鲁教版（五四制）八年级上册5.3 三角形的中位线教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）八年级上册5.3 三角形的中位线教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 575.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-30 12:42:59 | ||
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文档简介
5.3
三角形的中位线
一、教学目标
1.知识目标：通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理
2.能力目标：通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想
3.情感目标：培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题,通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神．
二、教学重点、难点
1.教学重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。
2.教学难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。
三、教学过程
（一）明确三角形中位线的概念，给出研究课题
1．如图，A、B两棵树被池塘隔开，现在要测量出A、B两树间的距离
，但又无法直接去测量，怎么办？
2.我们已学过三角形的有关线段，请同学们在图中，画出△ABC
的中线．
（先独立完成，然后投影交流）
提问：三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？
在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连接DE、DF、EF，
（稍等片刻，让学生完成操作）
提问：这三条线段都是什么点间的连线？
这三条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？
（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是△ABC的中位线）
说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）
3．提出问题
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
（边口述，边板书）
那么请同学们观察一下，猜一猜：
中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？
4．猜想结论
为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：
我们把三角形沿中位线DE剪一刀．
试一试：你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？
你也可以与同桌合作，共同探索，一起来拼．（估计拼图不很困难，教师也不必指导；但教师应巡视，对完成的学生教师可提问：你拼成的图形是平行四边形吗？为什么？要求同桌一起讨论）
我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上，请同学们打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上．（学生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板书结论）
（二）推理、论证结论
1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？
（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个命题吗？
（板书）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，
（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）
证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ ．
∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴ DE∥BC且．
通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理，
（把命题改写成三角形中位线定理）
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．练习1（投影，三个小题逐一出现）
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别是BD、BF的中点，
问MN与AC有什么关系？为什么？
（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）
三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，从第（3）题可知：当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决．
（三）三角形中位线定理的应用
例1
求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。（解答见课本）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC，BF=FC
求证：DE、AF互相平分
证明：连接DF、EF
∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC（三角形中位线定理）
同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴DE、AF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
例2
求证：顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形。
[分析]考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连接AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF∥=，同理GH∥=，则EF∥GH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接AC
∵E、F是AB、BC的中点
∴EF=，EF∥AC
同理，GH=，GH∥AC
∴EF∥GH，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形。
例3
如右图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G．
求证：
．
证明：连接ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
∴ DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴ △ACG∽△DEG，
∴ ，
∴ ．
拓展
如右图，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，
如图，那么我们同理有，所以有
，即两图中的点G与G′是重合的．
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
回归：如图，A、B两棵树被池塘隔开，现在要测量出A、B两树间的距离
，但又无法直接去测量，怎么办？
（四）课堂练习
（五）课后作业
A
E
D
C
B
FF
A
B
C
D
E
F
H
G
三角形的中位线
一、教学目标
1.知识目标：通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理
2.能力目标：通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想
3.情感目标：培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题,通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神．
二、教学重点、难点
1.教学重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。
2.教学难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。
三、教学过程
（一）明确三角形中位线的概念，给出研究课题
1．如图，A、B两棵树被池塘隔开，现在要测量出A、B两树间的距离
，但又无法直接去测量，怎么办？
2.我们已学过三角形的有关线段，请同学们在图中，画出△ABC
的中线．
（先独立完成，然后投影交流）
提问：三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？
在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连接DE、DF、EF，
（稍等片刻，让学生完成操作）
提问：这三条线段都是什么点间的连线？
这三条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？
（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是△ABC的中位线）
说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）
3．提出问题
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
（边口述，边板书）
那么请同学们观察一下，猜一猜：
中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？
4．猜想结论
为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：
我们把三角形沿中位线DE剪一刀．
试一试：你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？
你也可以与同桌合作，共同探索，一起来拼．（估计拼图不很困难，教师也不必指导；但教师应巡视，对完成的学生教师可提问：你拼成的图形是平行四边形吗？为什么？要求同桌一起讨论）
我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上，请同学们打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上．（学生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板书结论）
（二）推理、论证结论
1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？
（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个命题吗？
（板书）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，
（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）
证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ ．
∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴ DE∥BC且．
通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理，
（把命题改写成三角形中位线定理）
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．练习1（投影，三个小题逐一出现）
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别是BD、BF的中点，
问MN与AC有什么关系？为什么？
（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）
三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，从第（3）题可知：当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决．
（三）三角形中位线定理的应用
例1
求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。（解答见课本）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC，BF=FC
求证：DE、AF互相平分
证明：连接DF、EF
∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC（三角形中位线定理）
同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴DE、AF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
例2
求证：顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形。
[分析]考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连接AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF∥=，同理GH∥=，则EF∥GH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接AC
∵E、F是AB、BC的中点
∴EF=，EF∥AC
同理，GH=，GH∥AC
∴EF∥GH，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形。
例3
如右图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G．
求证：
．
证明：连接ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
∴ DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴ △ACG∽△DEG，
∴ ，
∴ ．
拓展
如右图，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，
如图，那么我们同理有，所以有
，即两图中的点G与G′是重合的．
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
回归：如图，A、B两棵树被池塘隔开，现在要测量出A、B两树间的距离
，但又无法直接去测量，怎么办？
（四）课堂练习
（五）课后作业
A
E
D
C
B
FF
A
B
C
D
E
F
H
G