华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理单元测试题（word解析版）

华东师大版八年级上册第14章勾股定理单元测试题
考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题(将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每小题3分，共30分)
1．下列几组数中，是勾股数的有（　　）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、.
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
2．下列各组数不能作为直角三角形的三边长的为（　　）
A．8，15，17
B．7，12，15
C．12，16，20
D．7，24，25
3．用反证法证明命题“已知：a∥b，b∥c．求证：a∥c．”，应先假设（
）
A．a不平行于b
B．b不平行于c
C．a不平行于c
D．a垂直c
4．如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（
）．
A．北偏东20°方向上
B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上
D．北偏西40°方向上
4题图
5题图
5．如图，25和169分别是两个正方形的面积，字母B所代表的正方形的面积是（
）
A．12
B．13
C．144
D．194
6．下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（
）
A．，，
B．
C．
D．
8．如图所示，圆柱高8cm，底面半径为2cm，
一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（取3）是（
）
A．20cm
B．14cm
C．10cm
D．无法确定
8题图
9题图
10题图
9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（?
?）
A．
B．3-
C．-1
D．3-
10．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（
）
A．18
B．48
C．120
D．72
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是-1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是_________________．
11题图
12题图
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的格点上，连接AB、BC，则∠ABC=________°．
13．用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设
．
14．如图的楼梯上铺地毯，则需要地毯的总长是
米．
14题图
15题图
15．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是
米．
16．如图，图①是棱长为4cm的立方体，沿其相邻三个面的对角线(虚线)裁掉一个角，得到如图②的几何体，则一只蚂蚁沿着图②几何体的表面，从顶点A爬到顶点B的最短距离为
cm.
16题图
三、解答题(本题共有8小题，共72分)
17．(本题10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1，△ABC
的三个顶点都在格点上.
(1)直接写出
AB、AC、BC
的长．
(2)判断△ABC
的形状，并说明理由．
17题图
18．(本题8分)如图，一棵大树在离地面5米处断裂，大树顶部落在离大树底部12米处，求大树断裂之前有多高？
18题图
19．(本题8分)数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
3
8
15
24
…
b
4
6
8
10
…
c
5
10
17
26
…
由表可知，当n=2时，a=3，b=4，c=5；
当n=3时，a=8，b=6，c=10；
………
（1）当n=6时，a=________，b=_________，c=________.
（2）请你分别观察a，b，c与n(n＞1)之间的关系，并分别用含有n的代数式表示a，b，c.
a=________，b=_________，c=________.
（3）猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
20．(本题8分)用反证法证明：△ABC的三个内角中至少有两个锐角．
21．(本题8分)如图，每个小正方形的边长是1
（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；
（2）在图②中画出一个面积是2的正方形．
22．(本题10分)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题：
（1）求PR、PQ的值；
（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)
22题图
23．(本题10分)如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为
(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
23题图
24．(本题10分)数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=，其中p=（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB=9，AC=8，BC=7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
24题图
华师大版八年级上册第14章勾股定理单元测试题参考答案
1．B.
解析：∵满足a2+b2=c2
的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
2．B.
解析：A.
82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意；
B.
72+122≠152，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
C.
162+122＝202，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意；
D.
72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．C.
解析：命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，
故用反证法证明：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”，应假设“a不平行c”，
故选：C．
4．B.
解析：∵
AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B.
4题图
5．C.
解析：根据勾股定理和正方形的面积公式可得：字母B所代表的正方形的面积是169－25=144,
故选C．
6．A.
解析：A.AC2+BC2=AB2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，符合题意；
B.
∠A=∠B，不能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C.
∠A+∠B+∠C=180°，不能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
D.
，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
7．D.
解析：A.
，，，∵，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
B.
∵，∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C.
∵，而，计算得∠A=90，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D.
∵，计算得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
8．C.
解析：如图所示：
8题图
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC=(cm)，矩形的宽AC=8
cm，
在直角三角形ABC中，AC=8
cm，BC=6
cm，
根据勾股定理得：AB=(cm)．
所以蚂蚁要爬行的最短距离为10cm．
故选：C．
9．D.
解析：如图设AB交CD于点O，连接BD，
作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
9题图
,
,
,
,
，
在Rt△ADB中，，
∴AC=BC=2，，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM=ON，
∵,
.
故选D．
10．D.
解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A，C的最短距离为线段AC的长.
∵已知圆柱的底面直径BC=，
∴AD=·÷2=3，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，
∴AC2=AD2+CD2=18，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，
则小虫爬行的最短路程的平方为：(2AC)2=4AC2=72.
故选D.
11．.
解析：∵AD=2,CD=AB=1,∠CDA=90°.
∴AC=．∴AE=AC=．
∴OE=AE－AO=．∴E表示的实数是：．
故答案为:．
12．45.
解析：如图，连接AC
由勾股定理得：
∴△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°.
故答案为：45°.
13．“内错角相等，两直线不平行”
.
解析：反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设“内错角相等，两直线不平行”，
故答案为：“内错角相等，两直线不平行”．
14．7.
解析：∵AB=5，BC=3，∠C=90°，∴AC==4，
∵平移不改变线段的长度，∴地毯的长=楼梯的水平宽度+垂直高度=AC+BC=7，
故答案为：7
15．2.5．.
解析：将台阶展开，如图，
三级台阶平面展开图为长方形，长即AC为2米，
宽即BC为(0.2+0.3)×3米，即1.5米，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
即Rt△ABC的斜边AB的长，
在Rt△ABC中，AC=2米，BC=1.5米，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是2.5米．
16．2＋2.
解析：
如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD=，
则BE=
在Rt△ACE中，AE==
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
故答案为
17．解：(1)AB＝，AC＝=，BC＝；
(2)△ABC
是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，∴△ABC
是等腰直角三角形．
18．解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5m，AC＝12m，
∴BC＝＝＝13（m），
∴AB+BC＝5+13＝18（m）
答：大树断裂之前的高度为18m．
19．解：（1）由表格中的数据得到：a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
∴当n=6时，a=35，b=12，c=37；
（2）观察表中的数据得到：a与c正好是n2加减1，b=2n，
∴a，b，c与n(n＞1)之间的关系，分别用含有n的代数式表示为：
a=
n2-1，b=2n，c=
n2+1；
（3）猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形，
理由：∵
，
，∴
，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
20．解：假设同一三角形中最多有一个锐角，则另两个角为直角或钝角，
故此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即△ABC中至少有两个角是锐角．
21．解：（1）面积为2的直角三角形，其两直角边的乘积应为4，取其两直角边都为2即可（方法不止一种）；
（2）面积为2的正方形，其边长应为，而在方格纸中，每个小正方形的对角线长刚好为，所以以小正方形的对角线为边长作正方形即可；
所画图形如图所示：
22．解：（1）PR的长度为：12×1.5=18海里，
PQ的长度为：16×1.5=24海里；
（2）∵RQ2=PR2+PQ2，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号向北偏东40°方向航行，即∠1=40°，
∴∠2=∠RPQ-∠1=90°-40°=50°，
即
“海天”号向北偏西50°方向航行．
23．解：(1)点B的坐标是（3,4）
∵
AB=BD=3，∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，则∠DAE=∠BAD=45°，则E在y轴上。
AE=AB=BD=3，∴四边形ABDE是正方形，OE=1，
则点E的坐标为(0,1)；故答案为(3,4),(0,1)；
(2)点E能恰好落在x轴上．理由如下：
∵四边形OABC为长方形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，
由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，
由勾股定理可得EC＝＝＝2，
则有OE＝OC－CE＝m－2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.
故答案为(1)
(3，4)；(0，1)；
(2)
点E能恰好落在x轴上，m的值是3.
17题图
24．解：（1）
=12
△ABC面积是
.
（2）等面积法求出，，
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
24题图
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，∴IF=IH=IG，
∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴（9?IF+8?IF+7?IF）=，解得IF=
故S△ABI
=AB?FI=．