高中数学湘教版必修第二册第四章4.4向量的分解与坐标表示练习题（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学湘教版必修第二册第四章4.4向量的分解与坐标表示练习题（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 313.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-01 09:19:01 | ||
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文档简介
高中数学湘教版必修第二册第四章4.4向量的分解与坐标表示练习题
一、选择题
正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则
A.
B.
C.
2
D.
已知，，点M满足，若，则t的值为
A.
B.
C.
D.
正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足，若，其中m，，则的最大值是???
A.
1
B.
2
C.
3
D.
已知向量，若，则
A.
5
B.
C.
6
D.
若向量，，，则c等于
A.
B.
C.
D.
在矩形ABCD中，M为CD中点，N在边BC上运动，若，则的取值范围是???
A.
B.
C.
D.
已知在正六边形ABCDEF中，G是线段AF的中点，则等于
A.
B.
C.
D.
已知ABCD的三个顶点，，，则顶点D的坐标为???
A.
B.
C.
D.
已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知双曲线C：的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若，且，则双曲线C的方程为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则______．
如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为______．
在直角梯形ABCD中，，，，，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为如图所示，若，则________，________．
已知向量，，，则用、表示??????????
中，D为AC上的一点，满足若P为BD上的一点，满足，则mn的最大值为_________；的最小值为_________．
在直角梯形ABCD中，，，，，E，F分别为AB，BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动如图所示，若，其中，则的取值范围是_________．
三、解答题
在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．
设，，设，求；
求的取值范围；
若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求．
已知三个向量，，．
若，求的值
若向量与向量共线，求实数k的值．
如图，在中，为CD上一点，且满足若的面积为．
求m的值；
求的最小值．
设，是不共线的非零向量，且，．
证明：，可以作为一组基底
若向量，试用基底，表示．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】分析：
本题考查了向量的坐标运算，平面向量的基本定理及应用，属于基础题．
根据已知条件建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，即可求解．
解答：
2.【答案】C
【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．．
不妨设，，
点M满足，点M在BC上．
设，则，解得．
．
点M满足，
，解得．
故选：C．
如图所示，建立直角坐标系．不妨设，，由点M满足，可得点M在BC上．设，则，解得可得M坐标．利用点M满足，向量相等即可得出．
本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的几何应用与向量的坐标运算，考查直线斜率的求法，点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据题意建立直角坐标系，求出，，，，根据，可得，即，其几何意义为过点与点的直线的斜率，设直线方程为，点Q的轨迹方程为，由直线与圆的位置关系有：，解得：，进而得解．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
又，
所以，则，
其几何意义为过点与点的直线的斜率，
设直线方程为，点Q的轨迹方程为，
由直线与圆的位置关系有：，解得：，
即的最大值是1．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积，考查向量的模，考查平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
由题已知求得，即可得到，即可求得．
【解答】
解：由已知向量，
又，
，
即，
，
，
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
以和为基底表示，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】
解：设，
，
，，
解得，，
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，考查学生的分析能力，计算能力；属于中档题．
利用平面向量的坐标表示分别表示，，；即可求解．
【解答】
解：建立平面直角坐标系：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴；
设，，；
为边BC上的动点；
；
，，
，，；
，
；
；
；
故选：C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量基本定理和平面向量的坐标表示，属中档题．
设，通过建立坐标系，建立关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】
解：依题意作出图形，并建立如图所示的坐标系．
不妨设，则，，，
所以，，，
所以，，
设，
则解得
所以．
故选B．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面的坐标运算，属于基础题．
设，则有，根据向量的相等，得到x，y的方程组，解得x，y的值，即可得到答案．
【解答】
解：设，则有，
所以，
即所以
故选D．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，考查椭圆的离心率，属于中档题．
根据题意，可得，即可求解．
【解答】
解：不妨设椭圆方程为，焦距为2c，椭圆上任一点，
由的点M总在椭圆内，
得，得恒成立，
可得恒成立，
又，
所以，化简得，
得，可得，
又，
，
故选C．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量知识的运用，考查双曲线的方程，利用向量知识确定A的坐标是关键．
利用右焦点为，点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，，确定A的坐标，代入双曲线方程，结合，则双曲线C的方程可求．
【解答】
解：设，
右焦点为，点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，，
，，
代入双曲线方程，可得，
又，，
，，
，
，，
由可得，，，
双曲线C的方程为．
故选：D．
11.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．则．
由与的夹角为，且．
，，．
，
，
．
，
，，
解得，，
则．
故答案为：3．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面向量在几何中的应用，属于较难题，
解题时以B为原点，BC、BA分别为x、y轴建立平面直角坐标系，根据题目中条件计算出，，
再根据，，可得，写出点D坐标以及A点坐标，然后写出直线AD方程，
根据直线方程设出点F单变量坐标，求出数量积的表达式，再求出最值即可。
【解答】解：如图所示，
以B为原点，BC、BA分别为x、y轴建立平面直角坐标系，连接DE，则B?，，
，，，在中，
根据余弦定理有
所以，，过点D作于点G，可知，，
所以，所以，从而得直线AD的方程为，即；
不妨设点，，由于，，
所以当时，取得最大值，
故答案为；
13.【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
又因为以A为圆心，
AD为半径的圆弧DE的中点为P，
所以点P的坐标为，，
所以，，
所以，．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标表示和平面向量的基本定理应用，属于容易题．
解题时，把，当成一组基底，由基本定理，可把用待定系数法表示出来，解出系数即可．
【解答】
解：?设，
则，
得
解得
．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算及利用基本不等式求最值，同时考查平面向量共线的条件，属于中档题．
由已知结合平面向量的加减运算得m，n的关系，然后利用基本不等式求解即可，注意乘的应用．
【解答】
解：由已知，
又，
所以，
因为B，P，D三点共线，不共线，
所以存在，使得，
即
得，
又，，
所以，当即时，取等号，
解得，
?，
当即时，取等号，
即mn的最大值为，的最小值为16．
故答案为．
16.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量基本定理和平面向量的坐标运算，三角函数的定义域与值域，是中档题．
根据向量坐标运算将问题转化为三角函数问题，即可求出结果．
【解答】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，．
因为，所以，
所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为．
17.【答案】解：因为，所以以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
因为，，D是线段BC上一点，且，
所以，，，．
因为?，，，
而，
所以，解得，因此??
因为直线AB的方程为，而F为线段AB上一点，
所以设?，，
因此，?，
所以，，
因此
因为F为线段AB的中点，所以，
因此直线CF的方程为：．
而，，因此直线AD的方程为：，
由解得，因此，
所以??．
又因为，，所以，
因此?．
【解析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，直线的方程和两条直线的交点坐标，属于中档题．
以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
利用平面向量的坐标运算得?和，再利用平面向量的基本定理得，最后计算得结论；
得到直线AB的方程，从而设?，，再利用平面向量的坐标运算得，?，最后利用向量数量积的坐标运算得，，从而得结论；
得到直线CF和AD的方程，再利用两条直线的交点坐标得，最后利用平面向量的坐标运算，计算得结论．
18.【答案】解：，，
，
又，
，解得
．
，，
与共线，
则，解得．
【解析】本题考查向量的坐标运算，平面向量的基本定理，以及向量的共线，属于基础题．
由向量坐标的线性运算，以及向量相等求值；
由向量共线的坐标表示求k的值．
19.【答案】解：建立如图所示直角坐标系，设，，则，
由，由，得，故，
由，得，所以，
因为C，P，D三点共线，所以，
所以，
解得；
由得，因为，
所以，
所以，
故，当且仅当，时取得等号，
综上，的最小值为．
【解析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查三角形面积公式及基本不等式的应用，属于中档题．
建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由C，P，D三点共线，即，列方程即可求出m的值；
由得，由面积可得，利用基本不等式可得的最小值．
20.【答案】解：假设向量，共线，则存在实数m，使，得，
则与共线，这与两向量是不共线的非零向量矛盾，
所以假设错误，则，不共线，所以可以作为一组基底．
设，
得，解得，
所以．
【解析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用，考查基底的定义，属于中档题．
利用反证法证明结论即可；
设，根据题意可得，进而解出x、y，从而求出答案．
第2页，共2页
第1页，共1页
一、选择题
正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则
A.
B.
C.
2
D.
已知，，点M满足，若，则t的值为
A.
B.
C.
D.
正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足，若，其中m，，则的最大值是???
A.
1
B.
2
C.
3
D.
已知向量，若，则
A.
5
B.
C.
6
D.
若向量，，，则c等于
A.
B.
C.
D.
在矩形ABCD中，M为CD中点，N在边BC上运动，若，则的取值范围是???
A.
B.
C.
D.
已知在正六边形ABCDEF中，G是线段AF的中点，则等于
A.
B.
C.
D.
已知ABCD的三个顶点，，，则顶点D的坐标为???
A.
B.
C.
D.
已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知双曲线C：的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若，且，则双曲线C的方程为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则______．
如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为______．
在直角梯形ABCD中，，，，，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为如图所示，若，则________，________．
已知向量，，，则用、表示??????????
中，D为AC上的一点，满足若P为BD上的一点，满足，则mn的最大值为_________；的最小值为_________．
在直角梯形ABCD中，，，，，E，F分别为AB，BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动如图所示，若，其中，则的取值范围是_________．
三、解答题
在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．
设，，设，求；
求的取值范围；
若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求．
已知三个向量，，．
若，求的值
若向量与向量共线，求实数k的值．
如图，在中，为CD上一点，且满足若的面积为．
求m的值；
求的最小值．
设，是不共线的非零向量，且，．
证明：，可以作为一组基底
若向量，试用基底，表示．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】分析：
本题考查了向量的坐标运算，平面向量的基本定理及应用，属于基础题．
根据已知条件建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，即可求解．
解答：
2.【答案】C
【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．．
不妨设，，
点M满足，点M在BC上．
设，则，解得．
．
点M满足，
，解得．
故选：C．
如图所示，建立直角坐标系．不妨设，，由点M满足，可得点M在BC上．设，则，解得可得M坐标．利用点M满足，向量相等即可得出．
本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的几何应用与向量的坐标运算，考查直线斜率的求法，点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据题意建立直角坐标系，求出，，，，根据，可得，即，其几何意义为过点与点的直线的斜率，设直线方程为，点Q的轨迹方程为，由直线与圆的位置关系有：，解得：，进而得解．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
又，
所以，则，
其几何意义为过点与点的直线的斜率，
设直线方程为，点Q的轨迹方程为，
由直线与圆的位置关系有：，解得：，
即的最大值是1．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积，考查向量的模，考查平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
由题已知求得，即可得到，即可求得．
【解答】
解：由已知向量，
又，
，
即，
，
，
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
以和为基底表示，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】
解：设，
，
，，
解得，，
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，考查学生的分析能力，计算能力；属于中档题．
利用平面向量的坐标表示分别表示，，；即可求解．
【解答】
解：建立平面直角坐标系：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴；
设，，；
为边BC上的动点；
；
，，
，，；
，
；
；
；
故选：C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量基本定理和平面向量的坐标表示，属中档题．
设，通过建立坐标系，建立关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】
解：依题意作出图形，并建立如图所示的坐标系．
不妨设，则，，，
所以，，，
所以，，
设，
则解得
所以．
故选B．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面的坐标运算，属于基础题．
设，则有，根据向量的相等，得到x，y的方程组，解得x，y的值，即可得到答案．
【解答】
解：设，则有，
所以，
即所以
故选D．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，考查椭圆的离心率，属于中档题．
根据题意，可得，即可求解．
【解答】
解：不妨设椭圆方程为，焦距为2c，椭圆上任一点，
由的点M总在椭圆内，
得，得恒成立，
可得恒成立，
又，
所以，化简得，
得，可得，
又，
，
故选C．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量知识的运用，考查双曲线的方程，利用向量知识确定A的坐标是关键．
利用右焦点为，点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，，确定A的坐标，代入双曲线方程，结合，则双曲线C的方程可求．
【解答】
解：设，
右焦点为，点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，，
，，
代入双曲线方程，可得，
又，，
，，
，
，，
由可得，，，
双曲线C的方程为．
故选：D．
11.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．则．
由与的夹角为，且．
，，．
，
，
．
，
，，
解得，，
则．
故答案为：3．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面向量在几何中的应用，属于较难题，
解题时以B为原点，BC、BA分别为x、y轴建立平面直角坐标系，根据题目中条件计算出，，
再根据，，可得，写出点D坐标以及A点坐标，然后写出直线AD方程，
根据直线方程设出点F单变量坐标，求出数量积的表达式，再求出最值即可。
【解答】解：如图所示，
以B为原点，BC、BA分别为x、y轴建立平面直角坐标系，连接DE，则B?，，
，，，在中，
根据余弦定理有
所以，，过点D作于点G，可知，，
所以，所以，从而得直线AD的方程为，即；
不妨设点，，由于，，
所以当时，取得最大值，
故答案为；
13.【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
又因为以A为圆心，
AD为半径的圆弧DE的中点为P，
所以点P的坐标为，，
所以，，
所以，．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标表示和平面向量的基本定理应用，属于容易题．
解题时，把，当成一组基底，由基本定理，可把用待定系数法表示出来，解出系数即可．
【解答】
解：?设，
则，
得
解得
．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算及利用基本不等式求最值，同时考查平面向量共线的条件，属于中档题．
由已知结合平面向量的加减运算得m，n的关系，然后利用基本不等式求解即可，注意乘的应用．
【解答】
解：由已知，
又，
所以，
因为B，P，D三点共线，不共线，
所以存在，使得，
即
得，
又，，
所以，当即时，取等号，
解得，
?，
当即时，取等号，
即mn的最大值为，的最小值为16．
故答案为．
16.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量基本定理和平面向量的坐标运算，三角函数的定义域与值域，是中档题．
根据向量坐标运算将问题转化为三角函数问题，即可求出结果．
【解答】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，．
因为，所以，
所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为．
17.【答案】解：因为，所以以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
因为，，D是线段BC上一点，且，
所以，，，．
因为?，，，
而，
所以，解得，因此??
因为直线AB的方程为，而F为线段AB上一点，
所以设?，，
因此，?，
所以，，
因此
因为F为线段AB的中点，所以，
因此直线CF的方程为：．
而，，因此直线AD的方程为：，
由解得，因此，
所以??．
又因为，，所以，
因此?．
【解析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，直线的方程和两条直线的交点坐标，属于中档题．
以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
利用平面向量的坐标运算得?和，再利用平面向量的基本定理得，最后计算得结论；
得到直线AB的方程，从而设?，，再利用平面向量的坐标运算得，?，最后利用向量数量积的坐标运算得，，从而得结论；
得到直线CF和AD的方程，再利用两条直线的交点坐标得，最后利用平面向量的坐标运算，计算得结论．
18.【答案】解：，，
，
又，
，解得
．
，，
与共线，
则，解得．
【解析】本题考查向量的坐标运算，平面向量的基本定理，以及向量的共线，属于基础题．
由向量坐标的线性运算，以及向量相等求值；
由向量共线的坐标表示求k的值．
19.【答案】解：建立如图所示直角坐标系，设，，则，
由，由，得，故，
由，得，所以，
因为C，P，D三点共线，所以，
所以，
解得；
由得，因为，
所以，
所以，
故，当且仅当，时取得等号，
综上，的最小值为．
【解析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查三角形面积公式及基本不等式的应用，属于中档题．
建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由C，P，D三点共线，即，列方程即可求出m的值；
由得，由面积可得，利用基本不等式可得的最小值．
20.【答案】解：假设向量，共线，则存在实数m，使，得，
则与共线，这与两向量是不共线的非零向量矛盾，
所以假设错误，则，不共线，所以可以作为一组基底．
设，
得，解得，
所以．
【解析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用，考查基底的定义，属于中档题．
利用反证法证明结论即可；
设，根据题意可得，进而解出x、y，从而求出答案．
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