2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．（4分）下列四条线段能成比例线段的是（　　）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．，2，3 D．2，3，4，5
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A． B． C．2 D．
4．（4分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．（4分）如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（　　）
A． B．7 C．8 D．9
6．（4分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
二.填空题（共12小题）.
7．（4分）两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是　 　．
8．（4分）若sinα＝cos60°，则锐角α＝　 　．
9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么cosB＝　 　．
10．（4分）化简：3（）﹣2（）＝　 　．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tanA＝，则AC＝　 　．
12．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　 　．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　 　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
14．（4分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是　 　．
15．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是　 　cm．（结果保留整数）
16．（4分）如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为　 　．
17．（4分）如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝　 　．
18．（4分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为　 　．
三.解答题（本大厦共7题，满分78分）
19．（10分）计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．
21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．
22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．
23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG?DC．
24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．
（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；
（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．
25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一.单项选择题（共6小题）.
1．（4分）下列四条线段能成比例线段的是（　　）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．，2，3 D．2，3，4，5
解：A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；
B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；
C、×3＝×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．
故选：C．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴tanB＝＝，
故选：C．
3．（4分）如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A． B． C．2 D．
解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα＝＝．
故选：B．
4．（4分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
5．（4分）如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（　　）
A． B．7 C．8 D．9
解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，
∴，
∴CD＝．
故选：A．
6．（4分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是　4：9　．
解：∵两个三角形的相似比是2：3，
∴它们面积的比是（）2＝，
故答案为：4：9．
8．（4分）若sinα＝cos60°，则锐角α＝　45°　．
解：∵sinα＝cos60°＝×＝，
∴α＝45°．
故答案为：45°．
9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么cosB＝　　．
解：∵tanA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴cosB＝．
故答案为：．
10．（4分）化简：3（）﹣2（）＝　　．
解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．
故答案是：．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tanA＝，则AC＝　6　．
解：∵tanA＝，
∴＝，即＝，
解得，AC＝6，
故答案为：6．
12．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　　．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴QC＝，
故答案为：．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　或1.5　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
解：有两种情形：
如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝（cm），
当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，
∴△ADE′∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE′＝1.5（cm），
故答案为或1.5．
14．（4分）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是　10　．
解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6．
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10．
故答案为：10．
15．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是　185　cm．（结果保留整数）
解：设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，
由题意得，≈0.618，
解得，x≈43.7，
∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，
∴≈0.618，
解得，y≈114.4，
其身高＝114.4+70.7≈185（cm），
故答案为：185．
16．（4分）如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为　　．
解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
由题图知：AB＝2，BC＝＝2，
AC＝＝2．
∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，
∴×2×2＝×2×BD，
∴BD＝．
在Rt△BCD中，
sin∠ACB＝＝
＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝　2：1：3　．
解：∵E，F分别为CB、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴△CHE∽△CDB，
∴＝＝＝，
∴CH＝DH，
∵AD＝DB，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EGH∽△AGD，
∴＝＝，
∴DG：GH：CH＝2：1：3，
故答案为：2：1：3．
18．（4分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为　　．
解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，
在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，
∴△MDN∽△NEQ，
∴＝，
∴DN＝＝2，
在△MDN和△PBQ中，
，
∴△MDN≌△PBQ（ASA），
∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，
∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，
∴DM＝＝，
∴每个小正方形的面积为，
故答案为：．
三.解答题（本大厦共7题，满分78分）
19．（10分）计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝+3
＝．
20．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．
解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；
21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．
解：（1）∵AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3，
∴＝＝．
又∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝＝，即＝．
（2）＝+＝﹣+．
22．（10分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．
解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，
∴△BCG∽△EDG，
∴，即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14，
∴这座建筑物的高BC为14米．
23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，作AE⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2＝DG?DC．
【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，
又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ACF+∠ACB＝∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠B＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF；
（2）证明：∵∠DAE＝90°，作AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝DAE＝45°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠DAG＝∠ACB，
∵∠ADG＝∠CDA，
∴△DAG∽△DCA，
∴，
∴AD2＝CD?DG，
由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴AF＝AD，
∴AF2＝DG?DC．
24．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．
（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；
（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．
解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，
∴，
∵AE＝x，BC＝y，AB＝4，AD＝1
∴BE＝4﹣x，
∴，
∴y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；
（2）∵DE⊥EC，
∴∠DEC＝90°，
又∵DF＝FC，
∴DC＝2EF＝2×2.5＝5，
过D点作DH⊥BN于H，则DH＝AB＝4，
∴Rt△DHC中，HC＝＝＝3，
∴BC＝BH+HC＝1+3＝4，即y＝4，
∴﹣x2+4x＝4
解得：x1＝x2＝2，
∴AE＝2；
（3）△BCE的周长不变．理由如下：
C△AED＝AE+DE+AD＝4+x，BE＝4﹣x，
设AD＝m，则DE＝4﹣m，
∵∠A＝90°，
∴DE2＝AE2+AD2即，（4﹣m）2＝x2+m2
∴，
由（1）知：△AED∽△BCE，
∴
∴
∴△BCE的周长不变．
25．（14分）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）若点E与点P重合，则k＝1×2＝2；
（2）当k＞2时，如图1，
点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，
∴S△FPE＝PE?PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE＝S△GEF，
∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE＝?k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1，
∵S△OEF＝2S△PEF，
∴k2﹣1＝2（k2﹣k+1），
解得k＝6或k＝2，
∵k＝2时，E、F重合，
∴k＝6，
∴E点坐标为：（3，2）；
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵∠MHF＝∠EBM＝90°，∠HMF＝∠MEB，
∴△FHM∽△MBE，
∴＝，
∵FH＝1，EM＝PE＝1﹣，FM＝PF＝2﹣k，
∴＝，BM＝，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，
∴（1﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，此时E点坐标为（，2），
②当k＞2时，如图3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，
∵FQ＝1，EM＝PF＝k﹣2，FM＝PE＝﹣1，
∴＝，BM＝2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2+MB2，
∴（k﹣2）2＝（）2+22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，
∴k＝．
此时E点坐标为（，2），
∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．