
19
cm
x
>18.2
B
随堂练习
3.某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设
n
个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟
10
人，每人消费
25
元，摊位的毛利润为
40%，若平均每个摊位一天(按
10
个小时计)的毛利润不低于
1000
元，则
n
的最大值为(
)
A．30
B．40
C．50
D．60
n≤60
D
课堂小结
认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.
审
设出适当的未知数.
设
根据题中的不等关系列出不等式.
列
解不等式，求出其解集.
解
检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
验
写出答案.
答
用一元一次不等式解决实际问题的步骤
拓展提升
1.小明准备用
40
元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本
6
元，每支签字笔
2.2
元，小明买了
7
支签字笔，他最多还可以买作业本的个数为(
)
A.5
B.4
C.3
D.2
6x
2.2×7+6x≤40
B
拓展提升
2.某校学生打算在星期天去登山，他们计划上午
8:30
出发，尽可能去登离驻地最远的山，如图所示，并且他们需在山顶开展
1.5
小时的文娱活动，于下午
3:00
以前必须返回驻地.如果去时平均速度为
3.2
千米/时，返回时平均速度为
4.5
千米/时，则能登上的最远的那个山是(
)
A.A
B.B
C.C
D.D
拓展提升
解析：设从驻地到所登山的距离为
x
千米，
则
，
解得
.
结合题图可知，能登上的最远的山为距离驻地
9
千米的
D.
拓展提升
3.学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆.
其中
5
名男生和
3
名女生共需化妆费
190
元；3
名男生的化妆费用与
2
名女生的化妆费用相同.
(1)求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
解：(1)设每位男生的化妆费是
x
元，每位女生的化妆费是
y
元.
依题意得
解得
答：每位男生的化妆费是
20
元，每位女生的化妆费是
30
元.
拓展提升
(2)如果学校提供的化妆总费用为
2000
元，根据活动需要至少应有
42
名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆？
解：(2)设男生有
a
人化妆，
依题意得
，
解得
a≤37.
即
a
的最大值是
37.
答：男生最多有
37
人化妆.
课后作业
请完成课本后习题第5、6题.(共32张PPT)
不等式与不等式组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-拓展提升
9.2
一元一次不等式
课时3
知识回顾
认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.
审
设出适当的未知数.
设
根据题中的不等关系列出不等式.
列
解不等式，求出其解集.
解
检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
验
写出答案.
答
用一元一次不等式解决实际问题的步骤
学习目标
1.会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程.
2.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用．
课堂导入
上节课我们学习了运用不等式解决一些实际问题，本节课我们将继续运用不等式解决一些复杂问题.
新知探究
知识点：一元一次不等式的应用
例1
某次知识竞赛共有
20
道题，每一道题答对得
10
分，答错或不答都扣
5
分．小明得分要超过
90
分，他至少要答对多少道题？
你能从题目中得到哪些信息？
新知探究
此实际问题中的不等关系是什么？
例1
某次知识竞赛共有
20
道题，每一道题答对得
10
分，答错或不答都扣
5
分．小明得分要超过
90
分，他至少要答对多少道题？
新知探究
设答对
x
道题，则答错或不答
20-x
道题.
怎样设未知数表示问题中的不等关系呢？
例1
某次知识竞赛共有
20
道题，每一道题答对得
10
分，答错或不答都扣
5
分．小明得分要超过
90
分，他至少要答对多少道题？
新知探究
答对
答错或不答
题数
得分
x
20-x
10x
-5(20-x)
例1
某次知识竞赛共有
20
道题，每一道题答对得
10
分，答错或不答都扣
5
分．小明得分要超过
90
分，他至少要答对多少道题？
解：设答对
x
道题.
根据题意，得
10x-5(20-x)>90.
解得
.
由
x
应为正整数，得
x>13.
答：他至少要答对
13
道题.
新知探究
例2
为迎接“七?一”党的生日，某校准备组织师生共
310
人参加一次大型公益活动，租用
4
辆大客车和
6
辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多
15
个.
(1)求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
题中有哪些未知量？
未知量有每辆大客车座位数和每辆小客车的座位数.
新知探究
4
辆大客车座位数+6
辆小客车座位数=310；
1
辆大客车座位数-1
辆小客车座位数=15.
题中有哪些等量关系？
例2
为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共
310
人参加一次大型公益活动，租用
4
辆大客车和
6
辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多
15
个.
(1)求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
新知探究
4
辆大客车座位数+6
辆小客车座位数=310；
1
辆大客车座位数-1
辆小客车座位数=15.
可设每辆小客车的座位数是
x
个，每辆大客车的座位数是
y
个.
如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？
新知探究
解：(1)设每辆小客车的座位数是
x
个，每辆大客车的座位数是
y
个.
根据题意，得
解得
故每辆大客车的座位数是
40
个，每辆小客车的座位数是
25
个.
新知探究
设
a
表示租用小客车辆数，则租用大客车(10-a)辆.
(2)经学校统计，实际参加活动的人数增加了
40
人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
10辆
350人
怎样设未知数表示问题中的不等关系呢？
新知探究
小客车
大客车
辆数
座位数
a
10-a
25a
40(10-a)
每辆大客车的座位数是
40
个，每辆小客车的座位数是
25
个.
(2)经学校统计，实际参加活动的人数增加了
40
人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
10辆
350人
新知探究
解：(2)设租用
a
辆小客车才能使所有参加活动的师生均有座位，则租用大客车(10-a)辆.
根据题意，得
25a+40(10-a)≥310+40，解得
a≤3，
因为
a
为非负整数，
所以符合条件的
a
的最大值为
3.
故最多租用小客车
3
辆.
某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参加决赛的资格.
(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
跟踪训练
解：(1)设甲队初赛阶段胜
x
场，则负(10-x)场．
根据题意，得
2x＋(10－x)＝18，
解得
x＝8.
则
10-x＝2.
答：甲队初赛阶段胜
8
场，负
2
场．
(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
(2)设乙队在初赛阶段胜
a
场．
根据题意，得
2a＋(10－a)>15，
解得
a>5.
因为
a
为非负整数，
所以
a
至少为
6.
答：乙队在初赛阶段至少要胜
6
场．
跟踪训练
随堂练习
1.郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买
A，B
两种奖品以鼓励抢答者.
A
种奖品每件
16
元，B
种奖品每件
4
元.现要购买
A，B
两种奖品共
100
件，总费用不超过
900
元，那么
A
种奖品最多购买多少件？
A
B
件数
费用
a
100-a
16a
4(100-a)
16a+4(100-a)≤900
随堂练习
解：设
A
种奖品购买
a
件，则
B
种奖品购买(100-a)件，
根据题意，得
16a+4(100-a)≤900，解得
a≤.
因为
a
为整数，
所以
a
的最大值为
41.
故
A
种奖品最多购买
41
件.
2.建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为
120
万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工
150
天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工
40
天后甲队返回，两队又共同施工了
110
天，这时甲乙两队共完成土方量
103.2
万立方.
(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
随堂练习
解：(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为
x
万立方，
乙队原计划平均每天的施工土方量为
y
万立方．
根据题意，得
解得
答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为
0.42
万立方和
0.38
万立方．
随堂练习
(2)在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？
随堂练习
(2)设乙队平均每天的施工土方量要比原来提高
z
万立方．
根据题意，得
40(0.38＋z)＋110(0.38＋z＋0.42)≥120，
解得
z≥0.112.
答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高
0.112
万立方才能保证按时完成任务．
3.某水果店
5
月份购进甲、乙两种水果共花费
1700
元，其中甲种水果
8
元/千克，乙种水果
18
元/千克.6
月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果
10
元/千克，乙种水果
20
元/千克.
(1)若该店
6
月份购进两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款
300
元，求该店
5
月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克；
随堂练习
解：(1)设
5
月份购进甲、乙两种水果分别为
x
千克和
y
千克．
根据题意，得
解得
答：该店
5
月份购进甲种水果
100
千克、乙种水果
50
千克．
随堂练习
(2)若
6
月份这两种水果进货总量减少到
120
千克，且甲种水果不超过乙种水果的
3
倍，则
6
月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
随堂练习
解：(2)设
6
月份购进乙种水果
m
千克，该店需要支付这两种水果的货款为
W
元，则购进甲种水果(120-m)千克，
该店需要支付这两种水果的货款
W＝10(120-m)+20m＝10m+1200.
因为甲种水果不超过乙种水果的
3
倍，
所以
120-m≤3m，解得
m≥30.
所以两种水果的货款最少应当是
10×30+1200=1500(元).
拓展提升
1.某林场计划购买甲、乙两种树苗共
6000
棵，甲种树苗每棵
0.5
元，乙种树苗每棵
0.8
元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为
90%和
95%．若要使这批树苗的成活率不低于
93%，且购买树苗的总费用最低，应选购乙种树苗(
)
A．2000棵
B．2400棵
C．3000棵
D．3600棵
D
x
6000-x
(6000-x)90%+95%x≥93%×6000
x≥3600
拓展提升
2.阳光百货超市直接从厂家购进
A、B
两种酱油，A
种酱油每瓶进价
6.5
元，B
种酱油每瓶进价
8
元，该超市购进
A、B
两种酱油共
200
瓶，总进价为
1420
元．
(1)求超市购进
A、B
两种酱油各多少瓶？
解：(1)设超市购进
A
种酱油
x
瓶，购进
B
种酱油
y
瓶，
根据题意，得
解得
答：超市购进
A
种酱油
120
瓶，购进
B
种酱油
80
瓶．
拓展提升
(2)若该超市将
A、B
两种酱油的售价分别定为每瓶
8
元和
10
元，且将这
200
瓶酱油卖完获利不低于
339
元，则
A
种酱油至多进多少瓶？
解：(2)设
A
种酱油购进
m
瓶，
根据题意，得
(8-6.5)m+(10-8)(200-m)≥339，
解得
m≤122，
∵
m
为整数，∴
m
的最大值为
122，
即
A
种酱油至多进
122
瓶．
答：A
种酱油至多进
122
瓶．
3.某厂准备生产甲、乙两种商品共
8
万件销往“一带一路”
沿线国家和地区.已知
2
件甲种商品与
3
件乙种商品的销售收入相同，3
件甲种商品比
2
件乙种商品的销售收入多
1500
元.
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
拓展提升
解：(1)设甲种商品的销售单价是
x
元，乙种商品的销售单价是
y
元．
依题意得
解得
答：甲种商品的销售单价是
900
元，乙种商品的销售
单价是
600
元．
拓展提升
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于
5400
万元，则至少销售甲种商品多少万件？
拓展提升
解：(2)设销售甲种商品
a
万件．
依题意得
900a+600(8-a)≥5400，
解得
a≥2.
答：至少销售甲种商品
2
万件．
课后作业
请完成课本后习题第7、8题.(共38张PPT)
不等式与不等式组
人教版-数学-七年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
9.2
一元一次不等式
课时4
学习目标
1.会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程.
2.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用．
课堂导入
上节课我们学习了运用不等式解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立不等式的数学模型解应用题.
新知探究
知识点：一元一次不等式的应用
例3
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过
100
元后，超出
100
元的部分按
90%收费；在乙商场累计购物超过50
元后，超出
50
元的部分按
95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
你能从题目中得到哪些信息？
新知探究
我们需要分三种情况讨论：
(1)
累计购物不超过
50
元；
(2)
累计购物超过
50
而不超过
100
元；
(2)
累计购物超过
100
元.
例3
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过
100
元后，超出
100
元的部分按
90%收费；在乙商场累计购物超过50
元后，超出
50
元的部分按
95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
新知探究
购物款
在甲商场花费
在乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
例3
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过
100
元后，超出
100
元的部分按
90%收费；在乙商场累计购物超过50
元后，超出
50
元的部分按
95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
新知探究
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
(1)
当累计购物不超过
50
元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样.
购物款
到甲商场花费
到乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
新知探究
购物款
到甲商场花费
到乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
(2)当累计购物超过
50
元而不超过
100
元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少.
新知探究
(3)当累计购物超过
100
元时，两个商场都享受购物优惠，需要列不等式求解.
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
购物款
到甲商场花费
到乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
新知探究
①若到甲商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100)，
解得
x>150.
这就是说，累计购物超过
150
元时，到甲商场购物花费少.
购物款
到甲商场花费
到乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
新知探究
②若到乙商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100)，
解得
x<150.
这就是说，累计购物超过
100
元而不到150
元时，到乙商场购物花费少.
购物款
到甲商场花费
到乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
新知探究
③若
50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)，
解得
x=150.
这就是说，累计购物为
150
元时，到甲、乙两商场购物花费一样.
购物款
到甲商场花费
到乙商场花费
0<
x
≤50
50<
x
≤100
x
>100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
新知探究
现在你能给出一个合理的消费方案了吗？
购物不超过
50
元和刚好是
150
元时，在两家商场购物没有区别；
超过
50
元而不到
150
元时在乙商场购物花费少；
超过
150
元后，在甲商场购物花费少．
某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，有两种购票方式：甲旅行社说：“老师买全票，其他人全部半价优惠.”乙旅行社说：“所有人按全票价的
6
折优惠.”已知全票价
240
元.设学生有
x
名，就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
跟踪训练
解：①若
240+120x=144x+144，解得
x=4，
此时两家旅行社收费一样；
②若
240+120x>144x+144，解得
x<4，
此时乙旅行社更优惠；
③若
240+120x<144x+144，解得
x>4，
此时甲旅行社更优惠．
1.某市打市内电话的收费标准是：每次
3
min
以内(含
3
min)
0.22元，以后每分钟
0.11
元(不足
1
min
部分按
1
min
计).小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过
0.5
元.
她最多打了几分钟的电话？
通话时间
电话费
x
≤3
x
>
3
0.22
0.22+0.11(x-3)
通话时间超过
3
分钟
随堂练习
解：设小琴打了
x
min
的电话，则有
0.22+(x-3)×0.11≤0.5，
解得
x
≤
.
由于电话计时按照分钟计时，x
应是整数，
所以
x
的最大值为
5.
答：小琴最多打了
5
min
的电话.
随堂练习
2.友谊商店
A
型号笔记本电脑的售价是
a
元/台.最近，该商店对
A
型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售.方案二：若购买不超过
5
台，每台按售价销售；若超过
5
台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买
A
型号笔记本电脑
x
台.
(1)当
x=8
时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？
最少费用是多少元？
随堂练习
解：(1)当
x=8
时，方案一费用：0.9a·8=7.2a(元)，
方案二费用：5a+0.8a×(8-5)=7.4a(元)．
∵a＞0，
∴7.2a＜7.4a.
∴方案一费用最少，最少费用为
7.2a
元．
随堂练习
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求
x
的取值范围.
解：(2)若
x≤5，方案一每台按售价的九折销售，方案二每台按售价销售．
所以采用方案一购买合算．
购买台数
方案一
方案二
x
≤
5
x
>
5
0.9ax
0.9ax
ax
5a+0.8a(x-5)
随堂练习
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求
x
的取值范围.
购买台数
方案一
方案二
x
≤
5
x
>
5
0.9ax
0.9ax
ax
5a+0.8a(x-5)
若
x>5，方案一的费用：0.9ax
元；
方案二的费用：5a+0.8a(x-5)=0.8ax+a(元)．
由题意得
0.9ax>0.8ax＋a，
解得
x>10.
随堂练习
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求
x
的取值范围.
购买台数
方案一
方案二
x
≤
5
x
>
5
0.9ax
0.9ax
ax
5a+0.8a(x-5)
∴若该公司采用方案二购买更合算，x
的取值范围是
x>10
且
x
为正整数.
随堂练习
3.“绿水青山，就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境，需购买
A，B
两种型号的垃圾处理设备共
10
台(每种型号至少买
1
台).已知每台
A
型设备日处理能力为
12
吨，每台
B
型设备日处理能力为
15
吨，购回的设备日处理能力不低于
140
吨.
(1)请你为该景区设计购买
A，B
两种设备的方案.
随堂练习
解：(1)设购买
A
型设备
x
台，则购买
B
型设备(10-x)台．
根据题意，得
12x+15(10-x)≥140，
解得
x≤3.
∵
x
为正整数，∴
x=1，2，3.
∴
该景区有三种购买方案：
方案一：购买
A
型设备
1
台，B
型设备
9
台；
方案二：购买
A
型设备
2
台，B
型设备
8
台；
方案三：购买
A
型设备
3
台，B
型设备
7
台．
随堂练习
(2)已知每台
A
型设备价格为
3
万元，每台
B
型设备价格为
4.4
万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于
40
万元时，则按
9
折优惠，问：采用(1)设计的哪种方案，可以使购买费用最少，为什么？
随堂练习
解：(2)各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9=42.6(万元)>40万元，
实际付款：42.6×0.9=38.34(万元)；
方案二：3×2+4.4×8=41.2(万元)>40万元，
实际付款：41.2×0.9＝37.08(万元).
课堂小结
数学问题
(一元一次不等式)
实际问题
(包含不等关系)
数学问题的解
(不等式的解集)
实际问题的答案
设未知数
列不等式
检验
解不等式
1.某商店
5
月
1
日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案.方案一：用
168
元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的
8
折优惠.方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的
9.5
折优惠.已知小敏
5月
1
日前不是该商店的会员.请帮小敏算一算，采用哪种方案更合算？
拓展提升
解：设所购买的商品的价格为
x
元时，
若采用方案一更合算，则
0.95x＞0.8x+168，
解得
x>1120.
若采用方案二更合算，则
0.95x<0.8x+168，
解得
x<1120.
若采用两种方案一样，则
0.95x=0.8x+168，
解得
x=1120.
所以小敏所购买商品的价格超过
1120
元时，采用方案一更合算.
拓展提升
拓展提升
2.某通信公司升级了两种通信业务：“A
业务”使用者先缴
15
元月租费，然后每通话
1
分钟付话费
0.2
元；“B
业务”不缴月租费，每通话
1
分钟付费
0.3
元，你觉得选哪种业务更优惠？
解：设通话时间为
x
分钟，则“A
业务”应缴纳话费
为(15+0.2x)元，“B
业务”应缴纳话费为
0.3x
元.
①若“A
业务”更优惠，则
15+0.2x＜0.3x，解得
x＞150；
②若“B
业务”更优惠，则
15+0.2x＞0.3x，解得
x＜150；
③若两种业务优惠一样，则
15+0.2x=0.3x，解得
x=150.
拓展提升
所以，当通话时间超过
150
分钟时，选“A
业务”更优惠；
当通话时间不足
150
分钟时，选“B
业务”更优惠；
当通话时间为
150
分钟时，两种业务优惠一样.
2.某通信公司升级了两种通信业务：“A
业务”使用者先缴
15
元月租费，然后每通话
1
分钟付话费
0.2
元；“B
业务”不缴月租费，每通话
1
分钟付费
0.3
元，你觉得选哪种业务更优惠？
拓展提升
3.小明同学三次到某超市购买
A，B
两种商品，其中仅有一次是有折扣的.购买数量及消费金额如下表：
购买
A
商品数量/件
购买
B
商品数量/件
消费金额/元
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
类别
次数
拓展提升
购买
A
商品数量/件
购买
B
商品数量/件
消费金额/元
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
类别
次数
(1)第_______次购买有折扣；
三
拓展提升
购买
A
商品数量/件
购买
B
商品数量/件
消费金额/元
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
类别
次数
(2)求A，B
两种商品的原价；
分析：设
A
种商品的原价为
x
元/件，B
种商品的原价为
y
元/件，
拓展提升
解：(2)设
A
种商品的原价为
x
元/件，B
种商品的原价为
y
元/件，
根据题意，得
解得
故
A
种商品的原价为
30
元/件，B
种商品的原价为
40
元/件.
拓展提升
购买
A
商品数量/件
购买
B
商品数量/件
消费金额/元
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
类别
次数
(3)若购买
A，B
两种商品的折扣数相同，求折扣数；
分析：设折扣数为
z.
拓展提升
解：(3)设折扣数为
z.
根据题意，得
，
解得
z
=
6，
故折扣数为
6.
拓展提升
购买
A
商品数量/件
购买
B
商品数量/件
消费金额/元
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
类别
次数
(4)小明同学再次购买
A，B
两种商品共
10
件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过
200
元，求至少购买
A
种商品多少件.
拓展提升
解：(4)设购买
A
种商品
m
件，则购买
B
种商品(10-m)件.
根据题意，得
，
解得
.
因为
m
为正整数，所以
m
的最小值为
7.
故至少购买
A
种商品
7
件.
课后作业
请完成课本后习题第9题.