人教版数学九年级上册 24.3正多边形和圆同步测试试题（一）（Word版 含解析）

正多边形和圆同步测试试题（一）
一．选择题
1．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是（　　）
A．30°
B．60°
C．55°
D．75°
2．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（　　）
A．8°
B．15°
C．18°
D．28°
3．如图，用四根长为5cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动acm，同时添加另外四根长为5cm的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则a的值为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．5cm
D．
cm
4．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
5．正六边形的半径与边心距之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．4π
7．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（　　）
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
8．边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BO，则∠OBC的度数是（　　）
A．50°
B．45°
C．65°
D．60°
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（　　）
A．9+3
B．12+6
C．18+3
D．18+6
二．填空题
11．若一个正方形的半径是3，则这个正方形的边长是　
　．
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是　
　．
13．定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为　
　；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为　
　．（用含a的代数式表示）
14．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1＝　
　°．
15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转　
　°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为　
　．
三．解答题
16．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
17．在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上边的事实，解答下面的问题：
用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．
18．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是　
　，图③中∠APB的度数是　
　；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
19．（1）操作：如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）思考：如图1，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为　
　时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；如图3，当扇形纸板的圆心角为　
　时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（直接填空）
（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为　
　度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：连接OB，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOD＝＝120°，
∴∠BPD＝∠BOD＝60°，
故选：B．
2．【解答】解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，
又∵正方形的内角是90°，
∴∠1＝108°﹣90°＝18°；
故选：C．
3．【解答】解：如图，由题意可知：△ABC是等腰直角三角形，AB＝5，AC＝BC＝a．
则有：a2+a2＝52，
∴a＝或﹣（舍弃）
故选：D．
4．【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
5．【解答】解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝R，
∴R：r＝1：＝2：，
故选：D．
6．【解答】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1＝4（米），
设正方形边长是x米，则
x2+x2＝42，
解得：x＝2，
所以正方形桌布的边长是2米．
故选：A．
7．【解答】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴∠CPD＝COD＝30°，
故选：A．
8．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，OB＝．
∴⊙O的半径是，
故选：B．
9．【解答】解：连接OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
故选：D．
10．【解答】解：连接OE，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠DOE＝＝60°，
∴∠DAE＝∠DOE＝×60°＝30°，∠AED＝90°，
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝2OD＝12，
∴DE＝AD＝×12＝6，AE＝DE＝6，
∴△ADE的周长为6+12+6＝18+6，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵正方形ABCD的半径是3，
∴OB＝OC＝3，∠BOC＝＝90°，
∴BC＝＝＝3，
故答案为：3．
12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝．
∴正方形的边长是，
故答案为：．
13．【解答】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°﹣60°＝300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n﹣2）×180＝150n，
解得n＝12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．
故答案为：6；27a．
14．【解答】解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，
又∵正方形的内角是90°，
∴∠1＝108°﹣90°＝18°；
故答案为：18．
15．【解答】解：如图2所示：
将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．
在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，
则MN＝PM＝AM，
∵AM+MN+BN＝AB＝4，
∴AM+AM+AM＝4，
解得：AM＝4﹣2，
则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；
故答案为：（），32﹣32．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，
∴∠AFM＝∠BMH．
（2）解：猜想：FM＝MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．
②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG＝BH，连接MG．
∵∠BAF＝120°，AF＝AB，
∴∠ABF＝30°，
∴∠ABG＝180°﹣30°＝150°．
∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，
∴∠CBQ＝×60°＝30°，
∴∠MBH＝∠ABC+∠CBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠MBH＝∠MBG＝150°．
∵，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB＝∠MGB，MH＝MG，
∵∠AFM＝∠BMH，∠HMB+∠MHB＝30°，
∴∠AFM+∠MGB＝30°，
∵∠AFM+∠MFB＝30°，
∴∠MFB＝∠MGB．
∴FM＝MG＝MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP＝MB，连接PM．
∵AF＝AB，FP＝MB，
∴PA＝AM
∵∠A＝120°，
∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°，
有∠FPM＝150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠FPM＝∠MBH，
由（1）知∠PFM＝∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM＝MH．
17．【解答】解：因为周长一定（2+3+4+5+6＝20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大．
取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．
此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．
即AB＝AC＝7cm，BC＝6cm，
∴AD＝＝2（cm），
∴最大面积为：×6×2＝6（cm2）．
18．【解答】解：（1）∠APB＝120°
图1：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝180°﹣∠APN＝120°；
（2）同理可得：∠APB＝90°；∠APB＝72°．
（3）由（1）可知，∠APB＝所在多边形的外角度数，故在图n中，．
19．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，设扇形两半径交AB、AD分别于E、F，
作连接OA、OD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠AOD＝90°．（1分）
∵扇形的圆心角∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠AOF＝∠DOF+∠AOF，
∴∠AOE＝∠DOF，（2分）
∴△AOE≌△DOF（ASA），（3分）
∴AE＝DF．（4分）
所以被纸板覆盖部分的总长度为AF+EA＝AF+DF＝AD＝a为定值．（5分）
（2）在等边三角形△ABC中，连接OB，OC，当△OCE≌△OBD时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC为定值．此时∠DOE＝∠BOC＝360°÷3＝120°．
同理在正五边形中，∠FOG＝∠DOE＝360°÷5＝72°．
（3）圆心角为，（8分）
是定值，被纸板覆盖部分的面积是．（10分）
故答案为：120°；72°；．
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