空间向量法求二面角的计算（共27张PPT）

(共27张PPT)
向量法求二面角的计算
湖南省衡阳市衡南县衡云中学
高中数学教师欧阳文丰
1、二面角的平面角
①方向向量法
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角
的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角。
L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量
，
则二面角
的大小
＝〈
〉
2、二面角
若二面角
的大小为
,
则
②法向量法
典型例题讲解
例1　在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.
解答
方法一　如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，
∴D(b，－a，0)，P(0，0，a)，
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
方法二　建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).
∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0，1，1)，
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
（二面角为法向量的夹角的等角。）
反思与感悟
(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.
(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
典型例题讲解
（二面角为法向量的夹角的补角。）
（注意：题目要求是求二面角的正弦值。）
4、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（2）a
为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
跟踪训练1　若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝
，求二面角A－PB－C的余弦值.
课堂练面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，
又∵二面角A－PB－C是钝二面角，
（二面角为法向量的夹角的补角。）
跟踪训练2如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝
PD.
求二面角Q－BP－C的余弦值．
答案：二面角Q－BP－C的余弦值为
.（二面角为法向量的夹角的等角。）
跟踪训练3如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
求二面角A1—BD—C1的余弦值．
答案：二面角A1－BD－C1的余弦值为
.
（二面角为法向量的夹角的补角。）
4、如图6，在棱长为
的正方体
中，
分别是棱AB,BC上的动点，且
。
（1）求证：
；
（2）当三棱锥
的体积取最大值时，求二面角
的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6