14.2
勾股定理的应用（第1课时）
知识点：勾股定理.
重
点：运用勾股定理解决实际问题.
难
点：把生活中的立体问题，转化为平面直角三角形问题.
基础巩固：
1．如图所示，木工做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在对角的顶点钉一个加固木条，则木条的长为( )
A．90厘米
B．100厘米
C．150厘米
D．110厘米
1题图
3题图
2.丽丽想知道学校旗杆的高,她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2m,当她把绳子的下端拉开6m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( )
A.8
m
B.10
m
C.12
m
D.14
m
3.如图，在△ABC中,∠C=90°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，则AE2－BE2等于（
）
A.AC2
B.BD2
C.BC2
D.DE2
4．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行60海里后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里
B．45海里
C.海里
D.海里
4题图
5题图
5．如图，王大伯家屋后有一块长12
m，宽8
m的长方形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( )
A．9
m
B．7
m
C．5
m
D．3
m
6．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需
米．
6题图
7题图
8题图
7.
如图，长方体的底面长和宽分别为3
cm和1
cm，高为6
cm，如果用一根细绳从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要
cm.
8．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为
cm（杯壁厚度不计）．
9.小明同学想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度.他设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端，然后将绳子向外拉.当把绳子接上1m时，此时一端到达离旗杆底端5m处，如图所示，小明算出旗杆高度是
m.
9题图
11题图
10.若在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是 .
11.如图,在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,则∠BAC+∠CDE= °.
12．如图，某大楼工地发生火灾，消防车立即赶到，因为火势太大，消防车无法靠近，所以只能在距大楼9米处升起云梯到火灾窗口实施灭火，已知云梯AB长41米，云梯底部距地面的高AC＝2米，问：实施灭火窗口距离地面的高度是多少？
12题图
13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？
13题图
14.如图,四边形ABCD是一个四边形的草坪，通过测量获得如下数据：AB=4m,
BC=7m，
AD=3m,
CD=2m，请你测算这块草坪的面积.
14题图
15.如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少cm?
15题图
16.如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的取值为3)
16题图
17.如图，棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程是多少？
17题图
18.如图,圆柱底面半径为2cm,高为9πcm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A,B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线的最短长度.
18题图
强化提高：
1.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形．要求：在两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．
2．如图，长方体的长为15
cm，宽为10
cm，高为20
cm，点B到点C的距离为5
cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
2题图
14.2
勾股定理的应用（第1课时）答案
基础巩固：
1.
B.
解析：长方形木框的两边与加固木条构成直角三角形，两直角边为80厘米、60厘米，那么木条长度为100厘米.
故选B.
2.A.点拨：设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m.
根据题意得:x2+62=(x+2)2,解得x=8,
∴旗杆的高为8m.故选A.
3.A.点拨：连结AD,∵D为BC的中点,
∴CD=BD,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=∠BED,由勾股定理得
AE2=AD2－DE2,BE2=BD2－DE2,
AE2－BE2=AD2－BD2=AD2－CD2=AC2.
3题图
4．D.
解析：由题意可得∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，AB＝60海里，
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝＝海里．
故选D.
5．D.
解析：连结OA，在直角三角形OAB中，OB=6,
AB=8,
则OA=10,
10-6=4m,
所以选：D.
6.
7.
7.
10.
8.
20.
解析：如图：
8题图
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B===20（cm）．
故答案为20．
9.
12.
解析：设旗杆的高为xm,则绳子长为(x+1)m,
由勾股定理得,(x+1)2=x2+52,解得,x=12.
答:旗杆的高度是12m.
答案:12
10.
90°.
解析：∵AB=5cm,BC=6cm,AD=4cm,又∵AD为BC边上的中线,∴BD=6×=3(cm),∴AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴∠ADC的度数是90°.
答案:90°
11.
45.
解析：如图,∵BF=CF,CK=EK,
∴∠FBC=∠CEK=45°,
∴∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°.
连结AD,BE,
∵BC2=22+22=8,CE2=12+12=2,BE2=32+12=10,
∴BC2+CE2=BE2,∴∠BCE=90°.
∵AD2=32+12=10,CD2=32+12=10,
AC2=42+22=20,
∴AD2+CD2=AC2,AD=CD,∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=45°,∴∠1+∠2=45°,
∴∠BAC+∠CDE=45°.
答案:45
11题图
12.
解：设失火的窗口距地面的高度为h米，
由题意得(h－2)2＋92＝412，解得h＝42，
∴实施灭火窗口距地面的高度为42米.
13.
解：设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD＝AB＝(x＋1)尺，
在Rt△ABC中，BC＝5尺，
由勾股定理得BC2＋AC2＝AB2，
即52＋x2＝(x＋1)2，25＋x2＝x2＋2x＋1，2x＝24，
∴x＝12，x＋1＝13.
答：水池的水深是12尺，这根芦苇长是13尺
14.
解：连结BD,如图所示:
14题图
在Rt△ABD中,AB=4m,AD=3m,
根据勾股定理得:BD==5m,
又BC=7m,CD=2m,
∴BC2=49,BD2+CD2=25+24=49,
∴BD2+CD2=BC2,∴△BDC为直角三角形,
则草坪的面积为S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=AB·AD+BD·DC=×4×3+×5×2=6+5(m2).
15.
解：在砖的侧面展开图上,
连结AB,
则AB的长即为A处到B处的最短路程.
在Rt△ABD中,
因为AD=AN+ND=5+10=15(cm),
BD=8cm,
所以AB2=AD2+BD2=152+82
=289=172.
所以AB=17cm.
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.
15题图
16.解：根据题意过点A沿母线展开，作出圆柱的侧面展开图(如图).过点B作母线BC，
∴BC=12cm，AC=2×3×3×=9，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=122+92=225，
∴AB=15(cm).
答：这只蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm.
16题图
17题图
17.
解：如图，将正方体展开如下图所示，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程是：==10.
18.
解：圆柱体的展开图如图所示：
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB,
即在圆柱体的展开图(长方形)中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;
∵圆柱底面半径为2cm,
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:2π×2=4π(cm).
又∵圆柱高为9πcm,
∴小长方形的一条边长是9π÷3=3π(cm).
根据勾股定理求得AC=CD=DB==5π(cm).
∴AC+CD+DB=15πcm,即棉线的最短长度为15πcm.
18题图
强化提高：
1.
解析：
要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理的知识．
解：如图，有四种拼接方案可供参考．
1题图
2.
解：将长方体展开，分别得到如图所示三种情况，连结AB.
在图①中，AB＝＝＝；
在图②中，AB＝＝＝；
在图③中，AB＝＝＝，
∵＞＞，∴AB的最小值为，即25
cm，
答：蚂蚁需要爬行的最短距离是25
cm.14.2
勾股定理的应用（第2课时）
知识点：勾股定理及其逆定理.
重
点：综合运用勾股定理及其逆定理，解决实际问题.
难
点：构造直角三角形，解决实际问题.
基础巩固：
一、选择题：
1.已知一个直角三角形的木板，三边的平方和为1
800cm2，则斜边长为(
)
A.30cm
B.90cm
C.180cm
D.120cm
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为(
)
A.4
B.4或34
C.16或34
D.4或
3.如图，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是(
)
A.h≤17cm
B.h≥8cm
C.15cm≤h≤16cm
D.7cm≤h≤16cm
3题图
4题图
4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是( )
A．19
B．13
C．31
D．35
5．如果直角三角形的斜边长为20
cm，两条直角边长之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为( )
A．27
cm
B．30
cm
C．40
cm
D．48
cm
6．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．10
cm
6题图
7题图
8题图
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD的长为正整数，则符合条件的点D共有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
8．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：
9.一个有盖的长方体文具盒的长、宽、高分别是12cm，4cm，3cm，那么它最多能
放
cm长的铅笔.
10．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连结OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．
10题图
11题图
12题图
11．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，连结AC，∠DAC＝∠BAC.若BC＝4
cm，AD＝5
cm，则AB＝________cm.
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，则DE的长为________．
13.如图，在水塔O的东北方向32
m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24
m处有一建筑工地B，在AB间建一条水管，则水管的最小长度是
.
13题图
14题图
15题图
14．如图，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，正方形AnBnBn＋1Cn按图放置，使点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，B4，…，Bn在射线OB上．若∠AOB＝45°，OB1＝1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，S4，…，Sn，则Sn＝________．
15．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为
.
三、解答题：
16.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00从点A处甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙再从A处出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10：00，甲、乙两人相距多远？
16题图
17.如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高；
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
17题图
18．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
18题图
19．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
19题图
强化提高：
1．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
1题图
2.
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8
cm，腰长为5
cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25
cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直．
2题图
14.2
勾股定理的应用（第2课时）答案
基础巩固：
1.
A.
2.
D.
3.
D.
解析：
(1)当筷子斜放时，(24-h)2=152+82，24-h=17，∴h=7(cm).
(2)当筷子与水杯底垂直时，h=24-8=16(cm).
∴7cm≤h≤16cm.
4．A.
5．D.
解析：设两条直角边长分别为3x
cm，4x
cm，根据勾股定理，
得(3x)2＋(4x)2＝202，解得x＝4，则两条直角边的长分别为12
cm，16
cm，
所以这个直角三角形的周长为48
cm.
6．B.
7.
C.
解析：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝＝3.
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，∴3≤AD＜5.
∵线段AD的长为正整数，∴AD＝3或4，
当AD＝3时，点D就在点E的位置，
当AD＝4时，点D在点E的两侧各有一个位置，
∴符合条件的点D共有3个．故选C.
7题图
8．C.
解析：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中只有△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形．
9.13.
10．
.
解析：
∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB.
在Rt△OBC中，OC＝＝＝.
∵以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC＝，∴点M对应的实数为.
11．8.
12.
14.
13.
40m.解析：在直角三角形OAB中，OA=32m,
OB=24m,由勾股定理得，AB=40m.
14．
22n－3.
解析：∵OB1＝1，△OB1A1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1.
∵四边形A1B1B2C1是正方形，∴A1C1＝1.
∵△A1C1A2是等腰直角三角形，∴S1＝×1×1＝.
同理A2C2＝2，A3C3＝22，A4C4＝23，…，AnCn＝2n－1，
∴Sn＝×2n－1×2n－1＝22n—3.
15．2.7米.解析：在Rt△ABC中，
AB＝＝＝2.5（米），∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，BD＝＝2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
即小巷的宽为2.7米.
16.
解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点.
则AB=2×6=12(千米)，AC=1×5=5(千米)
在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，
∴BC=13(千米)
.即甲乙两人相距13千米
16题图
18题图
17.解：(1)∵AB=25，OB=7.
∴OA==24(米).
(2)根据题意，可得：OA′=20A′B′=25OA′=15.
∴BB′=15-7=8(米).
18．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
19．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
19题图
1题图
强化提高：
1．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，∴AD=，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．
∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝160．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．
2.
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，BC＝8
cm，∴BD＝CD＝BC＝4
cm.
由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．
分两种情况：
(1)当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图①，
∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25
cm，
∴BP＝4－2.25＝1.75，
∴0.25t＝1.75，解得t＝7.
(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB时，如图②，
同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，
∴0.25t＝6.25，解得t＝25.
综上所述，当点P运动的时间为7
s或25
s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．
