初中数学冀教版八年级上册第十七章17.1等腰三角形练习题
一、选择题
已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则它的周长为
A.
1cm
B.
8cm
C.
10cm
D.
8cm或10cm
如图：在中，，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果是等腰三角形，那么等于
A.
B.
C.
D.
如图，已知BO平分，CO平分，且，设，，，则的周长是
A.
30
B.
33
C.
36
D.
39
等腰三角形的一个角是，则它的底角是
A.
B.
C.
或
D.
如图，在等腰中，，，于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则的最小值是
A.
3
B.
C.
D.
6
如图，AE垂直于的平分线交于点D，交BC于点E，，若的面积为2，则的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，P是边AB上的一个动点不与顶点A重合，则的度数可能是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为
A.
B.
9
C.
6
D.
如图，中，，，，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则的度数是
A.
B.
C.
D.
等腰三角形的一个内角为，则另外两个内角的度数分别是
A.
，
B.
，或，
C.
，
D.
，或，
如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，在中，，点E在CA延长线上，于点P，交AB于点F，若，，则CE的长度为______．
如图，在中，BD平分交AC于点D，过D作交AB于点E，若DE刚好平分，且，则______．
如图，以的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接若，，则的大小为______度．
若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为______cm．
一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形顶角度数为______．
三、解答题
如图，已知中，厘米，，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
直接写出：
______厘米；______厘米；
______厘米；______厘米；
可用含t、a的代数式表示
若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
如图，在中，，，D为BC边上一点，．
求的度数；
请说明：．
如图，中，，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
若，求的度数；
若，周长为13，求BC的长．
如图，是等腰三角形，，AD是底边BC上的高，交AC于点试说明是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，不满足三角形的三边关系；
当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，三角形的周长是10cm．
故选：C．
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为4cm两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：设．
根据翻折变换的特点和等腰三角形的性质可知，．
，
．
故选：C．
易得，那么根据三角形内角和定理可得度数．
本题主要考查了折叠问题和等腰三角形的性质及角平分线的问题．注意折叠前后的对应角相等．
3.【答案】A
【解析】解：平分，CO平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长．
故选：A．
根据BO平分，CO平分，且，可得出，，所以三角形AMN的周长是．
本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：当这个角是顶角时，底角；
当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故它的底角是．
故选：B．
题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，体现了分类讨论的思想，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，作，垂足为H，交AD于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
，D是BC边上的中点，
是的平分线，
，
是点B到直线AC的最短距离垂线段最短，
，，D是BC边上的中点，
，
，
故选：A．
作，垂足为H，交AD于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出BH即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
6.【答案】A
【解析】解：平分，
．
，
．
在和中，，，，
≌，
．
，的面积为2，
的面积为．
又，
的面积的面积．
故选：A．
先证明≌，从而可得到，然后先求得的面积，接下来，可得到的面积．
本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】D
【解析】解：连接BD交AC于O，
，，
垂直平分AC，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
四边形ABCD的面积，
故选：D．
连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，求得，于是得到结论．
本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设，且，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得
，
解得，即，
故选：C．
设，则，可用x表示出和，再利用外角的性质可表示出和，在中利用三角形内角和求得x，即可得的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质及外角的性质，用表示出和是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
故选：D．
根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：分情况讨论：
若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角；
若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为．
故选：D．
已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：，，
，
，
观察作图过程可知：
CE平分，
，
的度数为
故选：B．
根据等腰三角形的性质可得的度数，观察作图过程可得，进而可得的度数．
本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
13.【答案】8
【解析】证明：在中，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
是等腰三角形．
又，，
，，
．
故答案为：8
根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
14.【答案】6a
【解析】解：平分，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：6a．
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15.【答案】34
【解析】解：，，
，
故答案为：34．
根据三角形的内角和得出，根据等腰三角形两底角相等得出，进而根据角的和差得出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
16.【答案】17
【解析】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
，
所以不能构成三角形，故舍去，
答案只有17．
故答案为17
因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
17.【答案】或
【解析】解：当是锐角三角形时，
，，
，
当是钝角三角形时，
，，
故答案为：或
根据等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型．
18.【答案】12?
4t?
?
at
【解析】解由题意得：，；，，
，，，，
，
分两种情况：
若≌，
则，
，
，
若≌，
则，
，
．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，，at．
根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长；
根据，可知：分两种情况：若≌，若≌，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
．
【解析】由，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则；
根据三角形外角性质得到，而由得到，再根据等腰三角形的判定可得，这样即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
20.【答案】解：，，
，
又垂直平分AB，
，
，
；
垂直平分AB，
，
，
又，周长为13，
．
【解析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21.【答案】证明：在中，，
，
是等腰三角形；
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】根据等角对等边可得是等腰三角形；根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质解答即可．
此题考查等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学冀教版八年级上册第十七章17.2直角三角形练习题
一、选择题
如图，在中，，AD是的高，若，则
A.
B.
C.
D.
如图，在等腰直角中，，点M为EF上一点，连接DM，以D为直角顶点作等腰直角，连接NE，MN交DE于点Q，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，直角三角形ABC中，，CD是AB边上的高，且，，，则
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，BD平分，若，则AD的长为
A.
2
B.
3
C.
4
D.
如图，等腰直角三角形ABC中，，，将BC绕点B顺时针旋转，得到BP，连结CP，过点A作交CP的延长线于点H，连结AP，则的度数
A.
随着的增大而增大
B.
随着的增大而减小
C.
不变
D.
随着的增大，先增大后减小
如图，已知和都是等腰三角形，，BD，CE交于点F，连接下列结论：；；平分；其中正确结论的个数有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于
A.
B.
C.
D.
在直角三角形ABC中，：：：m：4，则m的值是
A.
3
B.
4
C.
2或6
D.
2或4
如图所示，是等腰直角三角形，将的直角顶点放在BC的中点上，转动，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：?其中总是成立有?
?
?
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是．
A.
B.
C.
D.
二、填空题
已知直角三角形一个角为，则这个三角形最小的角为______．
在直角三角形中，最长边为10cm，最短边为5cm，则这个三角形中最小的内角为______度．
如图，在中，，，E是AB上一点，，，P是AC上一动点，则的最小值是______．
如图，为等腰直角三角形，，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则点到直线AC的距离为______．
三、计算题
如图1，已知锐角中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
求证：．
连结DM，ME，猜想与之间的关系，并证明猜想．
当变为钝角时，如图2，上述中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
如图，在中，，，点E是内部一点，连结CE，作，，垂足分别为点D，E．
求证：≌；
若，，则ED的长是______．
四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
如图中，，点D在AC边上，，若，求的度数．
已知D是斜边AB的中点，，，过点D作使，，连接CE并延长CE到P，使，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
如图1，当D，B，F共线时，求证：
；
；
如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：．
已知D是斜边AB的中点，，，过点D作使，，连接CE并延长CE到P，使，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
如图1，当D，B，F共线时，求证：
；
；
如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质和余角的性质，属于基础题．先根据高线和三角形的内角和定理得：，，再由余角的性质可得结论．
【解答】
解：，
，
是的高，
，
，
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：在MN上截取，如图所示：
与都是等腰直角三角形，
，，，，
，
在和中，，
≌，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
在MN上截取，由SAS证得≌，得出，由SAS证得≌，得出，由，，得出，则，得出是等边三角形，则，由三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据直角三角形的面积公式，得
，
则．
故选：A．
根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算．
注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
4.【答案】B
【解析】解：作于E，
，
，
平分，，，
，
故选：B．
作于E，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形角的性质求出DE，根据角平分线的性质定理解答．
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：将BC绕点B顺时针旋转，得到BP，
，
，，
，，，
，
，
，
的度数是定值，
故选：C．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内接和定理可求，由外角的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，作于M，于N．
，
，
，，
≌，
，，故正确
，
，
，故正确，
≌，，，
，
平分，
，故正确，
若成立，则，推出，显然与条件矛盾，故错误，
故选：C．
如图，作于M，于证明≌，利用全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
绕点A逆时针旋转后，能与重合，
，，
为等腰直角三角形，
，
故选：A．
利用等腰直角三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：设、、的度数分别为2x、mx、4x，
当为直角时，，
解得，，
当为直角时，，
解得，，
故选：C．
分为直角、为直角两种情况，根据直角三角形的概念列式计算即可．
本题考查的是直角三角形的概念，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的一半．
连DA，由是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得，，，得到，由，根据同角的余角相等得到，所以≌，，，由此可分别判断．
【解答】
解：连DA，如图，
是等腰直角三角形，D点为BC的中点，
，，，
，
又是一个含角的直角三角形，
，
，
≌，
，，所以正确；
，
，所以正确；
所以正确．
故选D．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于根据三角形内角和定理得出，根据选项中的条件求出三角形的最大角的度数，再判断即可．
【解答】
解：A、，，
，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、，，
，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、，：：：4：3
，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
D、，，
，即三角形不是直角三角形，故本选项正确，
故选D．
11.【答案】
【解析】解：这个三角形最小的角，
故答案为：．
根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：在直角三角形中，最长边为10cm，最短边为5cm，
这个三角形中最小的内角为，
故答案为：30．
根据含角的直角三角形中，所对的边等于斜边的一半求出．
此题考查的知识点是含角的直角三角形，解答此题的关键是先确定角所对的边和斜边．
13.【答案】10
【解析】解：作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时最小，
则，，，
在中，，，
，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：10．
首先作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时最小，然后由在中，，，可得，又由，，可求得AE与AD的长，继而求得的长．
此题考查了最短路径问题以及等腰直角三角形性质．注意找到点P的位置是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作，
，，
，
把绕点A逆时针旋转得到，
，，，，
是等边三角形，
，，，
≌
，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，过点作，由旋转的性质可得，，，，可得是等边三角形，由“SSS”可证≌，可得，由三角形的面积关系可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
15.【答案】解：证明：如图，连接DM，ME，
、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
，，
，
又为DE中点，
；
在中，，
，
，
，
，
，
；
结论成立，结论不成立，
理由如下：在中，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；
根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；
仿照的计算过程解答．
16.【答案】7
【解析】证明：，，
，
．
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
．
故答案为：7．
由“AAS”可证≌；
由全等三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
17.【答案】解：，，
．
，
．
在中，，
，
．
【解析】由及邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，再利用“在直角三角形中，两个锐角互余”，即可求出的度数．
本题考查了直角三角形的性质、余角和补角以及平行线的性质，利用邻补角互余及平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
18.【答案】证明，，
，
同理，
，
，
，
是斜边AB的中点，，
，
即M是BC的中点，
，即E是PC的中点，
，
，
是直角三角形，
；
，
，
由知：，
，
，
是线段BP的垂直平分线，
，
；
如图2，延长DE到Q，使，连接CD，PQ，FQ，
，，
≌，
则，
，
是DQ的垂直平分线，
，
，
，
，
，
≌，
，
是DQ的垂直平分线，
，
，
．
【解析】证明是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；
根据同位角相等可得，由平行线的性质得，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得；
如图2，延长DE到Q，使，连接CD，PQ，FQ，证明≌，则，由，，知EF是DQ的垂直平分线，证明≌，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．
19.【答案】证明，，
，
同理，
，
，
，
是斜边AB的中点，，
，
即M是BC的中点，
，即E是PC的中点，
，
，
是直角三角形，
；
，
，
由知：，
，
，
是线段BP的垂直平分线，
，
；
如图2，延长DE到Q，使，连接CD，PQ，FQ，
，，
≌，
则，
，
是DQ的垂直平分线，
，
，
，
，
，
≌，
，
是DQ的垂直平分线，
，
，
．
【解析】证明是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；
根据同位角相等可得，由平行线的性质得，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得；
如图2，延长DE到Q，使，连接CD，PQ，FQ，证明≌，则，由，，知EF是DQ的垂直平分线，证明≌，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学冀教版八年级上册第十七章17.3勾股定理练习题
一、选择题
在下列各组数中，是勾股数的是
A.
1、2、3
B.
2、3、4
C.
3、4、5
D.
4、5、6
如图，在中，，于点D，若，，则的周长是
A.
10
B.
14
C.
16
D.
20
已知CD是的边AB上的高，若，，，则BC的长为
A.
或
B.
C.
D.
或
在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点若，则的值是
A.
B.
C.
D.
给出下列命题：
如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是一组勾股数；
如果直角三角形的三边两边长为3和4，那么另一边长的平方必是25；
如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么三角形必是直角三角形；
一个等腰直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中a是斜边长，那么：：：1：1．
其中正确的是
A.
B.
C.
D.
如图所示，点B，D在数轴上，，，，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是
A.
B.
C.
D.
不能确定
如果三条线段a、b、c满足，那么这三条线段组成的三角形是
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
不能确定
如图，，，则的长是
A.
B.
2
C.
D.
二、填空题
已知：a、b、c是的三边长，且满足，则该三角形的面积是______．
如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则______．
如图，在四边形ABCD中，，，，，且，则四边形ABCD的面积是______．
已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是______．
三、解答题
如图，在中，，，BC边上的中线．
的长度；
的面积．
如图，在四边形ABCD中，，，，，．
连接AC，求证：是直角三角形；
求中AD边上的高．
如图，在中，，，，点D是外一点，连接DC，DB，且，．
求BC的长；
求证：是直角三角形．
如图，已知与有一个公共点C，其中，若，
，，，求证：．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、，是勾股数，故本选项符合题意．
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
2.【答案】D
【解析】解：，，
，
的周长，
故选：D．
根据等腰三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：当是锐角三角形，如图1，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
当是钝角三角形，如图2，
同理得：，，
，
则BC的长为或，
故选：D．
分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
4.【答案】A
【解析】解：在直角三角形中，勾为3，股为4，
弦为．
故选：A．
直接根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5.【答案】D
【解析】解：A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
证明≌，得出设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．
【解答】
解：四边形EFGH为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
≌，
．
设，
为EG，BD的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：如果a、b、c为一组勾股数，则，，符合勾股定理，则，，也符合勾股定理，即4a、4b、4c仍是一组勾股数，正确，
如果直角三角形的三边两边长为3和4，则另一边长的平方可能为：，且符合三角形的两边之和大于第三边，即错误，
，，，，即错误，
一个等腰直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中a是斜边长，，，即：：：1：1，即正确，
故选：C．
根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析，选出正确的命题的序号，即可得到答案．
本题考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得：，
则，
故A点对应的实数为：，
故选：C．
根据勾股定理得出DB的长，进而得出A点对应的数．
此题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据题意得出BD的值是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：，
，
，
这三条线段组成的三角形是直角三角形．
故选：C．
如果在一个三角形中，有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，，
，
则，
故选：C．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
11.【答案】6
【解析】解：由题意知，，，
，，，
，
三角形的形状是直角三角形，
则该三角形的面积是．
故答案为：6．
由非负数的性质，求得a、b、c的值，再勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进一步求得该三角形的面积．
本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．还运用了勾股定理的逆定理．
12.【答案】60
【解析】解：由题意可知：，，，，
如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，
，
即，
因此，
故答案是：60．
利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
13.【答案】36
【解析】解：连接BD，则有，
，即，
为直角三角形，
四边形的面积
．
答：四边形ABCD的面积为36．
故答案为：36．
连接BD，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求．
本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．熟练掌握勾股定理的逆定理是本题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：由勾股定理得，斜边长，
故答案为：5．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
15.【答案】解：是BC的中线，，
，
，
，
，
，
；
的面积．
【解析】首先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理计算出AC的长即可；
根据三角形的面积公式代入数计算即可．
此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明是解决问题的关键．
16.【答案】证明：连接AC，在中，
，
，
，，
，
，
是直角三角形；
解：过点C作于点H，
则，
，
．
【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状；
利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键，难度适中．
17.【答案】解：中，，，，
；
证明：在中，，，，
，
是直角三角形．
【解析】在中，根据勾股定理即可求得BC的长；
利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形．
本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
18.【答案】证明：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
【解析】根据勾股定理求出AC和CE长，再根据勾股定理的逆定理判定即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记定理的内容是解此题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页初中数学冀教版八年级上册第十七章17.4直角三角形全等的判定练习题
一、选择题
如图，，，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点如果，那么图中全等的直角三角形的对数是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
已知：如图所示，与中，，要使≌成立，还需要加的条件是
A.
B.
或
C.
D.
AB为公共边
如图，，，，要根据“HL”证明≌，则还要添加一个条件是
A.
B.
C.
D.
如图，点C在的内部，于点D，于点B，，那么≌的理由是
A.
SAS
B.
ASA
C.
HL
D.
SSS
下列结论正确的是
A.
有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B.
顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C.
一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
D.
两个等边三角形全等．
在如图中，，于E，于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是
A.
≌
B.
点D在的平分线上
C.
≌
D.
点D是BE的中点
下列结论中不正确的是
A.
有两角及一边对应相等的两个三角形全等
B.
有斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
C.
有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D.
有两边及一角对应相等的两个三角形全等
如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分的依据是
A.
SAS
B.
SSS
C.
HL
D.
AAS
下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是
A.
两条直角边对应相等
B.
两个锐角对应相等
C.
斜边和一直角边对应相等
D.
斜边和一锐角对应相等
如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是
A.
相等
B.
互补或相等
C.
互余或相等
D.
不相等
如图，中，，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是????
A.
与互为余角
B.
C.
D.
二、填空题
如图，，，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，，，，则______．
如图，中，于D，要使≌，若根据“HL”判定，还需要加条件______．
如图，在四边形ABCD中，，，，则________．
如图，在与中，已知，请你添加一个条件不添加字母和辅助线，使≌，你添加的条件是______．
三、解答题
如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
求证：≌；
若，，求的度数．
已知：如图，在中，，垂足为点E，，垂足为点D，且．
求证：．
已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M
若，，求的面积；
求证：．
如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG．
求证：≌；
求的度数；
求线段BG的长度。
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，，
，
在和中，，
≌；
，，
，
，
在和中，，
≌；
，，
在和中，，
≌；
共有3对全等三角形，
故选：C．
共有3对，分别为≌，≌≌；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找，并为直角三角形即可．
本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或．
此题考查了直角三角形全等的判定，“HL”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等．
【解答】
解：需要添加的条件为或，理由为：
若添加的条件为，
在与中，
，
≌；
若添加的条件为，
在与中，
，
≌．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选：A．
根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：，，
，
在和中
，
≌，
故选：C．
求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
5.【答案】B
【解析】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；
B、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故符合题意；
C、一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；
D、两个等边三角形相似但不一定全等，故不符合题意；
故选：B．
根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、，于E，于F，≌，正确；
B、≌，，，故点D在的平分线上，正确；
C、≌，，，≌，正确；
D、无法判定，错误；
故选：D．
根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，和直角三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
【解答】?
解：A、有两角及一边对应相等的两个三角形全等，说法正确；
B、有斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
C、有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确；
D、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，必须是两边的夹角，说法错误；
故选：D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．利用判定方法“HL”证明和全等，进而得出答案．
【解答】
解：在和中，
≌，
，
是的平分线．
则OP平分的依据是HL．
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：A、根据SAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
B、AA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
C、根据HL可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
D、根据AAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
故选：B．
根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．
【解答】
解：第一种情况，当两个三角形全等时，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是相等关系，
第二种情况，如图，，高，
，
在和中，
，
≌，
，
此时，，
这两个三角形的第三条边所对的角的关系是互补关系，
综上所述，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是“相等或互补”．
故选B．
11.【答案】D
【解析】【解析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
由，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得≌，≌，≌，又由EF是AC的垂直平分线，证得≌．
【解析】
解：，D是BC的中点，
，，
，
在和中，
≌；
同理：≌，
在和中，
，
≌；
是AC的垂直平分线，
，，
在和中，
，≌．
一共有4对，
故选D
．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出≌根据HL证≌，根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：，
在和中，
，
≌，故C正确，
，，
，
，，
与互为余角，故A、B正确；D
错误，
故选D．
13.【答案】7
【解析】解：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为7．
可判定≌，从而得出，则．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“HL”可得需要添加条件．
【解答】解：还需添加条件，
于D，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用HL定理证明两个直角三角形全等，此题难度不大．利用HL判定≌，得出，进而求出的度数．
【解答】
解：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
在与中，已知，使≌，添加的条件是：．
故答案为：．
根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使≌，添加的条件是：．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
17.【答案】证明：，
，
在和中，
≌；
解：，，
，
又，
由知：≌，
，
．
【解析】由，，，即可利用HL证得≌；
由，，即可求得的度数，即可得的度数，又由≌，即可求得的度数，则由即可求得答案．
此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
即．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明≌，即可得出结论．
19.【答案】解：如图作于N．
平分，，，
，
．
，，
，
又，，
≌，
，
，，
≌，
，
．
【解析】本题考查直角三角形全等的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图作于根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题；
由≌，推出，由≌，推出，由此即可解决问题；
20.【答案】证明：在正方形ABCD中，，，
将沿AE对折至，
，，，
，，
又，
在和中，
≌；
解：≌，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
．
解：是CD的中点，
，
设，则，，
，
解得，
．
【解析】本题考查的是折叠的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，勾股定理有关知识．
利用翻折变换对应边关系得出，，利用HL定理得出≌即可；
由可得，由折叠的性质可得，继而可得；
首先设，则可得，，然后利用勾股定理，得方程：，解此方程即可求得答案．
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第1页，共1页初中数学冀教版八年级上册第十七章17.5反证法练习题
一、选择题
用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设
A.
四边形中每个角都是锐角
B.
四边形中每个角都是钝角或直角
C.
四边形中有三个角是锐角
D.
四边形中有三个角是钝角或直角
已知：在中，，求证：若用反证法来证明这个结论，可以假设
A.
B.
C.
D.
已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
，这与三角形内角和为矛盾
因此假设不成立．
假设在中，
由，得，即这四个步骤正确的顺序应是
A.
B.
C.
D.
用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中
A.
至少有两个角是直角
B.
没有直角
C.
至少有一个角是直角
D.
有一个角是钝角，一个角是直角
用反证法证明“”，应先假设
A.
B.
C.
D.
用反证法证明：“若整数系数一元二次方程有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是
A.
假设a，b，c都是偶数
B.
假设a，b，c都不是偶数
C.
假设a，b，c至多有一个是偶数
D.
假设a，b，c至多有两个是偶数
用反证法证明，“在中，、对边是a、b，若，则”第一步应假设
A.
B.
C.
D.
下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是?
???
A.
B.
C.
D.
下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是
A.
5
B.
12
C.
14
D.
16
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中?
?
A.
有一个内角大于
B.
有一个内角小于
C.
每一个内角都大于
D.
每一个内角都小于
二、填空题
用反证法证明命题“中至少有一个角不小于”时，第一步应假设???????????
．
用反证法证明“一个三角形中至多有一个角是直角”时，应假设________．
用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是___________，___________，____________________．
用反证法证明时，应先假设_____．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
平面上有n个点n为自然数，其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．
用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的一个外角．
求证：．
用反证法证明：的三个内角中至少有两个锐角．
在不等边中，A是最小角，用反证法证明：．
求证：等腰三角形的底角必为锐角．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．
故选：A．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2.【答案】C
【解析】解：的反面是．
故可以假设．
故选：C．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定的反面，是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；
所以题目中“已知：中，，求证：”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设；
那么，由，得，即
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，；
所以因此假设不成立．；
原题正确顺序为：．
故选：A．
通过反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；理顺证明过程即可．
本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．
4.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：A．
熟记反证法的步骤，然后进行判断．
此题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】A
【解析】解：反证法证明“”，应先假设，
故选：A．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须依次否定．
6.【答案】B
【解析】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“若整数系数一元二次方程有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，
故选：B．
用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．
本题主要考查了用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：C．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，对选项进行逐一验证．
【解答】
解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，
，但是，
D正确；
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：，不是偶数，且也不是4的倍数，
不能作为假命题的反例；
故答案A错误；
B.12，
是4的倍数，
不能作为假命题的反例；
故答案B错误；
C.14，
是偶数，不是4的倍数，
可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是14，
故答案C正确；
D.16，
是偶数，且也是4的倍数，
不能作为假命题的反例；
故答案D错误；
故选：C．
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10.【答案】C
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于．
故选：C．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
11.【答案】中的三个内角都小于
【解析】
【分析】
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】
解：第一步应假设结论不成立，即中的三个内角都小于．
故答案为：中的三个内角都小于．
12.【答案】一个三角形中至少有两个直角
【解析】
【分析】
此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反面是解决问题的关键．根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个直角即可．
【解答】
解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
故证明“一个三角形中至多有一个直角”，应假设：一个三角形中至少有两个直角．
故答案为一个三角形中至少有两个直角．
13.【答案】1；2；答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据题意选择a、b、c的值即可．
【解答】
解：由不等式的性质2可知，当时，命题才是真命题，
所以当时，命题为假命题，答案不唯一，例如：1；2；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查反证法．
根据反证法的假设方法判断即可．
【解答】
解：用反证法证明时，应先假设，
故答案为．
15.【答案】证明：如图，
在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为、，其它各点按逆时针方向设为、．
假设以任意三点作为顶点的三角形中任意内角均大于，
则??，??，，?，
?????
在??中，就一定有????????，
??和??一定有一个小于，矛盾．
假设不成立，即至少有一个内角不大于．
【解析】本题考查了三角形内角和定理，题目中的n个点中不妨设这两个点为、，采用反证法即可求证．根据三角形的内角和定理就可以证出．
16.【答案】已知：如图，是的一个外角，
求证：，
证明：假设，
在中，，
，
，
，
，
与假设相矛盾，
假设不成立，
原命题成立即：．
【解析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
17.【答案】证明：假设同一三角形中最多有一个锐角，
则另两个角为直角或钝角，
故此时三角形内角和超过，与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即中至少有两个角是锐角．
【解析】根据“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出逆命题，进而证明即可．
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
18.【答案】证明：假设，
是不等边三角形ABC的最小角，
，，
，与三角形内角和等于矛盾，
假设错误，原结论成立，即．
【解析】本题考查三角形的内角和，反证法，可结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法．假设，从而可得三内角和大于，与三角形中三内角和等于矛盾．
19.【答案】证明：设等腰三角形底角，都是直角，则，
而，这与三角形内角和等于矛盾．
设等腰三角形的底角，都是钝角，则，
而，这与三角形内角和等于矛盾．
综上所述，假设，错误，所以，只能为锐角．
故等腰三角形的底角必为锐角．
【解析】用反证法证明；先设等腰三角形的底角是直角或钝角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．
本题考查的是反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
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